馮軍慶,梁國(guó)宏,徐 慧

(空軍工程大學(xué) 基礎(chǔ)部，西安 710051)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

半環(huán)的結(jié)構(gòu)問題是半環(huán)代數(shù)理論研究中十分活躍的領(lǐng)域.Γ-半群是Sen[1]于1981年在半群的基礎(chǔ)上推廣得到的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，Γ-半環(huán)的概念是在環(huán)、三元半環(huán)以及半環(huán)的概念上由Muralinlorim[2-4]推廣得到的.既然Γ-半環(huán)是半環(huán)概念的推廣，對(duì)于半環(huán)上的一些已知結(jié)果和結(jié)論，在Γ-半環(huán)中是否也有類似地結(jié)果和結(jié)論成為許多學(xué)者研究的問題之一.Marapureddy[5]研究了滿足恒等式a+aαb=a、aαb+a=a的Γ-半環(huán).Γ-半環(huán)中有兩個(gè)半群，分別是加法半群和Γ-半群，這兩個(gè)半群依靠Γ-半群中的元素對(duì)加法的分配率聯(lián)系在一起，構(gòu)成Γ-半環(huán).這里來考慮滿足恒等式a+aαb=b、aαb+a=b和a+aαb+b=b的兩類Γ-半環(huán)，主要研究Γ-半環(huán)的兩個(gè)半群的結(jié)構(gòu)，其中的一個(gè)半群的結(jié)構(gòu)對(duì)另一個(gè)半群的結(jié)構(gòu)是否有影響.想了解更多與本文有關(guān)的理想理論,請(qǐng)參閱文獻(xiàn)[6-9].

設(shè)M和T是兩個(gè)非空集合，若對(duì)?a,b,c∈M,α,β∈Γ,有aαb∈M,aα(bβc)=(aαb)βc成立，則稱M為Γ-半群[1].

設(shè)M為Γ-半群.若對(duì)?a,b∈M,?α∈Γ,使得aαb=a(aαb=b),則稱M為左單(右單)Γ-半群.若對(duì)?a,b∈M,?α∈Γ,使得aαb=bαa,則稱M為交換Γ-半群.若對(duì)?a∈M,?α∈Γ,使得aαa=a,則稱a為M的α-冪等元，若M中的每個(gè)元素均是M的冪等元，則稱Γ-半群M是帶.若對(duì)?a∈M,?x∈M,α,β∈Γ,使得aαxβa=a,則稱a為M正規(guī)元，若M中的每個(gè)元素均是正規(guī)元，則稱Γ-半群M是正規(guī)帶.若對(duì)?a,b∈M,?α,β∈Γ,使得aαbβa=a,則稱Γ-半群M為矩形帶.設(shè)(M,+),(Γ,+)是半群，若?a,b,c∈M,α,β∈Γ,滿足下列條件：

1)aα(b+c)=aαb+aαc;2)(a+b)αc=aαc+bαc;3)a(α+β)b=aαb+aβb;

稱Γ-半群M為Γ-半環(huán)[1].

設(shè)M為Γ-半環(huán).若對(duì)?a∈M,α∈Γ,?0∈M,使得0+a=a=a+0,0αa=aα0=0,則稱0為Γ-半環(huán)M的零元素.若對(duì)?a,b∈M,α∈Γ,均有aαb=bαa,a+b=b+a,則稱M為交換Γ-半環(huán).若對(duì)?a∈M,α∈Γ,使得aα1=1αa=a,則稱1為Γ-半環(huán)M的單位元.

2 滿足恒等式a+aαb=b，aαb+a=b的Γ-半環(huán)

主要研究Γ-半環(huán)的加法半群和Γ-半群的結(jié)構(gòu).當(dāng)Γ-半環(huán)的加法半群具有某些特定的結(jié)構(gòu)時(shí)，它的Γ-半群是否也具有某些特殊的結(jié)構(gòu).這是本節(jié)研究的問題.

定理1 設(shè)M是滿足恒等式a+aαb=b的Γ-半環(huán)，若M含有單位元1，則a+a=1.

證明設(shè)?a,b∈M,α∈Γ,由于M含有單位元1，所以?γ∈Γ,使得aα1=a,又由于M是滿足恒等式a+aαb=b的Γ-半環(huán)，特別地，若b=1，則a+aα1=1,即a+a=1.

定理2 設(shè)M是滿足恒等式a+aαb=b，aαb+a=b的正規(guī)Γ-半環(huán)，則(M,+)是右零帶當(dāng)且僅當(dāng)Γ-半群是右單的.

證明由于M是正規(guī)Γ-半環(huán)，所以對(duì)b∈M，?α,β∈Γ,a∈M使得b=bβaαb,由已知條件，對(duì)?a,b∈M,α,β∈Γ,有a+aαb=b，aαb+a=b，于是aαb=(b+bβa)αb=bαb+bβaαb=bαb+b=bαb+aαb+a=(b+a)αb+a=aαb+a=b，即aαb=b，于是Γ-半群是右零的.

反之，若aαb=b，則a+aαb=a+b=b,即(M,+)是右零帶.

定理3 設(shè)M是滿足恒等式a+aαb=b的Γ-半環(huán)，若M含有單位元1，則(M,+)是矩形帶的必要條件是(M,+)是帶.

證明由于M含有單位元1，所以對(duì)?a,b∈M，?γ∈Γ,使得aγ1=a,由a+aαb=b得a+aγb=b，即aγ1+aγb=b，于是aγb+aγ1+aγb=aγb+b，aγ(b+1+b)=aγb+b，aγb=aγb+b，所以a+aγb=a+aγb+b，即b+b=b，故(M,+)是帶.

定理4 設(shè)M是滿足恒等式aαb+a=b的Γ-半環(huán)，若Γ-半群是帶，則(M,+)也是帶.

證明由于Γ-半群M是帶，對(duì)?a∈M，?α∈Γ,使得aαa=a,由于aαb+a=b，特別地當(dāng)a=b時(shí)，aαa+a=a，即a+a=a，故(M,+)是帶.

定理5 設(shè)M是滿足恒等式aαb+a=b的Γ-半環(huán)，若Γ-半群是右單的，則(M,+)是左零帶.

證明由于?a,b∈M，?α∈Γ,均有aαb+a=b，又Γ-半群是右零的，所以aαb=b，故b+a=b，即(M,+)是左零帶.

定理6 設(shè)M是滿足恒等式aαb+a=b的Γ-半環(huán)，若(M,+)是帶，則M是正規(guī)Γ-半環(huán).

證明由于?a,b∈M，?α∈Γ,均有aαb+a=b，故aαa+a=a，又由于(M,+)是帶，所以aαa+a+a=a+a，即aαa=a，從而M是冪等Γ-半環(huán).又a=aα(aαa)=aαaαa.從而M中的任一元素均是正規(guī)元，所以M是正規(guī)Γ-半環(huán).

定理7 設(shè)M是滿足恒等式a+aαb=b的Γ-半環(huán)，若Γ-半環(huán)的單位元1是加法單位元，則M的Γ-半群是右單的.

證明由于?a,b∈M，?α∈Γ,均有a+aαb=b，?a∈M，?γ∈Γ,使得aγ1=a，所以aγ1+aγb=b，即aγ(1+b)=b，所以aγb=b，所以M的Γ-半群是右零的.

定理8 設(shè)M是滿足恒等式aαb+a=b的冪等Γ-半環(huán)，則(M,+)是帶.

證明由于M是冪等Γ-半環(huán)?a∈M，?γ∈Γ,均有aαa=a，又由于M滿足恒等式aαb+a=b，對(duì)所有α∈Γ均成立，所以aγa+a=a+a,因此a+a=a，故(M,+)是帶.

定理9 設(shè)M是滿足恒等式aαb+a=b的布爾Γ-半環(huán)，則(M,+)是帶.

證明由于M是布爾Γ-半環(huán)?a∈M，均有aαa=a，所以a+a=a+aαa=a,因此a+a=a，故(M,+)是帶.

定理10 設(shè)M是滿足恒等式a+aαb+a=b的布爾Γ-半環(huán)，若(M,+)是左零的，則M是滿足恒等式a+aαb=b的Γ-半環(huán).

證明由于M是布爾Γ-半環(huán)，?a∈M，均有aαa=a，由于a+aαb+a=b，所以a+aαb+aαa=b,即a+aα(b+a)=b,由于(M,+)是左零的，所以b+a=b，故a+aαb=b.

定理11 設(shè)M是含單位元1的Γ-半環(huán)，若(M,+)是右零的，則?γ∈Γ,使得a+aγb+a=a.

證明由于M是含單位元1的Γ-半環(huán)，?a∈M，a+1=1，且存在?γ∈Γ,使得aγ1=a，于是a+aγb+a=a+aγb+aγ1=a+aγ(b+1)=a+aγ1=a+a=a，故a+aγb+a=a.

定理12 設(shè)M是含單位元1，且滿足a+1=1的Γ-半環(huán)，若M的Γ-半群是右單的，則?γ∈Γ,使得aγb+a=b.

證明?a∈M，?γ∈Γ,使得aγ1=a，?b∈M，aγb+a=aγb+aγ1=aγ(b+1)=aγb=b，故aγb+a=b.

3 滿足恒等式a+aαb+a=b的Γ-半環(huán)

這里主要研究滿足a+aαb+a=b的Γ-半環(huán)的加法半群和Γ-半群的結(jié)構(gòu).

定理13 設(shè)M是滿足恒等式a+aαb+a=b的Γ-半環(huán)，若1是M的加法單位元，則：

1)(M,+)是右零帶； 2)Γ-半群M是帶； 3)Γ-半群M是右單的.

證明1)?a,b∈M，?γ∈Γ,使得aγ1=a，于是a+aγb+a=b，b=a+aγb+a=aγ1+aγb+a=aγ(1+b)+a=aγb+a,即aγb+a=b，所以a+aαb+a=a+b，從而b=a+b.因此(M,+)是右零帶.

2)設(shè)a∈M，?γ∈Γ,使得aγ1=a，由于?a,b∈M，?α∈Γ,都有a+aαb+a=b，因此對(duì)上述的γ∈Γ,有aγ1+aγa+a=a，所以aγ1+aγa+aγ1=a，即aγ(1+a)+aγ1=a，因此aγa+aγ1=a，aγ(a+1)=a，所以aγa=a.

3)設(shè)若1是M的加法單位元，?a,b∈M，?α∈Γ,都有a+aαb+a=b，由于?a,b∈M，所以?γ,β∈Γ,使得aγ1=a，1βb=b，且a+aγb+a=b，所以aγ1+aγb+a=b，aγ(1+b)+a=b，故aγb+a=b，aγ1βb+aγ1=b，因此aγ(1βb+1)=b，aγ1βb=b，從而aγb=b，故Γ-半群M是右單的.

定理14 設(shè)M含單位元1(也是加法單位元)的Γ-半環(huán)，若M的Γ-半群是右單的，則?a,b∈M，?γ∈Γ,都有a+aγb+a=b.

證明設(shè)a,b∈M，?γ∈Γ,使得aγ1=a，且1+b=b，所以aγ1+aγb=aγb，因此a+aγb=aγb，于是a+aγb+a=aγb+a，a+aγb+a=aγb+aγ1，a+aγb+a=aγ(b+1)，從而a+aγb+a=aγb，又M的Γ-半群是右單的，所以a+aγb+a=b.

定理15 設(shè)M是布爾Γ-半環(huán)，若M的加法半群(M,+)是左零的，則?a,b∈M，?α∈Γ,都有a+aαb+a=b.

證明設(shè)M是布爾Γ-半環(huán)，?a,b∈M，?α∈Γ,都有aαa=a，則a+aαb+a=a+aαb+aαa=a+aα(b+a)=a+aαb=aαa+aαb=aα(a+b).

定理16 設(shè)M是零正Γ-半環(huán)，若M滿足恒等式a+aαb+a=b，則MΓM={0}.

證明設(shè)a,b∈M，α∈Γ,有a+aαb+a=b，所以aαa+aαaαb+aαa=aαb，因此0+0αb+0=aαb，即0=aαb，從而MΓM={0}.

4 結(jié)論

從這兩類滿足恒等式的Γ-半環(huán)中可以看出,Γ-半環(huán)的加法半群和Γ-半群的結(jié)構(gòu)相互影響、相互制約，它們的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)又決定了Γ-半環(huán)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu).