趙學(xué)智 聶振國 葉邦彥 陳統(tǒng)堅(jiān)

摘要： 針對信號的有效奇異值選擇問題，發(fā)現(xiàn)了有效奇異值和信號頻率個(gè)數(shù)之間存在重要聯(lián)系，研究結(jié)果表明有效奇異值數(shù)量由信號中的頻率個(gè)數(shù)決定，而與頻率大小及其幅值無關(guān)，只要信號所構(gòu)造矩陣的維數(shù)大于信號中頻率個(gè)數(shù)的兩倍，則每一個(gè)頻率成分產(chǎn)生兩個(gè)有效奇異值。研究了噪聲干擾下有效奇異值的分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著矩陣維數(shù)的增加，有效奇異值受噪聲的影響逐漸變小，而噪聲產(chǎn)生的奇異值則會(huì)被分離到有效奇異值之后?；诿恳粋€(gè)頻率成分產(chǎn)生兩個(gè)奇異值這一特性，提出利用SVD提取由一個(gè)或多個(gè)特征頻率構(gòu)成的特征信號時(shí)域波形，并將這一方法用于軸承和轉(zhuǎn)子振動(dòng)的波形特征提取，其效果優(yōu)于小波變換。

關(guān)鍵詞： 信號處理； 奇異值分解； 有效奇異值； 特征提取

中圖分類號： TN911.7； TH165+.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2016）03-0532-10

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.020

引 言

近年來，奇異值分解（Singular value decomposition， SVD）在振動(dòng)模態(tài)[1]、心電信號[23]、聲發(fā)射信號[4]、機(jī)械故障診斷[56]、小波變換[7]、地球電磁場信號[8]等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。如Araujo等利用SVD中的左奇異向量來估計(jì)梁的振動(dòng)模態(tài)[1]；Ahmed等將SVD和小波變換相結(jié)合用于心電信號的壓縮[2]；Jung WooHyuk等則利用SVD方法來提取心電信號的R波峰[3]；Samraj等利用SVD提取刀具聲發(fā)射信號的特征，用于對刀具磨損的監(jiān)測[4]；Su Zhongyuan等將SVD和HilbertHuang變換相結(jié)合，用于對齒輪箱故障的識別和分類[5]；Cong Feiyun等提出了一種短時(shí)序列矩陣的SVD方法，用于軸承故障診斷[6]；此外，SVD對Morlet小波變換冗余數(shù)據(jù)的壓縮[7]和信號消噪[8]也有很好的效果。總的說來，在這些應(yīng)用中，都會(huì)面臨著一個(gè)重要問題，那就是有效奇異值的確定問題，它決定著SVD的信號處理效果，但是這一問題從來沒有很好地解決。以信號降噪為例，其關(guān)鍵是選擇出合理的奇異值進(jìn)行SVD重構(gòu)，才能得到既消除了噪聲，又保留了原信號所有頻率信息的處理結(jié)果，然而對于一個(gè)有著特定頻率個(gè)數(shù)的信號，它到底有多少個(gè)有效奇異值的問題很少有人認(rèn)真去研究過。文[9]在估計(jì)正弦信號的奇異值時(shí)，認(rèn)為一個(gè)頻率對應(yīng)一個(gè)奇異值，但這一結(jié)果值得商榷。此外更多的研究都是集中于利用奇異值進(jìn)行各種運(yùn)算得到一些特征點(diǎn)來確定有效奇異值，如差分譜法[10]、奇異熵法[11]、聚類法[12]等等，這些方法并沒有從根本上分析信號的有效奇異值個(gè)數(shù)問題，只是通過對奇異值序列進(jìn)行不同運(yùn)算得到一些特征點(diǎn)，由此來選擇有效奇異值，但是在實(shí)際應(yīng)用中總是難以適應(yīng)各種不同的情況。文[13]利用SVD來獲得彼此獨(dú)立的分量信號，文中討論了矩陣行數(shù)和列數(shù)對分量信號獨(dú)立性的影響，并認(rèn)為矩陣行數(shù)大于15時(shí)可以獲得具有獨(dú)立性的一組分量信號。文[14]則將這種方法引入到軸承的故障診斷中，并分別采用大的奇異值和分量信號的能量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入來識別軸承的故障。在這兩篇論文中均未涉及到奇異值數(shù)目和頻率個(gè)數(shù)的關(guān)系問題，也未涉及到單個(gè)頻率的分離問題，而這兩個(gè)問題是本文的研究核心。通過研究，發(fā)現(xiàn)了有效奇異值個(gè)數(shù)和信號所含頻率個(gè)數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，指出有效奇異值數(shù)目僅由頻率個(gè)數(shù)確定，而與頻率大小、頻率的幅值和相位無關(guān)，對于具有確定頻率個(gè)數(shù)的信號，明確地指出了其有效奇異值的數(shù)目；文中進(jìn)一步分析了噪聲干擾下信號的奇異值分布規(guī)律，分析了頻率的幅值和奇異值大小的關(guān)系，這些結(jié)果為有效奇異值的選擇具有明確的指導(dǎo)作用。文中的研究結(jié)果還表明，利用頻率和奇異值的內(nèi)在聯(lián)系，SVD還可對由一個(gè)或多個(gè)特征頻率構(gòu)成的特征信號進(jìn)行提取，這種時(shí)域波形特征提取不同于通常的SVD消噪，也和利用SVD的左右奇異向量的正交性實(shí)現(xiàn)對特征向量的正交化有本質(zhì)不同。

4 結(jié) 論

有效奇異值的選擇一直是SVD研究中的一個(gè)重要問題，本文發(fā)現(xiàn)了有效奇異值個(gè)數(shù)和頻率數(shù)量的內(nèi)在聯(lián)系，并分析了含噪信號的奇異值分布規(guī)律，這除了可為有效奇異值的選擇提供明確的依據(jù)外，還可以利用SVD實(shí)現(xiàn)對由單個(gè)或多個(gè)頻率構(gòu)成的特征信號的時(shí)域波形進(jìn)行提取?？偨Y(jié)全文，可以得到如下結(jié)論：

（1） 在Hankel矩陣方式下，信號的有效奇異值數(shù)量只與信號中的頻率個(gè)數(shù)有關(guān)，而與頻率大小及其幅值和相位無關(guān)，每一個(gè)頻率成分總是最多只產(chǎn)生兩個(gè)非零奇異值，頻率的幅值越大，則其對應(yīng)的兩個(gè)奇異值也越大，且這兩個(gè)奇異值總是一前一后緊密排在一起不會(huì)分開。

（2） 對于含有r個(gè)頻率成分的含噪信號，只要其構(gòu)造的Hankel矩陣的維數(shù)大于2r，則其有效的奇異值個(gè)數(shù)為2r，并且隨著矩陣維數(shù)的增加，有效奇異值受噪聲的影響逐漸變小，而噪聲產(chǎn)生的奇異值則會(huì)被分離到這2r個(gè)有效奇異值之后。

（3） 基于每個(gè)頻率產(chǎn)生兩個(gè)非零奇異值這一特性，可以利用SVD對由單個(gè)或多個(gè)頻率構(gòu)成的特征信號的時(shí)域波形進(jìn)行提取，提取的結(jié)果沒有相位滯后，是一種零相移提取方法。文中利用這種方法提取到了軸承振動(dòng)的基頻波形，結(jié)果顯示這基頻振動(dòng)幅值是逐漸增長的，并通過這一方法提取到了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由轉(zhuǎn)頻和二倍轉(zhuǎn)頻構(gòu)成的時(shí)域波形以及各自單獨(dú)的時(shí)域波形，結(jié)果顯示了二倍轉(zhuǎn)頻振動(dòng)先逐漸增大、后有所減小這一過程，這種特征提取效果遠(yuǎn)優(yōu)于小波變換。

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