王付永，楊洪勇，韓輔君

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 264025)

多領(lǐng)航者網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)群集運(yùn)動(dòng)

王付永，楊洪勇，韓輔君

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 264025)

針對(duì)時(shí)變動(dòng)態(tài)切換拓?fù)湎戮哂卸鄠€(gè)領(lǐng)航者的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，本文分別給出了一階/二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的控制算法，并對(duì)所提出的控制算法進(jìn)行了理論分析.運(yùn)用現(xiàn)代控制理論、代數(shù)圖論和矩陣論等分析工具，研究了當(dāng)通信拓?fù)錇閯?dòng)態(tài)聯(lián)合連通時(shí)，系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)群集運(yùn)動(dòng)，即系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡都收斂到由多個(gè)領(lǐng)航者構(gòu)成的凸包中.通過(guò)對(duì)系統(tǒng)信息拓?fù)溥B通部分的進(jìn)一步研究，得到了二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)的約束條件.最后應(yīng)用仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了結(jié)論的正確性.

多領(lǐng)航者；網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)；群集運(yùn)動(dòng)；聯(lián)合連通

1　引言

近年來(lái)，基于生物學(xué)啟發(fā)的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)分布式協(xié)調(diào)問(wèn)題引起了眾多研究者的廣泛關(guān)注.在生物學(xué)、社會(huì)行為學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、通信網(wǎng)絡(luò)等分布式控制領(lǐng)域的應(yīng)用，大大推動(dòng)了對(duì)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)協(xié)同運(yùn)動(dòng)的深入研究.

網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的一致性問(wèn)題是分布式協(xié)同控制的一個(gè)重要研究方向[1～3].包容控制是一種具有多領(lǐng)航者的類一致性問(wèn)題，其目的在于通過(guò)設(shè)計(jì)跟隨者的控制協(xié)議使得跟隨者最終收斂到領(lǐng)航者圍成的某一目標(biāo)區(qū)域內(nèi)(領(lǐng)航者圍成的凸包內(nèi)).具有單領(lǐng)航者的包容控制實(shí)際上是一致性跟蹤問(wèn)題[4～6]，具有多領(lǐng)航者的群集運(yùn)動(dòng)控制主要包括一階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)[7～10]、二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)[11～13]和非線性系統(tǒng)[14].多領(lǐng)航者網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的群集運(yùn)動(dòng)控制，就是具有多個(gè)領(lǐng)航者的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題.

文獻(xiàn)[7]首先研究了無(wú)向連通網(wǎng)絡(luò)中一階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題，并利用偏差分方程的方法證明了控制算法的有效性.文獻(xiàn)[8]討論了一階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題，并證明了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥B通時(shí)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)包容控制.文獻(xiàn)[9]研究了有向網(wǎng)絡(luò)中固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)鋬煞N情況下一階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題，并給出了系統(tǒng)收斂的充要條件.文獻(xiàn)[10]研究了一階線性網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的分布式包容控制問(wèn)題，提出了一種基于動(dòng)態(tài)輸出反饋的控制算法.文獻(xiàn)[11]針對(duì)具有動(dòng)態(tài)領(lǐng)航者的二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，分別提出了連續(xù)漸近包容控制算法和離散漸近包容控制算法.文獻(xiàn)[12]研究了隨機(jī)切換拓?fù)湎露A網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的包容控制問(wèn)題，并提出了一種基于不可約馬爾科夫鏈信息拓?fù)涞陌菘刂扑惴?文獻(xiàn)[13]研究了二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的分布式包容控制問(wèn)題，并給出了系統(tǒng)收斂的充分必要條件.文獻(xiàn)[14]研究了非線性網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的姿態(tài)包容控制問(wèn)題，并提出了兩種有限時(shí)間收斂的包容控制算法.

在實(shí)際應(yīng)用中，通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)通常是變化的，不連通的.在網(wǎng)絡(luò)拓?fù)錇槁?lián)合連通條件下，文獻(xiàn)[15]研究了一階時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，并擴(kuò)展到了二階時(shí)滯網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)[16].文獻(xiàn)[17]研究了時(shí)滯系統(tǒng)和非時(shí)滯系統(tǒng)兩種情況下具有動(dòng)態(tài)領(lǐng)航者的二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的一致性跟蹤問(wèn)題.文獻(xiàn)[18]則研究了非線性網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的一致性跟蹤問(wèn)題.因此在系統(tǒng)拓?fù)洳贿B通的情況下，研究具有多個(gè)領(lǐng)航者的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的群集運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題具有十分重要的意義.

本文研究在聯(lián)合連通條件下由多個(gè)領(lǐng)航者引導(dǎo)的一階和二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的群集運(yùn)動(dòng)問(wèn)題.本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于假設(shè)系統(tǒng)信息拓?fù)洳贿B通的情況下，提出了具有多領(lǐng)航者的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)在聯(lián)合連通條件下的群集運(yùn)動(dòng)控制算法，應(yīng)用矩陣?yán)碚摵同F(xiàn)代控制理論，研究了算法的收斂性.

2　代數(shù)圖論

設(shè)G=(V,ω,A)是n個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)重?zé)o向圖，V={1,2,…,n}為一個(gè)頂點(diǎn)(或節(jié)點(diǎn))集合，ω?V×V為一個(gè)邊的集合，A=[aij]∈n×n為權(quán)重鄰接矩陣.對(duì)于?i∈V，aii=0；對(duì)于?i,j∈V,i≠j，若(i,j)∈ω，則aij>0，否則，aij=0.節(jié)點(diǎn)i的鄰居集合定義為Ni={j∈V|(i,j)∈ω}.定義D=diag{d1,d2,…,dn}∈n×n為圖G的度矩陣，其中aij，i=1,2,…,n.權(quán)重圖G的Laplacian矩陣定義為：L=D-A∈n×n.

定義1如果網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中的一個(gè)自主體至少存在一個(gè)鄰接成員，則稱為跟隨者，否則稱為領(lǐng)航者.

定義2[16]設(shè)拓?fù)鋱DG1,G2,…,Gm具有相同的頂點(diǎn)集V，其并集記為G1-m，它的節(jié)點(diǎn)集是V，邊集是所有圖G1,G2,…,Gm的邊的并集，它的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)節(jié)點(diǎn)間的鏈接權(quán)重是圖G1,G2,…,Gm第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)節(jié)點(diǎn)間所有的鏈接權(quán)重之和.稱G1,G2,…,Gm為聯(lián)合連通，如果它們的聯(lián)合圖G1-m是連通的.

考慮一組無(wú)窮有序的有界連續(xù)時(shí)間段[tr,tr+1),r=1,2,…,且t1=0,tr+1-tr≤T1,T1>0.假設(shè)每個(gè)時(shí)間段[tr,tr+1)中存在一組非重疊的有限子序列[tr,j,tr,j+1),j=1,2,…,mr，且系統(tǒng)拓?fù)湓赱tr,j,tr,j+1)內(nèi)保持不變，其中tr,1=tr，tr,mr+1=tr+1，tr,j+1-tr,j≥T2,T2>0.令σ(t):[0,+∞)→Γ,Γ={1,2,…,N}為一個(gè)分段切換常函數(shù)，N為總拓?fù)鋽?shù).本文研究由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者組成的分布式網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng).系統(tǒng)在t時(shí)刻的信息拓?fù)鋱D記為Gσ(t)，相應(yīng)的Laplacian矩陣記為L(zhǎng)σ(t).其中，由n個(gè)跟隨者構(gòu)成的信息拓?fù)鋱D記為GFσ(t)，相應(yīng)的Laplacian矩陣記為L(zhǎng)Fσ(t).

3　一階多領(lǐng)航者網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)控制算法分析

考慮一個(gè)由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng).跟隨者集合與領(lǐng)航者集合分別記為F={1,2,…,n}和Υ={n+1,n+2,…,n+m}.假設(shè)一階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程描述為：

(1)

其中，xi(t)∈，ui(t)∈分別為網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中第i個(gè)自主體的狀態(tài)和控制輸入.

假設(shè)1由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)拓?fù)湓诜侵丿B時(shí)間區(qū)間[tr,tr+1),r=1,2,…內(nèi)為聯(lián)合連通的.

假設(shè)2非重疊時(shí)間區(qū)間[tr,j,tr,j+1)?[tr,tr+1),j=1,2,…,mr內(nèi)，分布式網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)存在一連通子集.連通子集中任意一個(gè)跟隨者i，至少與一個(gè)領(lǐng)航者j之間存在一條路徑.

假設(shè)一階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制協(xié)議為：

(2)

根據(jù)定義3，系統(tǒng)(1)可描述為：

(3)

其中，x(t)=[x1(t),…,xn(t),xn+1(t),…,xn+m(t)]T.

定義4[9]設(shè)集合X={x1,x2,…,xm}為實(shí)向量空間V?的子集，X的凸包定義為}.

(4)

(5)

在動(dòng)態(tài)切換拓?fù)湎戮W(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)式(3)可描述為：

(6)

在每個(gè)時(shí)間段[tr,j,tr,j+1)內(nèi)，系統(tǒng)(6)可以被分解為nσ個(gè)子系統(tǒng)，即

(7)

定理1考慮由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者構(gòu)成的一階動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，且滿足動(dòng)態(tài)方程式(1)，在假設(shè)1和假設(shè)2條件下，則系統(tǒng)在控制協(xié)議(2)下能夠?qū)崿F(xiàn)漸近包容控制.

證明由式(7)，得

即有

(8)

在時(shí)間段[tr,j,tr,j+1)內(nèi)解式(8)可得

(9)

4　二階多領(lǐng)航者網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)控制算法分析

假設(shè)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者組成，其二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程描述為：

i=1,…,n,n+1,…,n+m

(10)

其中，qi(t)∈，pi(t)∈，ui(t)∈分別為網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)中第i個(gè)自主體的位置信息、速度信息和控制輸入.假設(shè)二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)控制協(xié)議為：

+γ(pi(t)-pj(t))], i∈F

pi(t)=0, i∈Υ

(11)

其中，α,β,γ均為常數(shù).

根據(jù)式(10)和式(11)，二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)可描述為：

(12)

其中，

pΥ(t)=[pn+1(t),…,pn+m(t)]Τ，ξF(t)表示跟隨者的信息，ξΥ(t)表示領(lǐng)航者的信息，qF(t)和qΥ(t)分別表示跟隨者和領(lǐng)航者的位置信息，pF(t)和pΥ(t)分別表示跟隨者和領(lǐng)航者的速度信息.采用與式(4)相同的處理方法，存在一個(gè)置換矩陣Eσ，使得

(13)

(14)

(15)

其中，

i=1,2,…,nσ.

在每個(gè)時(shí)間段[tr,j,tr,j+1)內(nèi)，系統(tǒng)(12)可以被分解為nσ個(gè)子系統(tǒng)，即

(16)

其中，

定理2考慮由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者構(gòu)成的二階動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)，且滿足動(dòng)態(tài)方程式(10)，在假設(shè)1和假設(shè)2條件下，且對(duì)任意的t∈(0,+∞)滿足

(17)

則系統(tǒng)在控制協(xié)議(11)下能夠?qū)崿F(xiàn)漸近包容控制.其中，μk表示矩陣(-LFσ)的特征值.

證明由式(16)，得

(18)

(19)

由式(18)，得

由式(19)，得

在時(shí)間段[tr,j,tr,j+1)內(nèi)解式(18)可得

5　實(shí)例分析

考慮3個(gè)領(lǐng)航者和6個(gè)跟隨者，領(lǐng)航者集合和跟隨者集合分別為Υ={7,8,9}和F={1,2,3,4,5，6}，其動(dòng)態(tài)拓?fù)鋱D如圖1所示.假定系統(tǒng)互連拓?fù)鋱D在時(shí)刻t=kT,k=0,1,…，在拓?fù)鋱DG1～G4中隨機(jī)地切換，T取為0.5s.系統(tǒng)互連拓?fù)鋱D的連接權(quán)重下圖中已標(biāo)記，未標(biāo)記的默認(rèn)為1.

5.1一階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)數(shù)值仿真

跟隨者和領(lǐng)航者的初始位置分別取為x1(0)=(0,0)，x2(0)=(2,0)，x3(0)=(4,0)，x4(0)=(6,0)，x5(0)=(8,0)，x6(0)=(10,0)；x7(0)=(4,6)，x8(0)=(4,8)，x9(0)=(6,8).系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2，可見各跟隨者的位置最終漸近收斂到了由三個(gè)領(lǐng)航者的位置所圍成的平面三角形區(qū)域內(nèi)，即一階多領(lǐng)航者網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了群集運(yùn)動(dòng).

5.2二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)數(shù)值仿真

根據(jù)系統(tǒng)聯(lián)合拓?fù)鋱DG，得系統(tǒng)矩陣LF.經(jīng)計(jì)算，LF的特征值約為：10.4630，4.7517，3.7539，2.2568，1.1940，0.5806.取β=1.0>0，γ=-0.2，α=2.1.跟隨者的初始位置及初始速度分別取為q1(0)=(1,1)，q2(0)=(2,2)，q3(0)=(2,7)，q4(0)=(3,5)，q5(0)=(5,6)， q6(0)=(7,3)，p1(0)=(2,6)，p2(0)=(3,8)，p3(0)=(4,6)，p4(0)=(5,5)，p5(0)=(6,3)，p6(0)=(9,7).靜態(tài)領(lǐng)航者的初始位置取為q7(0)=(8,10)，q8(0)=(10,8)，q9(0)=(10,10).系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖3，可見各跟隨者的位置最終漸近收斂到了由三個(gè)領(lǐng)航者的位置所圍成的平面三角形區(qū)域內(nèi)，即二階多領(lǐng)航者網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了群集運(yùn)動(dòng).

6　結(jié)論

本文研究了在聯(lián)合連通條件下具有多個(gè)靜態(tài)領(lǐng)航者的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的群集運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，并分別針對(duì)一階/二階系統(tǒng)提出了相應(yīng)的控制算法.運(yùn)用控制理論及代數(shù)圖論等理論工具分別對(duì)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)進(jìn)行了收斂性分析，給出了一階系統(tǒng)的一般收斂性條件以及二階系統(tǒng)收斂性對(duì)控制增益系數(shù)的約束條件.仿真示例分別對(duì)一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的理論結(jié)果進(jìn)行了有效驗(yàn)證.

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王付永男，1990年3月出生，山東濟(jì)南人.2013年于魯東大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為魯東大學(xué)碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)閺?fù)雜網(wǎng)絡(luò)、多智能體編隊(duì)控制等.

E-mail：wangfuyong0323@163.com

楊洪勇男，1967年9月出生，山東慶云人.2005年畢業(yè)于東南大學(xué)自動(dòng)化系，獲得博士學(xué)位，現(xiàn)為魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院教授，主要從事復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)、多智能體編隊(duì)、智能控制、非線性系統(tǒng)控制等領(lǐng)域研究工作.

E-mail：hyyang@yeah.net

Flocking Motion of Dynamic Networked Systems with Multiple Leaders

WANG Fu-yong,YANG Hong-yong,HAN Fu-jun

(College of Information and Electrical Engineering,Ludong University,Yantai,Shandong 264025,China)

Control algorithms are presented for the first-order and second-order networked systems with multiple leaders and time-varying dynamic switching topologies.By applying modern control theory and algebraic graph theory,the cooperative motion of networked systems with jointly-connected topologies is studied,and the flocking motion control of networked systems is obtained,i.e.,trajectories of multi-agent systems are converged to the convex hull formed by multiple leaders.Through further researching the connected portion of networked systems,the constraint condition of flocking motion control for second-order networked systems is achieved.Finally,a simulation example is given to verify the effectiveness of the conclusion.

multiple leaders;networked systems;flocking motion;jointly-connected

2015-04-14；

2015-08-08；責(zé)任編輯：孫瑤

國(guó)家自然科學(xué)基金(No.61273152)；山東省科技發(fā)展計(jì)劃(No.2012YD03110)

TP27

A

0372-2112 (2016)07-1751-06

??學(xué)報(bào)URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.07.033