基于希爾伯特變換的兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)模型辨識(shí)研究

馬新謀， 郝一凝， 常列珍， 潘玉田

(1. 中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 山西 太原 030051； 2. 中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

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基于希爾伯特變換的兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)模型辨識(shí)研究

馬新謀1， 郝一凝1， 常列珍2， 潘玉田1

(1. 中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 山西 太原 030051； 2. 中北大學(xué) 理學(xué)院， 山西 太原 030051)

摘要:為了識(shí)別兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程， 首先采用希爾伯特變換法把自由橫搖衰減信號(hào)變換成解析信號(hào)， 該解析信號(hào)包含了自由橫搖運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)幅值信息和瞬時(shí)頻率信息， 并給出了兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程阻尼函數(shù)和恢復(fù)函數(shù)與瞬時(shí)幅值和頻率的關(guān)系式， 最后由最小二乘法擬合擬合即可獲得兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的非線性阻尼項(xiàng)和恢復(fù)項(xiàng)系數(shù). 應(yīng)用所提出的方法針對(duì)數(shù)值仿真實(shí)例和某兩棲車輛1∶4模型自由橫搖衰減實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)， 成功地估計(jì)出了非線性參數(shù)， 估計(jì)值與真值及實(shí)驗(yàn)值吻合很好. 估計(jì)結(jié)果表明所提出的方法可以用于估計(jì)兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程， 而且精度滿足工程需求.

關(guān)鍵詞:希爾伯特變換法； 兩棲車輛； 非線性橫搖運(yùn)動(dòng)； 包絡(luò)線； 瞬時(shí)頻率

兩棲車輛在水上的運(yùn)動(dòng)為六自由度的運(yùn)動(dòng)， 其中橫搖運(yùn)動(dòng)與船舶橫搖運(yùn)動(dòng)相似， 是一個(gè)非線性振動(dòng)學(xué)問題， 因此兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)也成為影響兩棲車輛水上安全性、 成員舒適性的重要因素[1-3]. 眾所周知， 船舶非線性橫搖是影響船舶性能與安全性的重要因素， 特別是在突風(fēng)載荷、 波浪載荷和流聯(lián)合激勵(lì)下， 船舶會(huì)發(fā)生奇異傾覆[4-9]. 所以有必要針對(duì)兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)進(jìn)行深入研究. 要開展兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)特性的首要任務(wù)是建立非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程. 到目前為止， 研究船舶橫搖運(yùn)動(dòng)的工作很多， 常用來建立船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的方法有經(jīng)驗(yàn)公式法[5]和船模自由橫搖衰減試驗(yàn)法[4,6-7,9]兩種. 對(duì)于經(jīng)驗(yàn)公式法僅對(duì)特定的船型適用； 而船模自由橫搖衰減試驗(yàn)法適用性強(qiáng)， 應(yīng)用范圍廣， 由此演化而來的建立船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的方法有最小二乘法[2]、 傅汝德能量法[1]、 改進(jìn)的能量法[1,4,6]、 遺傳算法[6]、 反問題法[7]、 消滅線法、 支持向量機(jī)法[9]等， 這些方法都要從自由橫搖衰減曲線來識(shí)別非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的參數(shù).

另一方面， 希爾伯特變換(Hilberttransform,HT)在信號(hào)處理、 故障診斷和參數(shù)識(shí)別領(lǐng)域都有了廣泛的應(yīng)用， 其中關(guān)于參數(shù)辨識(shí)領(lǐng)域的文獻(xiàn)也較多.Feldman[10-11]采用希爾伯特變換對(duì)非線性系統(tǒng)的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別研究， 并針對(duì)一般形式的運(yùn)動(dòng)方程提出了一種自由振動(dòng)分析方法， 是近期關(guān)于希爾伯特變換的經(jīng)典之作.Shin等[12]把希爾伯特變換在信號(hào)處理領(lǐng)域進(jìn)行了系統(tǒng)的闡述， 給出了不同特征信號(hào)的處理技巧.Ignacio等[13]成功用希爾伯特變換估計(jì)了鐵路橋振動(dòng)系統(tǒng)的模型參數(shù).Shi等[14]用希爾伯特變換和經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)公式法從強(qiáng)迫振動(dòng)信號(hào)里估計(jì)出了多自由度模型的參數(shù)， 表明希爾伯特變換法不僅對(duì)單自由度系統(tǒng)適用， 對(duì)多自由度系統(tǒng)也適用.Kim[15]用希爾伯特變換法對(duì)浮式生產(chǎn)儲(chǔ)/卸油裝置(FPSO)的自由橫搖衰減曲線進(jìn)行了處理， 成功辨識(shí)了FPSO橫搖運(yùn)動(dòng)方程的非線性阻尼項(xiàng)和非線性恢復(fù)項(xiàng)系數(shù)， 精度滿足工程需求. 從這些成功的范例來看， 希爾伯特變換法也可以用來估計(jì)兩棲車輛的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)模型參數(shù).

基于上述原因， 本文借鑒船舶橫搖運(yùn)動(dòng)的研究成果和希爾伯特變換理論， 擬采用希爾伯特變換法來處理兩棲車輛自由橫搖衰減曲線以估計(jì)兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的參數(shù).

1非線性橫搖方程參數(shù)估計(jì)理論

借鑒船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)研究理論， 不考慮與其他方向運(yùn)動(dòng)的耦合效應(yīng)， 則靜水里的兩棲車輛單自由度的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程可以用二階常微分方程[1]表示為

(1)

為了方便描述， 式(1)可以改寫為

(2)

(3)

(4)

采用希爾伯特變換法估計(jì)非線性橫搖參數(shù)的基本理論是建立在如下的解析信號(hào)基礎(chǔ)上.

(5)

(6)

式中：pv為柯西主值.

將式(5)改寫成幅值和相位表示的復(fù)指數(shù)形式

(7)

式中：A(t)是瞬時(shí)包絡(luò)線； ψ(t)是瞬時(shí)相位角.

由歐拉公式可知， 存在如下關(guān)系

(8)

(9)

而且

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：ω(t)是瞬時(shí)頻率， 是時(shí)間的實(shí)函數(shù).

考慮到式(12)和(13)， 計(jì)算式(5)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)

(14)

(15)

對(duì)式(2)進(jìn)行希爾伯特變換， 可得

(16)

將式(16) 乘以虛數(shù)單位i再加上式(2)可得用解析信號(hào)Y(t)表達(dá)的微分方程

(17)

將式(14)和(15)代入式(17)， 合并實(shí)部和虛部可得

(18)

要使式(18)恒成立， 需要實(shí)部和虛部的系數(shù)恒為零， 即

(19)

(20)

2數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

在獲得上述信息的基礎(chǔ)上， 如圖 1 所示， 存在邊界效應(yīng)， 為了使計(jì)算方便和可靠， 可以截取信號(hào)質(zhì)量較好的中間部分， 再根據(jù)式(10)和(13)可以計(jì)算瞬時(shí)包絡(luò)A(t)和瞬時(shí)頻率ω(t)， 如圖 2 和圖 3 所示. 進(jìn)而可以計(jì)算A(t)和ω(t)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù).

圖 1　橫搖位移信號(hào)曲線Fig.1　Signal curve of roll motion

圖 2　自由橫搖曲線和包絡(luò)線Fig.2　Free decay curve and envelope

圖 3　瞬時(shí)頻率曲線Fig.3　Instantaneous frequency curve

圖 4　阻尼函數(shù)和擬合曲線Fig.4　Damping coefficients function and fitted curve

圖 5　頻率函數(shù)和擬合曲線Fig.5　Frequency function and fitted curve

估計(jì)出的阻尼項(xiàng)和恢復(fù)項(xiàng)系數(shù)d1, d2, k1和k3如表 1 所示. 由表 1 可知， 采用希爾伯特變換法和最小二乘擬合相結(jié)合可以快速有效地估計(jì)兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù)， 最大估計(jì)參數(shù)的相對(duì)誤差為0.313%.

表 1　參數(shù)估計(jì)結(jié)果表

將估計(jì)的系數(shù)代入式(1)， 用四階龍格庫塔法求解， 與原系數(shù)的結(jié)果對(duì)比如圖 6 所示.

圖 6　仿真和估計(jì)的衰減曲線Fig.6　Simulated decay curve and estimated decay curve

圖 6 表明估計(jì)的角位移曲線與原數(shù)據(jù)的角位移曲線高度吻合. 因此可以證明用所提出估計(jì)非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的方法可行性， 精度滿足工程需求.

需要特別指出， 上面仿真實(shí)例所生成的自由橫搖衰減曲線是光滑的， 不含噪聲， 因此估計(jì)的結(jié)果精度很高. 如果自由橫搖衰減曲線包含噪聲， 則精度會(huì)有所下降. 因此在使用該方法時(shí)， 必須先對(duì)測試所得的自由橫搖信號(hào)進(jìn)行濾波和平滑， 再應(yīng)用本文提出的方法估計(jì).

3希爾伯特變換法估計(jì)橫搖運(yùn)動(dòng)方程參數(shù)

3.1兩棲車輛自由橫搖衰減實(shí)驗(yàn)

為了研究兩棲車輛的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)， 根據(jù)某兩棲車輛的技術(shù)參數(shù)， 設(shè)計(jì)了一個(gè)1∶4的縮小模型， 使其滿足幾何相似、 運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似， 如圖 7 所示. 在試驗(yàn)水池里進(jìn)行自由橫搖衰減實(shí)驗(yàn)， 采樣頻率100Hz， 測得的自由橫搖衰減曲線如圖 8 所示.

圖 7　兩棲車輛拖模(1∶4)Fig.7　Scaled amphibious vehicle model(1∶4)

為了減小估計(jì)誤差， 必須先對(duì)測試獲取的自由橫搖衰減曲線上的噪聲進(jìn)行濾波和平滑處理. 由圖8可知， 前面和后面各有一段不規(guī)則的數(shù)據(jù)， 為了估計(jì)方便可以預(yù)先把自由橫搖衰減曲線掐頭去尾， 并認(rèn)為起始時(shí)間為0， 以避免出現(xiàn)邊界效應(yīng).

圖 8　兩棲車輛拖模自由橫搖衰減曲線Fig.8　Test free rolling decay curve of amphibious vehicle model

在此基礎(chǔ)上進(jìn)行濾波， 濾波時(shí)分為兩步. 第一步先用MATLAB里的butter函數(shù)設(shè)計(jì)一個(gè)Butterworth低通濾波器以去除高頻噪聲； 第二步進(jìn)行小波分解重構(gòu)法濾波， 小波基選擇“rbio6.8”， 分解尺度為2； 最后選用三點(diǎn)平滑公式

(21)

進(jìn)行數(shù)據(jù)平滑， 平滑后的自由橫搖衰減曲線如圖 9 所示.

圖 9　濾波后的自由橫搖衰減曲線Fig.9　Free rolling decay curve after filter processing

3.2橫搖運(yùn)動(dòng)參數(shù)估計(jì)

設(shè)兩棲車輛非線性橫搖的控制方程如方程(1)所示， 根據(jù)上述自由橫搖衰減曲線估計(jì)d1, d2, k1和k3. 首先運(yùn)用希爾伯特變換法把平滑后的自由橫搖衰減曲線進(jìn)行變換， 構(gòu)造解析信號(hào)， 如圖 10 所示.

圖 10　濾波后的橫搖位移信號(hào)曲線Fig.10　Signal curve of roll motion after filter processing

(22)

4估計(jì)結(jié)果與討論

由圖 11 可知， 估計(jì)橫搖角度和測試的橫搖角度吻合得較好. 與圖 6 的對(duì)比結(jié)果可知， 該估計(jì)方法可以估計(jì)非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的參數(shù)， 但是對(duì)信號(hào)的噪聲相應(yīng)比較敏感， 因此要提高使用該方法估計(jì)非線性橫搖參數(shù)的精度有兩個(gè)途徑：

圖 11　測試和估計(jì)的衰減曲線Fig.11　Measured decay curve and estimated decay curve

1) 提高測試系統(tǒng)的測試精度和信噪比， 使測試結(jié)果更準(zhǔn)確.

2) 運(yùn)用硬件和軟件進(jìn)行信號(hào)濾波， 并對(duì)測試信號(hào)進(jìn)行平滑處理， 恢復(fù)理想的信號(hào).

文獻(xiàn)[1]中， 馬新謀等采用能量法估計(jì)了兩棲車輛的非線性阻尼系數(shù)， 用流體靜力學(xué)理論計(jì)算了兩棲車輛的GZ曲線， 并根據(jù)GZ曲線給了恢復(fù)項(xiàng)系數(shù)， 最終給出的兩棲車輛非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程為

(23)

為了對(duì)比文獻(xiàn)[1]和本文估計(jì)的非線性橫搖方程的系數(shù)， 把它們列入表中， 如表 2 所示.

表 2　兩種方法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表 2 可知， 兩種方法獲取的阻尼系數(shù)差距較大， 用能量法估計(jì)的阻尼值比希爾伯特法估計(jì)的小.GZ曲線擬合的線性恢復(fù)項(xiàng)系數(shù)和立方項(xiàng)恢復(fù)項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值都比希爾伯特法估計(jì)的大， 但兩個(gè)方法估計(jì)的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程都與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好. 把文獻(xiàn)[1]估計(jì)的非線性方程預(yù)測和本文預(yù)測的自由橫搖衰減曲線和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)放在一起對(duì)比， 如圖 12 所示.

由圖 12 可知， 本文估計(jì)的固有頻率相對(duì)于用GZ曲線法估計(jì)的固有頻率而言更接近于試驗(yàn)數(shù)據(jù). 分析原因是由于GZ曲線是根據(jù)設(shè)計(jì)圖紙通過三維建模， 通過流體靜力學(xué)計(jì)算出來的， 是圖定數(shù)據(jù)， 為兩棲車輛水上橫搖運(yùn)動(dòng)的理論固有頻率； 而本文估計(jì)的固有頻率則是通過試驗(yàn)得到， 雖然該實(shí)驗(yàn)的拖模是滿足幾何相似、 運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的， 但是不可避免地存在誤差， 加之測試也存在噪聲誤差. 因此， 用希爾伯特變換法估計(jì)的非線性橫搖運(yùn)動(dòng)從固有頻率角度看更接近于實(shí)驗(yàn)值. 本文和文獻(xiàn)[1]中僅用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)了阻尼項(xiàng)， 由圖12可知， 本文估計(jì)的結(jié)果在幅值上更接近測試數(shù)據(jù)， 因而阻尼系數(shù)比文獻(xiàn)[1]給出的結(jié)果大更符合測試結(jié)果. 從固有頻率角度看誤差比本文的大是正常的. 但是， 兩種方法獲得的固有頻率非常接近， 無論用哪種方法來估計(jì)兩棲車輛非線性橫搖的恢復(fù)項(xiàng)都是可信的.

圖 12　兩種方法所得測試和估計(jì)的衰減曲線Fig.12　Measured decay curve and estimated decay curve by two methods

5結(jié)論

通過上述分析， 可以得出以下結(jié)論：

1) 希爾伯特變換法與最小二乘法相結(jié)合， 可以估計(jì)兩棲車輛水上非線性橫搖運(yùn)動(dòng)方程的系數(shù).

2) 該方法不僅可以估計(jì)出阻尼項(xiàng)， 也可以估計(jì)出恢復(fù)項(xiàng).

3) 該方法對(duì)測試信號(hào)的噪聲敏感， 因此在使用該方法時(shí)必須先對(duì)自由橫搖衰減試驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行濾波和平滑.

4) 該方法也可以用來估計(jì)船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的模型， 也可以用來估計(jì)其他非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的模型.

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文章編號(hào)：1673-3193(2016)04-0361-07

收稿日期：2016-03-31

基金項(xiàng)目：中北大學(xué)科學(xué)基金； 國防預(yù)研課題資助

作者簡介：馬新謀(1978-)， 男， 博士， 講師， 主要從事火炮自動(dòng)武器與彈藥工程的研究.

中圖分類號(hào):TJ811+.6

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.04.008

Identification for the Nonlinear Roll Motion Model ofAmphibiousVehicleUsingHilbertTransform

MA Xin-mou1, HAO Yi-ning1, CHANG Lie-zhen2, PAN Yu-tian1

(1. School of Mechatronics Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China；2.SchoolofScience,NorthUniversityofChina,Taiyuan030051,China)

Abstract:To identify the coefficients of nonlinear roll motion modelling of amphibious vehicle, the Hilbert Transform (HT) method is applied for a free roll decay signal in time domain to obtain an analytical signal. The analytical signal provides information on the instantaneous amplitude and instantaneous frequency. Then, the relationship between the instantaneous amplitude/frequency and the nonlinear parameters can be derived. Least square method is used to estimate unknown parameters of nonlinear roll motion of amphibious vehicle. The present method is applied to a numerical experiment data and then to real free roll decay data obtained from a 1∶4 scale model of an amphibious vehicle to identify nonlinear parameters. The obtained nonlinear damping coefficients and nonlinear restoring coefficients are good agreement with the true value and tested data. So, the present method can be used to identify nonlinear roll motion equation of amphibious vehicle with enough accuracy.

Key words:Hilbert transform method; amphibious vehicle; nonlinear roll motion; envelope; instantaneous frequency