哈爾濱商業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院 曲國(guó)坤

包絡(luò)線在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

哈爾濱商業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院 曲國(guó)坤

在我們的日常生活中，包絡(luò)線的應(yīng)用非常廣泛，利用包絡(luò)線不僅可以解決相關(guān)的數(shù)學(xué)函數(shù)問題，而且可以處理很多現(xiàn)實(shí)生活中所遇見的經(jīng)濟(jì)問題。本文介紹了包絡(luò)線在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域中的運(yùn)用，其中重點(diǎn)介紹了如何利用包絡(luò)線來求函數(shù)的最值、包絡(luò)線在常微分中的運(yùn)用、包絡(luò)原理，以及包絡(luò)線在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)長(zhǎng)期、短期成本曲線中的運(yùn)用。

包絡(luò)線 成本曲線

包絡(luò)曲線是西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個(gè)基本概念, 也是分析長(zhǎng)期成本中重要的分析工具之一。

1 包絡(luò)線的基本概念

1.1 包絡(luò)線的幾何學(xué)定義常微分方程中對(duì)包絡(luò)線的定義：設(shè)給定一個(gè)單參數(shù)曲線族為參數(shù)。如果存在連續(xù)可微的曲線，其上任意一點(diǎn)均有中某一曲線與相切，且對(duì)上不同的點(diǎn)，有中不同曲線與之相切，那么稱曲線為曲線族的包絡(luò)線。

1.2 包絡(luò)線的經(jīng)濟(jì)學(xué)定義

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，就是各種需求曲線或供給曲線或其他曲線的頂點(diǎn)(所謂的峰點(diǎn))連接起來形成的一條平滑曲線，就是“包絡(luò)線”，看起來就像把許多拋物線“包”起來一樣。

2 包絡(luò)線在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

2.1 包絡(luò)定理(1)無約束模型設(shè)最大值函數(shù)為：

(2)等式約束模型

設(shè)最大值函數(shù)為：

2.2 對(duì)包絡(luò)定理的說明

例：求

解：方法一：建立拉格朗日函數(shù)：

一階必要條件為：

由此可得：

方法三：用傳統(tǒng)方法驗(yàn)證。

2.3 包絡(luò)原理的應(yīng)用

應(yīng)用一：證明Shephard's 引理[1]

Xi是生產(chǎn)廠商對(duì)相應(yīng)要素i的派生需，其中成本函數(shù)在點(diǎn)是可微的, 則有：

應(yīng)用二：稅金問題[1]

問稅金的變化對(duì)利潤(rùn)影響?

應(yīng)用三：拉格朗日乘子

(1)約束型參數(shù)

有一類特殊的參數(shù)是所謂“約束型參數(shù)”。例如，消費(fèi)者的預(yù)算線為均為向量)。這里，收入即為約束型參數(shù)。

(2)約束型參數(shù)對(duì)最大值函數(shù)的影響

約束型參數(shù)對(duì)最大值函數(shù)的影響有一個(gè)非常簡(jiǎn)單的結(jié)果，即它等于拉格朗日乘子在最優(yōu)處取值)。

設(shè)等式約束模型為：

根據(jù)包絡(luò)定理有：

例如：效用最大化問題

該問題的拉格朗日函數(shù)

應(yīng)用四：包絡(luò)線指標(biāo)[2]

兩條移動(dòng)平均線組成了包絡(luò)線技術(shù)指標(biāo)，具體見圖1。市場(chǎng)的變化率決定了相關(guān)聯(lián)數(shù)量的通道邊幅的移動(dòng)，市場(chǎng)變化率相對(duì)較高時(shí)，通道邊幅的變化也會(huì)表現(xiàn)得相對(duì)激烈，市場(chǎng)變化率相對(duì)較低時(shí)，通道邊幅的變化也會(huì)表現(xiàn)得相對(duì)弱化。

包絡(luò)線指數(shù)是由價(jià)格變化范圍的上下界來定義的。當(dāng)價(jià)格上升到通道頂端時(shí)，出現(xiàn)了賣出信號(hào)；當(dāng)價(jià)格下降到通道底端時(shí)，出現(xiàn)了購買信號(hào)。

包絡(luò)線指標(biāo)實(shí)際上就是賣家以及買家共同作用，推動(dòng)價(jià)格達(dá)到邊界位置。價(jià)格在以上幾點(diǎn)的作用下，不斷移動(dòng)以至于到達(dá)一個(gè)相對(duì)現(xiàn)實(shí)的水平上，最終達(dá)到比較穩(wěn)定的位置。包絡(luò)線指標(biāo)在這一點(diǎn)上保力加通道指標(biāo)的解釋有共通之處。

圖1 包絡(luò)線技術(shù)指標(biāo)

包絡(luò)線可以用作預(yù)測(cè)市場(chǎng)價(jià)格在平均價(jià)格附近的波動(dòng)范圍，包絡(luò)線的中軸是一條可以移動(dòng)的平均線，包絡(luò)線的上軌以及下軌，用當(dāng)前均線值加上(減去)固定的百分比。

應(yīng)用五：分析長(zhǎng)期成本

我們可以將長(zhǎng)期曲線看作由多個(gè)不同短期曲線來構(gòu)成的,每條不同產(chǎn)量的短期平均成本曲線都可以找到最低點(diǎn)，將所有的最低點(diǎn)連接起來,長(zhǎng)期平均成本曲線就是由所有的點(diǎn)構(gòu)成的。從包絡(luò)的角度來講，LTC是STC的包絡(luò)線，另外LAC也稱為SAC的包絡(luò)線。事實(shí)上，長(zhǎng)期總成本曲線上的每一個(gè)點(diǎn)，它都是表示一個(gè)最優(yōu)的生產(chǎn)規(guī)模, 也就是表示相應(yīng)不同產(chǎn)量下短期成本的最低點(diǎn)，所以，在一個(gè)長(zhǎng)期的分析過程中，長(zhǎng)期平均成本也就對(duì)應(yīng)了廠商按照不同的產(chǎn)量生產(chǎn)，所需要的最低平均成本。按照以上分析的方法，就可以得到長(zhǎng)期平均成本的曲線圖。

對(duì)于短期平均成本曲線以及長(zhǎng)期平均成本曲線來講，每條短期平均成本曲線上都會(huì)有一個(gè)切點(diǎn)，而對(duì)于長(zhǎng)期平均成本曲線來講，在它的最低點(diǎn)處，一定會(huì)存在一條短期平均成本曲線，此曲線與長(zhǎng)期平均成本曲線相切。廠商就可以按照這樣的方式來確定自己的生產(chǎn)計(jì)劃，所以長(zhǎng)期平均成本曲線又被稱為計(jì)劃曲線。

長(zhǎng)期平均成本曲線和短期平均成本曲線的區(qū)別是：長(zhǎng)期成本曲線下降和上升時(shí)都相對(duì)比較平坦。由此可以看出，長(zhǎng)期平均成本在增加和減少的速度上來講，都是相對(duì)比較緩慢的，這主要是因?yàn)樵谝粋€(gè)長(zhǎng)期的生產(chǎn)過程中，所涉及到的生產(chǎn)要素都要求隨時(shí)可以調(diào)整，在規(guī)模收益遞增和規(guī)模收益遞減中間還存在一個(gè)階段，即規(guī)模收益不變階段；而在一個(gè)短期過程中，這個(gè)規(guī)模收益不變階段是非常短的，或者是不存在的。上述原因?qū)е麻L(zhǎng)期平均成本曲線是短期平均成本曲線的包絡(luò)線，而不是各短期平均成本曲線最低點(diǎn)的連線。

把生產(chǎn)規(guī)模按極限思想無限細(xì)分，將每一條SAC曲線的最低平均成本點(diǎn)，這些最低點(diǎn)就是長(zhǎng)期分析中各產(chǎn)量水平所對(duì)應(yīng)的最低平均成本，將所有的點(diǎn)連接起來，構(gòu)成長(zhǎng)期平均成本曲線，如圖2所示。

圖2 構(gòu)成長(zhǎng)期平均成本曲線

另一方面，長(zhǎng)期平均成本曲線也可以是短期平均成本曲線的包絡(luò)線，但是需要滿足以下幾個(gè)條件。首先，要求所有短期平均成本曲線都處于同一個(gè)水平線；其次，要求工廠的規(guī)模可以無限細(xì)分，即可以任意調(diào)整，并且要保證在每一個(gè)規(guī)模的特定產(chǎn)量下，都只有一個(gè)最低成本點(diǎn)；再次，生產(chǎn)規(guī)模要求服從經(jīng)濟(jì)的遞增、不變和遞減這三個(gè)階段規(guī)律。

[1] 鄧軍，吳漢洪．西方微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的包絡(luò)定理述評(píng)[J]．北京機(jī)械工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，1994(01)．

[2] 崔慧永．談包絡(luò)曲線在實(shí)踐運(yùn)用中的矛盾[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(人文社會(huì)科學(xué)版)，2006(04)．

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