王江輝　徐武彬　李　冰　李小磊

廣西科技大學(xué)，柳州，545006

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判別非線性滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速新方法

王江輝徐武彬李冰李小磊

廣西科技大學(xué)，柳州，545006

摘要：介紹了對(duì)數(shù)衰減法在非線性滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中判別臨界轉(zhuǎn)速的計(jì)算原理和所存在不足之處。指出了對(duì)數(shù)衰減法的適用范圍：穩(wěn)定性臨界曲線的量綱一偏心率在0.2～0.6之間。提出了一種可通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)并依據(jù)軸心軌跡圖形來(lái)判斷臨界轉(zhuǎn)速的新方法，并將其與對(duì)數(shù)衰減法進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明：圖形法判斷的臨界轉(zhuǎn)速是正確的，并且彌補(bǔ)了對(duì)數(shù)衰減法的不足。

關(guān)鍵詞：對(duì)數(shù)衰減；臨界轉(zhuǎn)速；非線性；軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)

0引言

非線性滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷一直是學(xué)者們的關(guān)注熱點(diǎn)，而非線性滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速?zèng)Q定了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是否穩(wěn)定，因此對(duì)非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的準(zhǔn)確判斷至關(guān)重要[1-3]。目前，對(duì)非線性滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的判別并沒(méi)有一個(gè)實(shí)用的方法和標(biāo)準(zhǔn)，一般多采用對(duì)數(shù)衰減率法。但對(duì)數(shù)衰減率法在非線性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中的應(yīng)用存在諸多不足，如判斷失真或無(wú)法判斷。廣義阻尼、穩(wěn)定欲度、相鄰波谷插值對(duì)數(shù)比等都是對(duì)數(shù)衰減率概念的變形，在實(shí)際應(yīng)用中并不能完全解決自身不足[4-6]。本文為了解決臨界轉(zhuǎn)速判斷失真現(xiàn)象，首先指出對(duì)數(shù)衰減率法在非線性軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速判別的適用范圍，然后提出一種較準(zhǔn)確且適用于非線性軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速判別新方法。

1軸心軌跡的計(jì)算

為了求出轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡，首先利用Reynolds方程解出系統(tǒng)的油膜壓力。通過(guò)有限差分法并用MATLAB編程求解簡(jiǎn)化的Reynolds方程：

(1)

式中，x、z為轉(zhuǎn)子圓周和徑向方向的坐標(biāo)，m；p為油膜壓力，Pa；U為軸頸表面速度，m/s；μ為流體動(dòng)力學(xué)黏度，Pa·s；t為時(shí)間，s。

求出系統(tǒng)油膜壓力后，通過(guò)一維辛普森積分法就能得出軸頸上瞬時(shí)油膜力Fx、Fy：

(2)

式中，F(xiàn)x、Fy分別為水平和豎向的油膜力，N；θ表示位置角，(°)。

軸心軌跡是旋轉(zhuǎn)機(jī)械監(jiān)測(cè)的重要內(nèi)容，能夠反映旋轉(zhuǎn)元件的運(yùn)行狀態(tài)等基本信息，對(duì)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析至關(guān)重要。如圖1所示，Oj為轉(zhuǎn)子圓心，為了求出系統(tǒng)軸心軌跡，首先利用式(2)求出的水平和豎向的油膜力Fx、Fy，然后運(yùn)用牛頓定律計(jì)算出軸心水平與豎向的加速度，最終可以求出每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的水平位移與豎向位移，每個(gè)時(shí)間點(diǎn)的位移軌跡即為軸心軌跡。

圖1　軸心瞬態(tài)軌跡模型

轉(zhuǎn)子軸心的水平與豎向加速度采用下式計(jì)算：

(3)

式中，F(xiàn)xj、Fyj分別為節(jié)點(diǎn)j水平和豎向的油膜力；G為轉(zhuǎn)子重力，N；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，kg。

轉(zhuǎn)子軸心水平與豎向的瞬態(tài)速度及位移的計(jì)算式為

(4)

(5)

Δt=12/(5v)

式中，Δt為時(shí)間間隔，s；v為轉(zhuǎn)子的線速度，m/s。

滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡在不同的轉(zhuǎn)速下存在穩(wěn)定、臨界和不穩(wěn)定3種狀態(tài)，如圖2所示，由軸心軌跡可以得出3種狀態(tài)的時(shí)域圖。

(a)穩(wěn)定狀態(tài)

(b)臨界狀態(tài)

(c)發(fā)散狀態(tài)圖2　軸心軌跡時(shí)域圖

2對(duì)數(shù)衰減法

為了說(shuō)明對(duì)數(shù)衰減法判斷臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的不足，引入

(6)

式中，x1、x2為波峰縱坐標(biāo)；y1、y2、y3為波谷縱坐標(biāo)。

對(duì)數(shù)衰減法是根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)域圖3種不同狀態(tài)的2個(gè)相鄰的波峰或波谷的對(duì)數(shù)比來(lái)進(jìn)行判斷的，根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)域圖的3種不同狀態(tài)，它們之間的對(duì)數(shù)比會(huì)出現(xiàn)3種狀態(tài)，即Ld>0，Ld=0，Ld<0。Ld=0的點(diǎn)即為臨界轉(zhuǎn)速，根據(jù)Ld>0， Ld<0兩種不同的狀態(tài)，通過(guò)插值法就能求出臨界轉(zhuǎn)速。這種插值法并不能很準(zhǔn)確地找出Ld=0的點(diǎn)，文獻(xiàn)[7]中給出了臨界轉(zhuǎn)速判斷范圍，即認(rèn)為|Ld|<10-4時(shí)已達(dá)到臨界狀態(tài)，這種方法計(jì)算出的臨界轉(zhuǎn)速和理想的臨界轉(zhuǎn)速相差并不大，并且相差值對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響幾乎可以忽略。

圖3　穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)間與偏心率關(guān)系

實(shí)際計(jì)算中，軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時(shí)域圖中的偏心率不會(huì)隨時(shí)間平滑變化，當(dāng)潤(rùn)滑油的黏度發(fā)生變化時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時(shí)域圖也會(huì)發(fā)生變化。因此，當(dāng)潤(rùn)滑油黏度變化為較大值或較小值，甚至在轉(zhuǎn)子存在一定制造誤差時(shí)就會(huì)出現(xiàn)多個(gè)小波峰，如圖4所示。對(duì)數(shù)衰減法是依據(jù)波峰來(lái)判別臨界轉(zhuǎn)速的，波峰發(fā)生變化后，對(duì)數(shù)衰減法就不再適用。文獻(xiàn)[6]利用波谷兩相鄰插值的對(duì)數(shù)來(lái)判斷臨界轉(zhuǎn)速，這種方法實(shí)質(zhì)上還是對(duì)數(shù)衰減法，且波谷的變化也并不總是那么有規(guī)則，對(duì)存在一定制造誤差的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)也不能完全適用，計(jì)算精度也不高，因此，這種方法不能適用于所有的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。

圖4　一定黏度下時(shí)間與偏心率關(guān)系

3求臨界轉(zhuǎn)速新方法

由于對(duì)數(shù)衰減率法在求臨界轉(zhuǎn)速時(shí)存在諸多限制，所以對(duì)數(shù)衰減法在非線性軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的判別中存在較多的局限性，為了克服對(duì)數(shù)衰減法的諸多缺點(diǎn)，提出了一種通過(guò)軸心軌跡圖形的變化來(lái)判斷臨界轉(zhuǎn)速的方法，并用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。如圖2所示，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸心軌跡在不同的轉(zhuǎn)速下存在3種不同的狀態(tài)，當(dāng)軸心軌跡的形狀和大小重復(fù)性很好時(shí)，會(huì)形成一個(gè)長(zhǎng)短軸相差不大的橢圓。這時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)就達(dá)到了臨界轉(zhuǎn)速，無(wú)論潤(rùn)滑油黏度如何變化、是否存在制造誤差。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，其軸心軌跡都會(huì)出現(xiàn)這種重復(fù)性很好的橢圓。根據(jù)軸心軌跡這一特性，通過(guò)判斷軸心軌跡的重疊度來(lái)判斷其臨界轉(zhuǎn)速，并用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)自動(dòng)搜索。

圖5　軸心軌跡

方法原理：如圖5所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速接近臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，軸心軌跡的內(nèi)圈橢圓和外圈橢圓就會(huì)具有一定的寬度(臨界寬度b)。轉(zhuǎn)速越接近臨界轉(zhuǎn)速，臨界寬度b越小。為了測(cè)出臨界寬度b的大小，通過(guò)從圓點(diǎn)O發(fā)出一條射線OA。射線OA與軸心軌跡的內(nèi)圈和外圈相交，取所有大于平均振幅即弧線BC的軌跡，內(nèi)外兩個(gè)相交點(diǎn)之差即臨界寬度b。雖然軸心軌跡在接近臨界狀態(tài)時(shí)的重復(fù)性很好，但實(shí)際上，軸心每轉(zhuǎn)一周的軌跡是彼此交錯(cuò)的，毫無(wú)規(guī)律，且軸心軌跡隨著參數(shù)的變化而變化。因此根據(jù)某一點(diǎn)的臨界寬度b來(lái)判斷是否達(dá)到臨界轉(zhuǎn)速的可信度并不高。為了提高可信度，本文在圖5的角度范圍(-90°～90°)之間每隔1.1Δt～1.5Δt(計(jì)算軸心軌跡時(shí)，步長(zhǎng)的間距為Δt)掃描一次。臨界區(qū)域b太小，搜尋的難度增大、搜尋時(shí)間長(zhǎng)；臨界區(qū)域b太大，計(jì)算的臨界轉(zhuǎn)速誤差增大，影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷。一般根據(jù)實(shí)際計(jì)算b可以取10μm、11μm、12μm，滿足臨界寬度b的次數(shù)n一般取4、5、6、7。b與n的數(shù)值是在已確保本文新的判別方法正確的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)反復(fù)大量的實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、修正，最終確定的，本文給出的值基本能夠滿足要求，確保不失真。

4穩(wěn)定性臨界曲線

為了得出對(duì)數(shù)衰減法的適用范圍，并更直觀地對(duì)比兩種方法，引入了反映轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性臨界轉(zhuǎn)速的量綱一運(yùn)行參數(shù)Op：

(7)

式中，g為重力加速度，m/s2；ω為轉(zhuǎn)子角速度，rad/s。

連續(xù)改變潤(rùn)滑油的動(dòng)力學(xué)黏度或轉(zhuǎn)子質(zhì)量后，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速發(fā)生相應(yīng)改變，將不同臨界轉(zhuǎn)速對(duì)應(yīng)的點(diǎn)連接起來(lái)即為穩(wěn)定性臨界曲線。穩(wěn)定性臨界曲線以量綱一參數(shù)Op為縱坐標(biāo)，以量綱一偏心率e為橫坐標(biāo)。量綱一偏心率求解方法：根據(jù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨潤(rùn)滑油黏度變化而求出的不同的臨界轉(zhuǎn)速，再根據(jù)系統(tǒng)其他參數(shù)不變的條件求出SommerfeldNumber，進(jìn)而求出量綱一偏心率[8]。

如圖6所示，本文采用與文獻(xiàn)[9]完全相同的參數(shù)，計(jì)算得出的穩(wěn)定性臨界曲線幾乎和文獻(xiàn)[9]的曲線重合，表明了本文方法的正確性；與文獻(xiàn)[10](參數(shù)缺失)的結(jié)果對(duì)比可知，曲線的變化趨勢(shì)基本相同，存在小的偏差是因?yàn)槊總€(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的參數(shù)并不是完全一致的，并受起點(diǎn)位置的影響。與文獻(xiàn)[9]、文獻(xiàn)[10]方法的對(duì)比表明，本文方法得出的穩(wěn)定性臨界曲線理論方法是正確的。

圖6　穩(wěn)定性臨界曲線

為了對(duì)比2種求臨界轉(zhuǎn)速的方法，采用相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)：轉(zhuǎn)子長(zhǎng)度L=76.2mm，軸瓦內(nèi)徑D=76.454mm，轉(zhuǎn)子直徑Dj=75.692mm，轉(zhuǎn)子質(zhì)量m=18.5kg。偏心率e在0.2～0.6之間(這個(gè)區(qū)域相對(duì)穩(wěn)定)時(shí)，域圖的波形都是較光滑的，說(shuō)明對(duì)數(shù)衰減法在這一范圍計(jì)算較準(zhǔn)確。從圖6可以看出，偏心率在0.1～0.6之間時(shí)，對(duì)數(shù)衰減法和本文方法得出的穩(wěn)定性參數(shù)Op幾乎一致，說(shuō)明了本文方法的可行性和準(zhǔn)確性。Op應(yīng)隨著偏心率的變化而平滑的變化，但從圖6、表1可以看出，偏心率e<0.2和e>0.6時(shí)，對(duì)數(shù)衰減法得出的Op有不規(guī)則變化。從表1可以看出：e<0.2時(shí)，2種方法的偏心率基本一致，Op發(fā)生了鋸齒形的變化；e>0.6時(shí)，對(duì)數(shù)衰減法的偏心率和Op都發(fā)生了不規(guī)則變化，潤(rùn)滑油黏度很小時(shí)，對(duì)數(shù)衰減法就無(wú)法判斷出結(jié)果，因此其穩(wěn)定性臨界曲線與本文方法對(duì)比時(shí)會(huì)缺少數(shù)據(jù)。偏心率e<0.2和e>0.6的區(qū)域是不穩(wěn)定區(qū)域，但主要還是因?yàn)榕R界轉(zhuǎn)速的判別失真造成的。同時(shí)也表明對(duì)數(shù)衰減法在這兩個(gè)區(qū)域的不適用性。

表1　數(shù)據(jù)分析

5結(jié)語(yǔ)

系統(tǒng)地介紹了對(duì)數(shù)衰減法的計(jì)算原理，指出了對(duì)數(shù)衰減法在非線性滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不足之處，并用穩(wěn)定性臨界曲線說(shuō)明了對(duì)數(shù)衰減法(包含變形的對(duì)數(shù)衰減法)在量綱一偏心率為0.2～0.6的范圍內(nèi)能夠適用于非線性滑動(dòng)軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，計(jì)算精度能夠滿足要求。

提出一種根據(jù)判斷軸心軌跡臨界區(qū)域?qū)挾萣來(lái)判斷臨界轉(zhuǎn)速的新方法，將對(duì)數(shù)衰減法和本文提出的圖形判別法進(jìn)行了對(duì)比，并用穩(wěn)定性臨界曲線驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性，通過(guò)MATLAB編程準(zhǔn)確搜尋出臨界轉(zhuǎn)速，且本圖形判別法不受潤(rùn)滑油黏度、制造誤差等因素的影響，方法直觀、便捷。

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(編輯張洋)

收稿日期：2015-09-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51265004,50865001)

中圖分類號(hào)：TH16；TK263.61； TK263.64

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.14.021

作者簡(jiǎn)介：王江輝，男，1987年生。廣西科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)榛瑒?dòng)軸承轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)。徐武彬，男，1966年生。廣西科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。李冰，女，1978年生。廣西科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。李小磊，男，1987年生。廣西科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。

A New Method for Judging Criticat Speed of Nonlinear Bearing Rotor System

Wang JianghuiXu WubinLi BingLi Xiaolei

Guangxi University of Technology，Liuzhou，Guangxi，545006

Abstract：The theory of computation on discriminating the whirling speed and some shortcomings existing inside the nonlinear sliding bearing rotor system were introduced herein. The scope of the logarithmic decrement was pointed out,which was suitable for the stability critical curve dimensionless eccentricity between 0.2 and 0.6. A new method for judging the critical speed by MATLAB graphical programming was proposed, which was compared with the logarithmic decrement method.The results show that the graphic method to determine the critical speed is correct and the deficiency of the logarithmic decrement method is corrected.

Key words：logarithmic decrement； critical speed；nonlinear； bearing rotor system