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      數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)分析
      ——怎樣解答“盈虧問題”

      2016-08-10 02:40:22鄧忠洪
      新課程 2016年2期
      關(guān)鍵詞:盈虧對(duì)折繩子

      鄧忠洪

      (四川省資陽(yáng)市雁江區(qū)第七小學(xué))

      數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)分析
      ——怎樣解答“盈虧問題”

      鄧忠洪

      (四川省資陽(yáng)市雁江區(qū)第七小學(xué))

      平時(shí)學(xué)生不會(huì)做數(shù)學(xué)題時(shí),我們有的老師總認(rèn)為學(xué)生沒讀懂題,讓學(xué)生反復(fù)讀題。殊不知,你讓學(xué)生按語文的讀題方法去讀,哪怕他讀上一千遍一萬遍,他做不來還是做不來。數(shù)學(xué)的建模與分析非常重要,有了規(guī)范的數(shù)學(xué)模型,就能正確地進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。只有明確了題目中各種信息及問題間的數(shù)量關(guān)系,才能正確迅速地解決較難的數(shù)學(xué)問題。筆者以“盈虧問題”的解題方法為例,談?wù)勗鯓咏?shù)學(xué)模型和進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。

      一、他人的經(jīng)驗(yàn)及方法

      把一定數(shù)量的物品平均分給一定數(shù)量的人,每人少分,則物品有余(盈);每人多分,則物品不足(虧)。已知所盈和所虧的數(shù)量及兩次每人所分的數(shù)量,求人數(shù)的應(yīng)用題叫盈虧問題。

      盈虧問題的基本解法是:份數(shù)=(盈+虧)÷兩次分配數(shù)的差;

      物品總數(shù)=每份個(gè)數(shù)×份數(shù)±盈虧數(shù)。

      解答盈虧問題的關(guān)鍵是要求出總差額和兩次分配的數(shù)量差,然后利用基本公式求出分配人數(shù),進(jìn)而求出物品的數(shù)量。

      趣味數(shù)學(xué)之《木長(zhǎng)幾何》——《孫子算經(jīng)》里有這樣一道題:今有木,不知長(zhǎng)短。引繩度之,余繩四尺五,屈繩量之,不足一尺。木長(zhǎng)幾何?(屈繩的意思是把繩子對(duì)折,度是量的意思,四尺五是4.5尺)

      分析:用繩量木,繩子多出4.5尺,把繩對(duì)折再量,繩子又短1尺,可推出單股繩子比對(duì)折起來長(zhǎng)5.5尺,多出的5.5尺正好是繩子的一半(如圖)。

      解答:繩子的長(zhǎng)度:(4.5+1)×2=11(尺)

      木料的長(zhǎng)度:11-4.5=6.5(尺)

      答:(略)

      分析中,“用繩量木,繩子多出4.5尺,把繩對(duì)折再量,繩子又短1尺,可推出單股繩子比對(duì)折起來長(zhǎng)5.5尺?!边@里用到了一點(diǎn)點(diǎn)“盈虧問題”。為什么這樣說呢?遇到類似問題還能用這種方法解答嗎?請(qǐng)關(guān)注下面的內(nèi)容。

      二、建立數(shù)學(xué)模型

      他人的方法及經(jīng)驗(yàn)看似簡(jiǎn)單易行,可事實(shí)并非如此。學(xué)生機(jī)械地套用公式,并不完全理解解題思路,題目稍加變化,他們又束手無策了。

      筆者引導(dǎo)學(xué)生先分析并找出“盈虧問題”的特點(diǎn)——它就是兩種有余數(shù)的除法,再根據(jù)有余數(shù)除法各部分間的關(guān)系,建立“盈虧問題”總的數(shù)學(xué)模型:

      “盈虧問題”總的數(shù)學(xué)模型中兩次被平均分的總數(shù)——被除數(shù)是一定(不變)的;平均分的標(biāo)準(zhǔn)不同,我們歸納為兩種,即除數(shù)1和除數(shù)2;分得的結(jié)果中的份數(shù)——商也是一定(不變)的,分得的結(jié)果中的余數(shù)——盈虧數(shù)則不同,我們把它們分別定義為余數(shù)1和余數(shù)2。當(dāng)被除數(shù)和商不變時(shí),除數(shù)變大,余數(shù)則會(huì)變小,反之。

      兩次分得的余數(shù)之間的差,我們把它定義為“總差”,兩次平均分的標(biāo)準(zhǔn)之間的差,我們把它定義為“小差”。正因?yàn)橛蟹值玫慕Y(jié)果之一“商”那么多個(gè)“小差”才匯成最后結(jié)果之二“余數(shù)”間的“總差”,即“小差×商=總差”。于是,關(guān)鍵問題“商”就得到解決:商=總差÷小差。

      如“幼兒園買來一些玩具,如果每班分7個(gè)玩具,則多出2個(gè)玩具;如果每班分10個(gè)玩具,則差13個(gè)玩具,幼兒園有幾個(gè)班?這批玩具有多少個(gè)?”的數(shù)學(xué)模型:

      三、進(jìn)行數(shù)學(xué)分析

      根據(jù)建好的數(shù)學(xué)模型,我們進(jìn)行“盈虧問題”的數(shù)學(xué)分析:

      第二種分法的總個(gè)數(shù)比第一種分法的總個(gè)數(shù)多(2+13)個(gè)為“總差”,第二種分法比第一種分法每班多分(10-7)個(gè)為“小差”,每班多分的“小差”乘班數(shù)就等于最后的“總差”。由此可以求出幼兒園共幾班這個(gè)關(guān)鍵問題。

      這個(gè)幼兒園有(2+13)÷(10-7)=5(班)

      求出了模型中的商,再根據(jù)有余數(shù)的除法中“被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)”就可求出這批玩具共有多少個(gè)了。

      這批玩具有7×5+2=37(個(gè))或10×5-13=37(個(gè))

      答:(略)

      四、適時(shí)推廣應(yīng)用

      我們通過建立數(shù)學(xué)模型和進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,掌握了“盈虧問題”的解題方法,適當(dāng)增加難度,加以推廣應(yīng)用。

      1.用一根長(zhǎng)繩測(cè)量井的深度,如果繩子兩折時(shí),多5米,如果繩子三折時(shí),差1米。求繩子長(zhǎng)度和井深。(提示:繩子兩折即把繩子平均分成兩份,三折即三股。)

      社區(qū)教育傳承與創(chuàng)新非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的活動(dòng)主體多為各級(jí)政府部門、駐社區(qū)機(jī)構(gòu)、公共服務(wù)機(jī)構(gòu)、企事業(yè)單位、社區(qū)居民、學(xué)校及其他教育機(jī)構(gòu)等,但各部門的責(zé)任分工還不夠細(xì)化明確。盡管一些院校開展了非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的教育工作,設(shè)置了相關(guān)課程,但仍存在不專業(yè)現(xiàn)象。比如藝術(shù)院校將原本的設(shè)計(jì)藝術(shù)學(xué)專業(yè)設(shè)置為“傳統(tǒng)工藝美術(shù)”,將原本的戲曲文學(xué)專業(yè)設(shè)置為“傳統(tǒng)戲曲”等,但這些課程所涉及的內(nèi)容往往學(xué)科化有余,傳統(tǒng)性傳承性不足,而且,非物質(zhì)遺產(chǎn)的中、高等教育有待健全[7]。此外,企業(yè)組織機(jī)構(gòu)及其他社會(huì)力量的參與度并不夠,也在很大程度上限制了活動(dòng)的靈活性和影響力,達(dá)不到應(yīng)有的社會(huì)效應(yīng)。

      很明顯,該題不能用“他人的經(jīng)驗(yàn)及方法”之《木長(zhǎng)幾何》的方法來進(jìn)行解答。而《木長(zhǎng)幾何》題目卻能用“盈虧問題”的模型來進(jìn)行分析和解答。

      2.小宏從家到校上學(xué),出發(fā)時(shí)他看看表,發(fā)現(xiàn)如果每分鐘步行80米,他將遲到5分鐘;如果先步行10分鐘后,再改成騎車每分鐘行200米,他就可以提前1分鐘到校。問小宏從家出發(fā)時(shí)離上學(xué)時(shí)間有幾分鐘?

      觀察分析,這兩題都屬“盈虧問題”,只是題中的“盈虧(余數(shù))”不是現(xiàn)成的,需要首先求出。

      第1題的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析:

      井深:(5×2+1×3)÷(3-2)=13(米)

      繩長(zhǎng):2×13+5×2=36(米)或(13+5)×2=36(米)答:(略)

      《木長(zhǎng)幾何》數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析:

      木長(zhǎng):(4.5×1+1×2)÷(2-1)=6.5(尺)

      繩長(zhǎng):6.5+4.5=11(尺)或(6.5-1)×2=11(尺)

      答:(略)

      通過比較《木長(zhǎng)幾何》的兩種方法,我們發(fā)現(xiàn),他人的經(jīng)驗(yàn)及方法具有局限性,只能用于特例;而我們的“盈虧問題”模型具有通用性,只要是“盈虧問題”都能用它來解答。

      第2題的數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)分析——

      “余數(shù)1”:80×5=400(米)

      求“余數(shù)2”步驟多一些。

      ①10分鐘的步行改成騎車要提前:10-80×10÷200=6(分)

      ②假如他騎車一直騎到上學(xué)時(shí)間到時(shí)會(huì)多行:200×(6+1)= 1400(米)

      “余數(shù)2”也可:(200-80)×10+200×1=1400(米)

      小宏從家出發(fā)時(shí)離上學(xué)有:(400+1400)÷(200-80)=15(分)

      答:(略)

      我相信,只要堅(jiān)持讓學(xué)生按數(shù)學(xué)模型來讀題、抄題,數(shù)學(xué)分析就更加容易和明了,他們就會(huì)更好地解決各種數(shù)學(xué)難題。

      何升根.也談“一類盈虧問題的解法”[J].小學(xué)教學(xué)參考:教學(xué)版,2006(35):45.

      ·編輯段麗君

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