葉學(xué)民，趙盼盼，張潤盤，李春曦

(1. 華北電力大學(xué) 電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點實驗室, 河北 保定 071003；2. 河北省電力勘測設(shè)計研究院，河北 石家莊 050031)

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電場作用下液滴的動力學(xué)特征

葉學(xué)民1，趙盼盼1，張潤盤2，李春曦1

(1. 華北電力大學(xué) 電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點實驗室, 河北 保定 071003；2. 河北省電力勘測設(shè)計研究院，河北 石家莊 050031)

基于漏電介質(zhì)模型和潤滑理論，建立了電場作用下兩極板間液滴運動特征的理論模型，采用PDECOL數(shù)值模擬了不同底部電勢下液滴的動力學(xué)特征及多種參數(shù)的影響，討論了主要特征量的變化率。結(jié)果表明：線性底部電勢的突出影響表現(xiàn)在促進液滴整體偏移現(xiàn)象上，具有減緩液滴鋪展、抑制液膜破斷的作用；非線性電勢的影響體現(xiàn)在液滴自由界面呈波狀形態(tài)，或液滴中心內(nèi)陷，逐漸破裂為子液滴、并向兩側(cè)分離的特征，提高電毛細力數(shù)有助于分裂液滴、增大電極間距則可減緩液滴運動；交流電場作用下，液滴作周期性振蕩運動、呈扁長外形，提高電壓幅值加劇液滴破裂或重組特征。

電場；液滴；動力學(xué)特性；鋪展；振蕩

0　引　言

導(dǎo)電液滴在電場作用下，在其表面形成自由電荷，附加的麥克斯韋應(yīng)力通過改變其電水動力學(xué)特性，進而影響其鋪展，破裂和重組特征[1-3]， 由此可對液膜的運動過程進行有效控制。如鍍膜、石油開采、靜電噴霧、噴墨式打印、礦物浮選和濕式電除塵器的優(yōu)化等都涉及電水動力學(xué)問題[4]。

電場對液滴運動過程的作用通常采用漏介電質(zhì)模型，通過構(gòu)造不同類型的電場進而研究液滴的運動特征。早期集中在理想導(dǎo)體(水銀或水)或理想絕緣體(苯)，直到Allan和Mason[5]開始研究不完全導(dǎo)電的液體—漏介電質(zhì)，研究方法才得以改變。描述外加均勻電場對導(dǎo)電率較小、且與周圍粘性流體介電常數(shù)相差不大的液滴的作用時，采用漏介電質(zhì)模型可合理地預(yù)測液滴的變形。Taylor首先提出利用該模型解釋在穩(wěn)定區(qū)域中液滴的變形問題，之后Melcher和Taylor[6]將該模型推廣到導(dǎo)電液滴，在電水動力學(xué)的研究中得到廣泛應(yīng)用。多名學(xué)者通過在流動中引入漏介電質(zhì)模型，得到液體薄膜鋪展的定常解和二維平板與自由界面間周期性電滲流動的解析解，在考慮自由界面上電場引起的麥克斯韋應(yīng)力和流體力學(xué)應(yīng)力基礎(chǔ)上，分析了液膜的流動特征[7-9]。

基于漏介電質(zhì)模型，可研究液滴在自由界面處的形態(tài)及其線性穩(wěn)定性。Conroy等[10]研究表明電場會降低臨界雷諾數(shù)，加劇流動的失穩(wěn)效應(yīng)。Pease和Russel[11]提出了電場作用下由微觀結(jié)構(gòu)向納米結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的定量模擬方法，并根據(jù)線性穩(wěn)定分析探討了液滴電導(dǎo)率和液膜厚度的演化過程。Taylor和McEwan[12]研究了高壓直流電場對液/液界面處穩(wěn)定性的影響，及氣/液界面處自由界面的動力學(xué)特征。Schaffer等[13]發(fā)現(xiàn)液滴在施加電場后出現(xiàn)的電水動力學(xué)不穩(wěn)定現(xiàn)象，初始形態(tài)為光滑的自由界面處逐漸演變?yōu)椴ɡ藸睢?/p>

Shankar和Sharma[14]指出當外加電場施加在氣/液界面處時，存在一臨界壓力，當壓力超過該臨界值時，界面出現(xiàn)自發(fā)的波動，從而導(dǎo)致自由界面不穩(wěn)定現(xiàn)象。Matar和Lawrence[15]通過在渦流盤和液膜頂部電極間施加電勢引入電場，研究了大電導(dǎo)率的薄液膜流經(jīng)旋轉(zhuǎn)渦流盤的鋪展行為，表明增強電場強度或減小電極間距會使液膜表面有不同程度的大幅度界面波紋凸起。Yeo等[16]采用潤滑理論分析了兩平板電極間液滴的運動學(xué)特征，探討了電極間距β、電毛細力數(shù)C對液膜厚度及鋪展速率的影響。Yuan和Zhao[17]研究了交流電作用下液滴在柱形排列表面上的靜力和動力學(xué)特性，發(fā)現(xiàn)了通過增大電場作用液滴被推擠的現(xiàn)象。另外，還有實驗發(fā)現(xiàn)了高壓交流電場中液滴的“扁長型”或“扁平型”變形或表面振蕩現(xiàn)象[18-19]。蔣冬冬等[20]采用實驗發(fā)現(xiàn)在不同交流電頻率下，電潤濕芯片上液滴的振蕩特征，指出液滴在某些特定輸入頻率下出現(xiàn)的共振現(xiàn)象，液滴自由表面出現(xiàn)液瓣狀變形。

以上研究主要集中在直流電場為恒定底部電勢下的液滴運動，或采用實驗捕獲交流電場作用下的液滴振蕩形態(tài)，而對于液滴運動過程中的主要特征參數(shù)和鋪展速率的變化尚未全面分析。另外，對非線性電場或交流電場作用下液滴形態(tài)變化的理論研究尚不完善，尤其是運動細節(jié)特征。為此，本文針對底部電勢為線性和非線性直流電場以及交流電場等情形，通過建立液滴演化模型，借助數(shù)值模擬獲得不同底部電勢下液滴的運動形態(tài)，進而分析不同電場對液滴運動過程的影響。

1　理論模型和演化方程組

1.1物理模型

如圖1所示，采用共面電極結(jié)構(gòu)，液滴位于兩電極板間，通過電極板引入電勢來形成電場?；咨项A(yù)置一層厚度均勻為Hb*的液膜，初始時，在此液膜上面放有一導(dǎo)電液滴，且液滴與預(yù)置液膜為相切狀態(tài)，液滴受電場作用開始運動；液滴底部液膜厚度急劇降低，形成超薄液膜區(qū)，液膜與預(yù)置液膜交界處，形成鋪展前沿，鋪展半徑Xd和鋪展前沿Xf是描述其運動過程的重要參數(shù)。假設(shè)導(dǎo)電液滴為不可壓縮牛頓流體，動力粘度μ*和密度ρ*為常數(shù)，壁面為無滑移、無滲透界面，液膜自由表面外為無粘性氣體。液滴初始最大厚度H*與流動方向尺度L*相比非常小(上標“*”代表有量綱量)，即*=H*/L*《1，適用潤滑理論[21-22]。其中各參數(shù)的數(shù)量級為H*～10-5m，L*～10-3m，μ*～10-3Pa·s，ρ*～103kg·m-3。

圖1　液滴運動示意圖Fig.1　Diagram of the droplet

1.2演化方程組

為避免鋪展前沿處的奇異性，引入分離壓模型[16]

無特殊說明m=3，n=4，h∞=0.005。

不可壓縮牛頓流體的控制方程組為

(1)

(2)

式中：u*=(u*，w*)為速度矢量，p*為壓強。

在固體壁面處，滿足無滑移、無滲透條件

(3)

氣液界面上，滿足法向和切向應(yīng)力平衡方程

(4)

(5)

式中：n*和t*為界面處單位法向和切向矢量；λ*為界面平均曲率；γ*為表面張力；T*為液體的應(yīng)力張量。

式中：M*為麥克斯韋張量；Θ*為粘性張量；I*為單位張量。

氣液界面上的運動學(xué)條件為

(6)

描述界面電荷密度q*的方程[23]為

(7)

采用下列無量綱變換對上述方程及邊界條件進行無量綱化

依據(jù)潤滑理論、保留數(shù)量級為≥O(∈)的項，可得無量綱化控制方程組

(8)

(9)

(10)

邊界條件為

z=0，u2=w2=0；z=b，u1=w1=0

(11)

z=h，uz=0

(12)

(13)

z=h，ht+ushx=ws

(14)

結(jié)合式(8)～式(14)，通過積分運算可得液膜厚度和界面電荷密度的演化方程組

(15)

(16)

2　數(shù)值模擬

采用PDECOL程序模擬演化方程式(15)和式(16)。選取-15

研究表明，電極間距β和電毛細數(shù)C的大小對液滴運動具有顯著的影響[22]。β值過小則液滴在電場引力作用下呈回縮運動，電極間距β值過大和電毛細數(shù)C值過小又均無法呈現(xiàn)電場對液滴運動的影響，也難以與已有結(jié)果[16，19，20]進行對比。鑒于本文致力于研究電場作用下的液滴鋪展過程及其特征，在綜合考慮液滴運動形態(tài)和便于分析其他參數(shù)影響的前提下，如無特殊說明，下述計算中選取電毛細數(shù)C=1，電極板間距β=5。

程序中的初始條件為

(17)

(18)

式中：F(x)=0.5[1+tanh(100x)]為海氏階躍函數(shù)；其中，無量綱預(yù)置液膜厚度Hb=0.1。初始時的液滴形狀如圖2所示。

程序中的邊界條件為

圖2　初始時刻的液滴形狀Fig.2　Initial profile of droplet

3　結(jié)果及分析

為分析不同電場對液滴運動過程及其特征量的影響，下文分別對不同形式的直流電和交流電加以討論。

3.1線性電勢Φ=1+Sx

圖3為施加底部電勢為Φ=1+Sx時液滴的運動過程。當S=0時，即恒定電勢下，如圖3(a)所示，隨時間t增加，液滴保持拋物線形狀并向兩側(cè)鋪展，液滴中心最大厚度hmax逐漸降低，鋪展半徑Xd和鋪展前沿Xf逐漸增大。當t>50，hmax降低速率明顯減小，但液滴形狀始終保持中心對稱；其原因是S=0時，液滴中心兩側(cè)所受到電場力對稱且大小相同。

圖3　Φ=1+Sx時液滴的演化歷程Fig.3　Evolutions of the droplet under Φ=1+Sx

改變電勢參數(shù)，令S=-1時，此時電勢沿x方向線性減小。如圖3(b)所示，隨t增加，最大液膜厚度逐漸降低，液滴仍呈對稱分布，但液滴整體向右偏移，該結(jié)果與文獻[16]一致。液滴中心最大厚度hmax對應(yīng)Xhmax的右移速率為t1/1.5(圖4所示)，研究表明，當S=1時，液滴左移，移動速率相同。

圖4　最大液膜厚度對應(yīng)橫坐標的變化曲線Fig.4　Evolution of horizontal coordinates of the maximum film thickness

式(15)中第1項為底部電勢作用項，第2項為毛細壓和分離壓共同作用項，可通過這兩項的變化來分析其對液滴運動過程的影響。圖5為t=3時各作用力的變化。當S=0時，π=0，即底部電勢作用力為0，此時毛細壓和分離壓為控制液滴運動的因素，液滴左右兩側(cè)受力相同，因此液滴對稱鋪展。當S=-1時，液滴中心左側(cè)底部電勢作用項高于右側(cè)，由式(15)知，此時左側(cè)底部電勢起減小液膜厚度、而右側(cè)起增大液膜厚度的作用；且毛細壓項呈現(xiàn)右側(cè)值高于左側(cè)，進一步增加液膜厚度；上述共同作用促使液滴右移。比較S=0和S=-1時可知，液滴鋪展過程的厚度變化仍然主要由毛細壓和分離壓項所控制。

圖5　不同作用力在液滴運動過程中的影響 Fig.5　Effects of different forces in Eq.(15)

為進一步研究電場對液滴鋪展速率的影響，圖6給出了鋪展前沿Xf和鋪展半徑Xd的變化。無電場作用Φ=0時，鋪展前沿符合Xf～t1/3，鋪展半徑符合Xd～t1/7，且液滴始終以該速率鋪展。為驗證本文模型的可靠性，在圖6中進一步比較了圖3(a)中恒定電勢S=0時演化過程中的特征參數(shù)變化。由圖可知，在鋪展前期，Xd變化率減小為t1/8，Xf變化率略低于t1/3，這與文獻[16]所得結(jié)果一致。在線性電勢作用S=-1下，初始時鋪展前沿仍符合Xf～t1/3，后期則減小為Xf～t1/6。對于鋪展半徑，在10-1

圖6　不同電勢下鋪展前沿和鋪展半徑的變化速率Fig.6　Evolutions of advancing front and spreading radius in droplet spreading under different electric potential

圖7　不同電勢下最大和最小液膜厚度的變化Fig.7　Evolutions of the maximum and minimum film thicknesses under different electric potential

3.2非線性電勢

3.2.1底部電勢為Φ=Acos(kx)

當極板間施加非線性余弦電勢Φ=Acos(kx)時，其中A為幅值，k為波數(shù)，液滴鋪展過程如圖8所示(A=1，k=1)。此時，液滴仍對稱向兩側(cè)鋪展，初始時hmax迅速降低，當t>10時，鋪展過程中液滴中心出現(xiàn)凹陷特征，鋪展前沿界面呈現(xiàn)與底部電勢變化一致的波狀形態(tài)。

圖8　液滴演化歷程(A=1,k=1)Fig.8　Evolutions of the droplet under A=1，k=1

為探討非線性電勢參數(shù)幅值A(chǔ)和波數(shù)k的影響，圖9給出了鋪展后期t=50時的液滴鋪展過程。如圖9(a)所示，當k=1、A=0.25,1,3時，隨幅值A(chǔ)增大，不僅鋪展前沿處的波狀特征更加明顯，而且進一步減小了hmin，增大了液膜破斷的可能性；另外，液滴中心附近界面處也呈現(xiàn)明顯的波狀特征，增加A有加劇液滴出現(xiàn)分裂的作用。如圖9(b)所示，當A=0.25、k=0.01,1,10,100時，即增大底部電勢波數(shù)k對液滴鋪展幾乎沒有影響。由此表明，余弦電勢對液滴鋪展的影響體現(xiàn)在幅值的影響上。

圖10為A=1、k=1時，最大液膜厚度hmax、鋪展前沿Xf和鋪展半徑Xd的變化率。該圖表明，hmax仍呈t-1/7變化，表明該電勢并未對液滴中心高度的變化起促進或減緩作用，而是促使液滴表面出現(xiàn)波狀變形；鋪展前沿符合Xf～t1/5，鋪展半徑符合Xd～t1/6，總體上低于恒定電場下的變化率，表明該電勢在一定程度上抑制了液滴向兩側(cè)的鋪展速率。

圖9　不同幅值和波數(shù)下液滴的演化歷程Fig.9　Evolution of the droplet under different amplitudes and wave numbers

圖10　最大液膜厚度、鋪展前沿和鋪展半徑的變化速率Fig.10　Evolutions of the maximum film thickness, advancing front and spreading radius

3.2.2底部電勢為Φ=1+e-x2/2

施加指數(shù)形式Φ=1+e-x2/2電勢時的液滴鋪展過程如圖11所示。液滴在鋪展過程中始終保持對稱狀態(tài)，隨t增加，hmax值迅速減小，液滴呈現(xiàn)由最初拋物線形狀，逐漸破裂為左右兩對稱的子液滴、并向兩側(cè)分離的現(xiàn)象。

圖11　液滴演化歷程Fig.11　Evolutions of the droplet

電毛細力數(shù)C對液滴鋪展過程的影響如圖12所示。C=1時，t=10時液滴中心開始有內(nèi)凹趨勢；而當C=10時，t=1時就已經(jīng)出現(xiàn)明顯凹陷特征，隨t的增加，凹陷特征進一步加劇，t=5時液滴已破裂為兩子液滴，并向兩側(cè)運動。上述分析表明，通過改變電毛細力數(shù)可改變液滴自身狀態(tài)，達到破裂液滴的作用。

圖12　不同C值下液滴的演化歷程Fig.12　Evolutions of the droplet under different C

圖13　電毛細力數(shù)C對鋪展特征量的影響Fig.13　Effects of electric caplliary number C on spreading parameters

電極間距β的影響如圖14和圖15。圖14表明，在t=1～10時，β=3對應(yīng)的hmax顯著減小，且t=10時液滴中心呈凹陷特征，而β=10時的hmax則降低緩慢，且液滴外形仍呈拋物線分布；表明減小電極間距β，將增大液滴表面電荷密度，由此強化電場對液滴運動的影響。由圖15可知，當β由3增至10時，最大液膜厚度hmax的變化率hmax～t-1/5減至t-1/7，鋪展前沿Xf由t1/4減至t1/5，鋪展半徑Xd由t1/5減至t1/6；表明增大電極間距β具有減緩液滴運動的作用。

圖14　不同β值下液滴的演化歷程Fig.14　Evolutions of the droplet under different β

圖15　電極間距β對鋪展特征量的影響Fig.15　Effects of electrode distance β on spreading parameters

3.3交流電勢Φ=Acos(ωt)

以上研究均為直流電作用下液滴的鋪展特性，而實際中常常對液滴施加交流電以實現(xiàn)原油脫水、油包水乳化液分離等過程[17-20]。液滴在交流電場作用下，其與周圍介質(zhì)的物理屬性會出現(xiàn)差異，導(dǎo)致液滴表面自由電荷再分配，進而影響液滴運動過程。

圖16為不同頻率下的液滴運動過程，由圖可知，總體上，交流電場作用下液滴運動過程呈現(xiàn)明顯的振蕩特征。以圖16(a)為例，A=100、周期T=0.628，在0

圖16　液滴的振蕩特性Fig.16　The oscillation characteristics of droplet

圖17　最大液膜厚度演化過程Fig.17　Evolution of the maximum film thickness

改變交流電壓幅值將影響液滴自由界面上的電荷密度分布，進而改變其振蕩特征。圖18對比了電壓幅值變化對在一個周期內(nèi)振蕩特征的影響，參數(shù)C=3、β=10、ω=33。圖18(a)表明，當A=100時，隨t增加，液滴中心處衍生出明顯的波峰，當一個周期結(jié)束時，液滴又恢復(fù)如初，該特征與文獻[20]捕捉到的實驗現(xiàn)象一致。圖18(b)表明，將電壓幅值提高至A=200時，液滴表面振蕩幅度加大，并不斷出現(xiàn)明顯的液滴破裂和重組的現(xiàn)象。這表明提高電壓幅值，將增大電毛細力數(shù)，由此電場力對液滴運動的影響越大，進而使得液滴的振蕩變形程度更加突出。

圖18　液滴的振蕩特性Fig.18　The oscillation characteristics of droplet

4　結(jié)　論

(1) 在文中所取參數(shù)條件下，施加恒定直流電場對液滴運動的影響并不明顯，僅表現(xiàn)在鋪展前期，鋪展半徑變化滿足Xd～t1/8，低于無電場作用時的t1/7。當施加線性電勢時，液滴鋪展中仍保持對稱外形，但底部電勢促使液滴向右偏移，速率為t1/1.5；且在鋪展后期，Xf和Xd變化率分別減至t1/6和t1/11，最小液膜厚度的變化符合hmin～t1/2，表明線性電勢有減緩液滴鋪展、抑制液膜破斷的作用。

(2) 當Φ=Acos(kx)時，液滴鋪展中自由界面呈現(xiàn)波狀形態(tài)，尤其是鋪展前沿界面更為顯著，增大了出現(xiàn)液膜破斷現(xiàn)象的可能性；提高幅值A(chǔ)，液滴中心波動幅度加大，并有加劇液滴出現(xiàn)分裂的作用，但波數(shù)k的變化不會影響液滴的形態(tài)；hmax仍呈t-1/7變化，鋪展前沿符合Xf～t1/5，鋪展半徑符合Xd～t1/6。

(3) 當Φ=1+e-x2/2時，液滴沿中心對稱鋪展，隨t增加，液滴中心凹陷，逐漸破裂為兩對稱子液滴、并向兩側(cè)分離。提高電毛細力數(shù)C可達到破裂液滴的作用，當C=1提高至10時，hmax由t-1/7變?yōu)閠-1/3，Xf由t1/5增至t1/2，Xd由t1/6增至t1/3；增大電極間距β具有減緩液滴運動的作用，當β=3增大至10時，hmax由t-1/5減至t-1/7，Xf由t1/4減至t1/5，Xd由t1/5減至t1/6。

(4) 在交流電場Φ=Acos(ωt)作用下，液滴運動作周期性振蕩，液滴外形呈現(xiàn)“拉伸-壓縮-拉伸”的扁長外形。提高交流電頻率將降低液滴的變形幅度，而增大電壓幅值加劇液滴表面振蕩幅度，并使液滴周期性地呈現(xiàn)破裂或重組的特征。

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Dynamic Characteristics of Droplet in Presence of Electric Field

YE Xuemin1, ZHAO Panpan1, ZHANG Runpan2, LI Chunxi1

(1. Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment, North China Electric Power University, Baoding 071003, China；2. Hebei Electric Power Design & Research Institute, Shijiazhuang 050031, China)

Theoretical model was established based on the leaky dielectric model and lubrication theory to analyze the dynamic characteristics of a droplet between two electrode plates in the presence of electric field. The PDECOL code was used to perform numerical simulation and investigate the dynamic characteristics of a droplet under different types of bottom electric potential and the effects of important parameters, and the change rate of main characteristic quantity was discussed. The results show that the obvious effect of linear bottom electric potential is to promote the droplet deviation, to slow down spreading rate and to inhibit film rupture. The nonlinear electric potential leads to the wavy feature on the free interface, or the invagination of droplet center and then the droplet splits into small droplets and moves toward two sides. Increasing electric capillary force can promote the split of droplet, while expanding the distance between electrodes can slow down the droplet movement. Under the AC electric field, the droplet oscillates periodically, and presents as long flat shape; the droplet rupture or recombination can be intensified by the increase of voltage.

electric field; droplet; dynamic characteristics; spreading; oscillation

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2016.04.15

2015-10-08.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11202079)；河北省自然科學(xué)基金資助項目(A2015502058)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)資助項目(13MS97).

葉學(xué)民(1973-)，男，教授，主要從事流體動力學(xué)理論及應(yīng)用、強化傳熱傳質(zhì)技術(shù)等方面的研究工作。

O363; TQ021

A

1007-2691(2016)04-0094-10