對(duì)合K-正則半環(huán)

馮軍慶， 徐　慧

(空軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710051)

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對(duì)合K-正則半環(huán)

馮軍慶*， 徐慧

(空軍工程大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710051)

研究對(duì)合K-正則半環(huán)的性質(zhì)，利用K-正則半環(huán)的Green-關(guān)系從多個(gè)角度刻畫對(duì)合K-正則半環(huán)，對(duì)合半群的冪半環(huán)是對(duì)合K-正則半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)合半群是對(duì)合正則半群，最后給出對(duì)合正則半群的冪半環(huán)是對(duì)合交換半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)命題。

對(duì)合K-正則半環(huán)；K-冪等元； 冪等元半環(huán)； 冪半環(huán)

MR subject classification: 19A49

1　預(yù)備知識(shí)

若非空集合S上裝有兩個(gè)二元運(yùn)算加法(+)和乘法(·)，其中(S,+)和(S,·)是半群，且滿足乘法對(duì)加法的分配律，即

?a、b∈S,a(b+c)=ab+ac,

則稱(S,+,·)是半環(huán)。以下在不引起混淆的情況下，半環(huán)(S,+,·)簡(jiǎn)寫為S。

含對(duì)合*運(yùn)算的半環(huán)(S,+,·,*)[1]是指(S,+,·)是半環(huán)，且有下式成立：

?x、y∈S, (x+y)*=y*+x*,

(xy)*=y*x*, (x*)*=x。

*是S上的反自同構(gòu)，*也可以看作半環(huán)上的一元運(yùn)算，把含對(duì)合*運(yùn)算的半環(huán)簡(jiǎn)稱為對(duì)合半環(huán)[1]。

半環(huán)(S,+,·)稱為K-正則半環(huán)[2]是指(S,+)是半格，且對(duì)任意a∈S，都存在x∈S，使得a+axa=axa。本文中把含對(duì)合*運(yùn)算的K-正則半環(huán)稱為對(duì)合K-正則半環(huán)。

對(duì)合半環(huán)在代數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域和計(jì)算機(jī)科學(xué)中占有重要地位。例如，在形式語(yǔ)言和自動(dòng)機(jī)理論中的語(yǔ)言對(duì)合半環(huán)[3]豐富了Kleene循環(huán)運(yùn)算理論。近年來，Dolinca對(duì)合半群和對(duì)合半環(huán)領(lǐng)域做了大量的研究[4-6]，文獻(xiàn)[2]對(duì)K-正則半環(huán)做了深入細(xì)致的刻畫.本文受此啟發(fā)，在K-正則半環(huán)上引入對(duì)合*運(yùn)算，研究了K-正則半環(huán)的一個(gè)子類對(duì)合K-正則半環(huán)，對(duì)合半群的冪半環(huán)是對(duì)合K-正則半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)合半群是對(duì)合正則半群，最后給出了對(duì)合正則半群的冪半環(huán)是對(duì)合交換半環(huán)的幾個(gè)等價(jià)命題。

首先，介紹一些概念和術(shù)語(yǔ)。

設(shè)(S,+,·)是半環(huán)，記它的加法和乘法冪等元的集合分別為E+(S)和E·(S)，這里

E+(S)={e|e+e=e},E·(S)={e|e2=e},

用Sl+表示加法是半格的半環(huán)簇。對(duì)任意S∈Sl+，S中的元素e稱為K-冪等元，是指e+e2=e2，S的全體K-冪等元構(gòu)成的集合記為EK(S)。類似于正則半群上的Green-關(guān)系，我們定義K-正則半環(huán)上的兩個(gè)Green-關(guān)系如下：

?a、b∈S,

本文未涉及的其他概念和符號(hào)請(qǐng)參見文獻(xiàn)[7-9]。

2　對(duì)合K-正則半環(huán)的等價(jià)刻畫

本節(jié)將給出對(duì)合K-正則半環(huán)的等價(jià)刻畫，為此先給出引理1。

引理1設(shè)(S,+,·,*)∈Sl+，且a、b、c、d∈S，

(1)若存在x1、x2、y1、y2∈S,使得a+x1by1=x2by2,則

a+(x1+x2+y1+y2)b(x1+x2+y1+y2)=(x1+x2+y1+y2)b(x1+x1+y1+y2),

(2)若存在x、y∈S,使得a+xby=xcy,則

a+(x+y)(b+c)(x+y)=

(x+y)(b+c)(x+y)。

(3)若存在x、y∈S,使得a+xcx=xcx,b+ydy=ydy,則

a+(x+y)(c+d)(x+y)=

(x+y)(c+d)(x+y),

b+(x+y)(c+d)(x+y)=

(x+y)(c+d)(x+y)。

(4)若a+b=b,c+d=d,則ac+bd=bd。

證明(1) 設(shè)u=x1+x2+y1+y2,則

x1by1+ubu=x2by2+ubu=ubu,

所以a+x1by1+ubu=x2by2+ubu,即a+ubu=

ubu, 且

a*+u*b*u*=(a+ubu)*=

(ubu)*=u*b*u*。

(2)

xby+(x+y)(b+c)(x+y)=

xcy+(x+y)(b+c)(x+y)=

(x+y)(b+c)(x+y),

a*+(x*+y*)(b*+c*)(x*+y*)=

a*+(x+y)*(b+c)*(x+y)*=

[a+(x+y)(b+c)(x+y)]*=

[(x+y)(b+c)(x+y)]*=

(x*+y*)(b*+c*)(x*+y*)。

(3)

xcy+(x+y)(b+c)(x+y)=

xdy+(x+y)(b+c)(x+y)=

(x+y)(b+c)(x+y)。

類似(2)，可證明

a*+(x*+y*)(c*+d*)(x*+y*)=

(x*+y*)(c*+d*)(x*+y*),

b*+(x*+y*)(c*+d*)(x*+y*)=

(x*+y*)(c*+d*)(x*+y*)。

(4) 事實(shí)上，由ac+bc=bc,得ac+b(c+d)=b(c+d),所以ac+bd=bd,且

a*c*+b*d*=(ca)*+(db)*=

(ca+db)*=(db)*=b*d*。

設(shè)(F,·,*)是對(duì)合半群，令S=P(F)是F的冪集,定義A+B=A∪B，AB={ab|a∈A,b∈B}。由F上的對(duì)合*運(yùn)算誘導(dǎo)它的冪集上的*運(yùn)算為A*={a*|a∈A},則(S,+,·,*)是對(duì)合半環(huán)，且S∈Sl+。

定理2設(shè)(F,·,*)是對(duì)合半群，則半環(huán)(P(F),+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)(F，·,*)是對(duì)合正則半群。

證明設(shè)(P(F),+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán)，任取a*∈S，則A*={a*}∈P(F)，于是存在X*∈P(F)，使得A*+A*X*A*=A*X*A*，即A*?A*X*A*。故存在x*∈X*，使得a*=a*x*a*，于是(F,·,*)是對(duì)合正則半群。

反之，設(shè)(F,·,*)是對(duì)合半群A*∈P(F)，則對(duì)任意a*∈A*，存在x*∈F，使得a*=a*x*a*，對(duì)于這樣的x*記為xa，則X*={xa|a∈A}∈P(F)。故A*?A*X*A*，即A*+A*X*A*=A*X*A*，因此(P(F),+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán)。

3　正則半群的冪半環(huán)是

對(duì)合交換半環(huán)

設(shè)(S，+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán)，若它的K-冪等元e、f可交換，任取a、b∈S，存在x、y、z∈S，使得a+axa=axa,b+byb=byb,ab+abzab=abzab,于是zab+zabzab=zabzab,abzab+abzabzab=abzabzab,從而ab+abzabzab=abzabzab。由引理1可知，令t=x+y+abz+zab,則a+ata=ata,b+btb=btb,ab+abtab=abtab,這里ta、bt∈EK(S)，故tabt=bt2a,ab+bt2a=bt2a,于是我們可得到下述定理。

定理3設(shè)(S,+,·,*)是對(duì)合K-正則半環(huán)，對(duì)任意e、f∈EK(S),ef=fe,則對(duì)任意a、b∈S存在x∈S使得ab+bxa=bxa。

定理4設(shè)(F,·,*)是對(duì)合正則半群，則下列命題等價(jià)：

(1)P(F)的K-冪等元可交換；

(2) (F,·,*)是對(duì)合交換半群；

(3) (P(F),+,·,*)是對(duì)合交換半環(huán)。

證明易證明(2)?(3),(3)?(1)，下面只給出(1)?(2)的證明。

設(shè)a*∈F,e2=e∈F，則{a*}、{e}∈P(F),由定理3知，存在X*、Y*∈P(F)，使得

{e}{a*}+{a*}X*{e}={a*}X*{e},

{a*}{e}+{e}Y*{a*}={e}Y*{a*},

于是存在x*、y*∈X*,使得

ea*=a*x*e,a*e=ey*a*,所以

ea*e=a*x*e2=a*x*e=ea*,

ea*e=e2y*a*=ey*a*=a*e,

從而a*e=ea*,因此(F,·,*)是Clifford-半群。

于是F=[L,Gα,Φα,β,*]是群的對(duì)合強(qiáng)半格，且ab=(aΦα,αβ)(bΦβ,αβ),a∈Gα,b∈Gβ,aΦα*,β*=((a*)Φα,β)*。設(shè)eα*是Gα*的單位元，a、b∈Gα*，則A={eα*,a},B={eα*,b}∈P(F),且A、B是P(F)的K-冪等元，故AB=BA，即

{eα*,a,b,ab}={eα*,a,b,ba}。

若a=eα*或b=eα*,則ab=ba,又ab≠a,ab≠b,于是要么ab=eα*,要么ab=ba;若ab=eα*,則b=a-1,即a是b的逆元?？傊產(chǎn)b=ba,從而Gα*是阿貝爾群，對(duì)任意α*∈L,a∈Gα*,b∈Gβ*,

ab=(aΦα*,α*β*)(bΦβ*,α*β*)=

(bΦβ*,α*β*)(aΦα*,α*β*)=ba，

于是(F,·,*)是對(duì)合交換半群。

[1] DOLINKA I. Idempotent distributive semirings with involution[J].International Journal of Algebra and Computation,2003,5:597-625.

[2] SEN M K, BHUNIYA A K. On semirings whose additive reduct is a semilattice[J].Semigroup Forum, 2011, 82:131-140.

[3] JONSSON B.The theory of binary relations[M]∥HALMDS P R.Algebraic Logic.Amsterdam:North-Holland,1991:245-292.

[4] DOLINCA I,VINCIC M. Involutorial Plonka sums[J].Periodica Mathematica Hungarica,2003, 46(1):17-31.

[5] DOLINCA I. On the lattice of varieties of involution semigroups[J].Semigroup Forum, 2001, 82:438-459.

[6] DOLINCA I. All varieties of normal bands with involution[J].Periodica Mathematica Hungarica,2000, 40:109-122.

[7] HOWIE J M. Fundamentals of semigroup theory[M].Oxford: Clarendon Press,1995.

[8] HOWIE J M. Automata and languages[M].Oxford: Clarendon Press, 1991.

[9] NORDAHL T E,SCHEIBLICH H E. Regular *-semi-groups[J].Semigroup Forum,1978,16:369-377.

〔責(zé)任編輯宋軼文〕

K-regular semiring with involution

FENG Junqing*, XU Hui

(College of Science, Air Force Engineering University,Xi′an 710051, Shaanxi, China)

Some properties onK-regular semiring with involution are studied.TheK-regular semiring with involution are discussed in different ways by using Green-relation onK-regular semiring.The power semiring of semigroup with involution which is aK-regular semiring with involution if and only if semigroup is a regular semigroup.Finally,it is obtained that the equivalent proposition of the power semiring of involutorial regular semigroup which is a commutative semiring with involution.

K-regular semiring with involution;K-idempotents; idempotent semiring; power semiring

1672-4291(2016)04-0014-03

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.144

2015-07-09

陜西省自然科學(xué)基金(2014JQ1014)； 國(guó)家自然科學(xué)基金(61402364)

馮軍慶，男，講師。E-mail: fjq_0213@126.com

O152.7

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