石先杰 李春麗 史冬巖

摘要： 采用譜幾何法（SpectroGeometric Method， SGM）對(duì)彈性邊界條件下環(huán)板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng)特性進(jìn)行計(jì)算分析，彈性邊界條件采用沿各邊界均勻分布的法向和切向線性彈簧來模擬。板結(jié)構(gòu)的位移容許函數(shù)被不變地描述為一種譜形式的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)，正弦三角級(jí)數(shù)項(xiàng)的引入能夠有效地克服彈性邊界處潛在的不連續(xù)或跳躍現(xiàn)象。將位移容許函數(shù)的級(jí)數(shù)展開系數(shù)看作廣義坐標(biāo)，并采用瑞利里茲法對(duì)其進(jìn)行求解，得到一個(gè)關(guān)于級(jí)數(shù)展開系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題。通過求解標(biāo)準(zhǔn)特征值問題而簡(jiǎn)便地求解環(huán)板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)固有頻率及其振型。通過不同數(shù)值算例，并與現(xiàn)有文獻(xiàn)解及有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了文中方法的正確性。關(guān)鍵詞： 環(huán)板； 面內(nèi)振動(dòng)； 譜幾何法； 彈性邊界條件

中圖分類號(hào)： O326；TB532文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1004-4523（2016）03-0465-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.012

引言

環(huán)板結(jié)構(gòu)作為獨(dú)立的結(jié)構(gòu)或組合結(jié)構(gòu)的基本構(gòu)件，已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于各類工程領(lǐng)域，例如航天飛行器、船舶、建筑等。因此，環(huán)板結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性是工程師和設(shè)計(jì)者比較關(guān)注的問題。然而，目前大量的研究均集中在彎曲振動(dòng)問題，而對(duì)于面內(nèi)振動(dòng)問題的研究還比較少見。近年來研究表明[15]，在實(shí)際工程應(yīng)用領(lǐng)域中，需要同時(shí)考慮基礎(chǔ)構(gòu)件的彎曲和面內(nèi)振動(dòng)。例如，在機(jī)械工程領(lǐng)域中，由于加工與安裝的不確定性所帶來的誤差可能會(huì)導(dǎo)致實(shí)際載荷方向存在一定的角度偏差，進(jìn)而引起基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)，危害整個(gè)結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性。而對(duì)于復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)，耦合邊處會(huì)發(fā)生面內(nèi)振動(dòng)和彎曲振動(dòng)的耦合作用，從而引起波型轉(zhuǎn)化。此外，面內(nèi)振動(dòng)對(duì)于高頻振動(dòng)或能量傳輸也起著十分重要的作用，還與周圍環(huán)境的輻射噪聲存在直接關(guān)系。

Love[6]開創(chuàng)性地研究了自由邊界條件下圓板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)問題，給出了一般解，這就是著名的Love理論。Ambati[7]等人提出了一種適用于環(huán)板面內(nèi)振動(dòng)特性分析的通用求解方案，并通過改變內(nèi)外半徑參數(shù)將該求解方案拓展至圓板和圓環(huán)結(jié)構(gòu)。Srinivasan[8]等人分析了內(nèi)邊簡(jiǎn)支、外邊自由組合情況下環(huán)板的面內(nèi)振動(dòng)特性，并通過伽利略變換獲得了外邊在旋轉(zhuǎn)面內(nèi)激勵(lì)力作用下的穩(wěn)態(tài)應(yīng)力響應(yīng)情況。Irie[9]等人采用傳遞矩陣法建立了環(huán)板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)分析模型，其中環(huán)板的邊界條件僅為內(nèi)、外邊上的自由或固支的組合。Park[10]根據(jù)哈密爾頓原理推導(dǎo)了固支邊界條件下圓板的面內(nèi)振動(dòng)方程。而國(guó)內(nèi)目前的研究工作大部分均集中在環(huán)板的彎曲振動(dòng)問題，對(duì)于其面內(nèi)振動(dòng)的相關(guān)研究較少。史冬巖[11]等對(duì)環(huán)扇形板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)特性進(jìn)行了相關(guān)研究分析。

文獻(xiàn)中的相關(guān)研究工作大部分局限于簡(jiǎn)單的經(jīng)典邊界條件，而對(duì)于彈性邊界下的面內(nèi)振動(dòng)問題涉及還較少。但在實(shí)際工程問題中，存在大量的均勻彈性支撐邊界，所以彈性邊界條件下環(huán)板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)問題一直是設(shè)計(jì)者關(guān)心的問題。因此，開展彈性邊界約束下環(huán)板結(jié)構(gòu)的面內(nèi)自由振動(dòng)特性研究具有實(shí)際工程需求和意義。

針對(duì)這些技術(shù)局限性和實(shí)際工程需求，本文基于譜幾何法建立了彈性邊界條件下環(huán)板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)分析模型。將面內(nèi)振動(dòng)位移容許函數(shù)不變地表示為一種譜形式的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)形式。然后，將位移容許函數(shù)的級(jí)數(shù)展開系數(shù)看作廣義坐標(biāo)，并采用瑞利里茲法進(jìn)行求解，將結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的特征值問題。最后通過大量的數(shù)值算例對(duì)文中方法及分析模型進(jìn)行驗(yàn)證。

3結(jié)論

文中基于譜幾何法建立了彈性邊界約束條件下環(huán)板結(jié)構(gòu)面內(nèi)自由振動(dòng)分析模型。該方法的思想是將結(jié)構(gòu)的面內(nèi)振動(dòng)位移容許函數(shù)表示為一種譜形式的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)形式，采用沿各邊界均勻分布的切向和法向線性位移彈簧來模擬任意彈性約束條件，使環(huán)板的面內(nèi)自由振動(dòng)問題歸結(jié)為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)特征值問題。通過相關(guān)數(shù)值算例，驗(yàn)證了文中方法的正確性和可靠性，并得出以下結(jié)論：

1）任意彈性約束邊界條件下環(huán)板結(jié)構(gòu)面內(nèi)振動(dòng)位移容許函數(shù)可以不變地表示為一種譜形式的改進(jìn)三角級(jí)數(shù)形式，收斂性較傳統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)有較大改善；

2）在數(shù)值計(jì)算中，隨著級(jí)數(shù)截?cái)囗?xiàng)數(shù)的增大，計(jì)算結(jié)果快速收斂，并且表現(xiàn)出良好的數(shù)值穩(wěn)定性；

3）邊界條件的改變僅需通過修改邊界約束彈簧剛度值來簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)，而不需要重新構(gòu)造位移容許函數(shù)，或重新推導(dǎo)與編程。

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