楊奮林, 郭二冬(吉首大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 湖南 吉首, 416000)

圖像去噪中LLT模型的同倫方法

楊奮林, 郭二冬
(吉首大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 湖南 吉首, 416000)

提出了運用具有全局收斂性的同倫方法求解 Lysaker-Lundervold-Tai (LLT)模型, 構造了一種逐步減小光滑化參數(shù)的同倫方程, 并給出了有效的路徑跟蹤方法。實驗表明, 該方法收斂速度是不動點方法的2倍。

圖像去噪; LLT模型; 不動點方法; 同倫方法

自Rudin等[1]提出TV模型以來, 基于變分偏微分方程的圖像處理技術得到迅速發(fā)展。該技術結合了圖像的本質特征, 是目前圖像恢復中能夠保持圖像邊緣的有效方法之一[2–6]。該技術已廣泛應用于圖像去噪、圖像分割、圖像修補、圖像配準等多個領域。Lysaker等[7]提出的LLT模型是一種能夠有效抑制TV模型階梯效應, 保持圖像光滑的高階變分模型。該模型在醫(yī)學核磁圖像處理中得到很好的應用。由于該模型的高度非線性性和奇異性, 求解十分困難。目前主要的求解方法有人工時間演化方法、不動點方法、非線性多重網格方法[8–9]和非光滑牛頓法[2]。牛頓法求解非線性問題具有二階收斂性, 由于該方法對初值要求苛刻, 以觀察圖像作為初值該方法不收斂, 本文考慮運用具有大范圍收斂性的同倫方法求解LLT模型[10–11]。

1　LLT模型

二階泛函做正則化項的LLT模型[7]:, 這里z為已知的觀察圖像, u為原始圖像, ?是有界凸集, 通常取, 其中或。為了敘述方便, 本文以為例對同倫方法進行描述。

該變分模型的求解通常轉化為求解能量泛函的最優(yōu)性條件, 即Euler-Lagrange方程

由于 Euler-Lagrange方程(1)的奇異性和非線性性程度很高, 人工時間演化方法和不動點方法求解收斂比較困難, 速度非常慢, 而具有二階收斂性的牛頓法, 由于其收斂域很小, 選初值非常困難而沒法工作, 因此, 本文考慮運用具有全局收斂性的同倫方法來求解方程(1)。

2　同倫方程

同倫方法是具有全局收斂性的一類求解非線性問題的方法[5], 注意到當光滑化參數(shù)β很大時, 方程(1)的非線性程度低, 容易求解, 因此, 考慮構造隨著t從0增加到1而光滑化參數(shù)逐步減小的同倫方程:

當t = 0時, H(u, 0) = u – z = 0為線性方程。

光滑化參數(shù)β + (1 - t)/t2隨著t的增大而減小, 對應方程的非線性程度增加。當t = 1時, H(u, 1) = g(u) = 0為所求的Euler-Lagrange方程(1)。

3　路徑跟蹤

路徑跟蹤實際上就是跟蹤H(u, t) = 0的解曲線, 該過程由預估和校正2部分交替完成。由于H(u, 0) = u - z = 0的解為觀察圖像z, H(u, t) = 0的非線性程度隨著t的增大而增加, 考慮t自適應從0增加到1,跟蹤過程即求解一列H(u, tk) = 0, 每次預估采用前一步校正值做為預估值, 也就是下一步的校正初值。校正過程采用不動點方法求解H(u, tk) = 0。路徑跟蹤的具體過程如下。

步1, 給定初值。令k = 1, u0= z, t0= 0, 初始步長為h。

步2, 預估。令tk= tk-1+ min(h, 1 - tk-1), 如果tk= 1, 以uk-1做為不動點迭代初值, 運用不動點方法求解H(u, tk) = 0, 得uk, 即Euler-Lagrange方程的解。否則, 轉步3。

步3, 校正。以uk-1做為不動點迭代初值, 運用不動點方法求解H(u, tk) = 0, 得uk, 并記錄迭代次數(shù),并令k = k + 1。

步4. 調節(jié)步長。如果校正步數(shù)不超過3, 增大步長; 如果校正步數(shù)大于6, 減小步長, 轉步2。

4　數(shù)值實驗

實驗圖像是像素為128 × 128的triangular圖像(圖1), 以絕對殘量減少至10-4為終止條件。

圖1　實驗圖像

表1列出了β取不同的值時, 不動點方法所需的迭代次數(shù)和時間。從表1可以看出, 隨著β的減小, 迭代次數(shù)顯著增多, 運算時間增大。

在β = 10-9、10-10、10-12時, 比較不動點方法和同倫方法的收斂速度。表2列出了2種方法總迭代次數(shù)和所用時間。表2顯示, 不動點方法總的迭代次數(shù)和所用時間大約為同倫方法的2倍。

表1　β取不同值時, 以z為初值的不動點迭代次數(shù)和花費的時間

表2　β取不同值時, 不動點方法和同倫方法的總迭代次數(shù)和花費的時間

5　結論

LLT模型是圖像去噪中能夠抑制階梯效應保持圖像光滑的一類重要高階變分模型。針對LLT模型的求解問題, 本文提出運用逐步延拓光滑化參數(shù)的同倫方法求解Euler-Lagrange方程(1), 并設計了有效的路徑跟蹤方法。數(shù)值實驗表明同倫方法不僅能有效求解Euler-Lagrange方程(1), 而且收斂速度是不動點方法的2倍。

[1] Rudin L, Osher S, Fatemi E. Nonlinear total variation based noise removal algorithms [J]. Physica D, 1992, 60(1): 259–268.

[2] 龐志峰. 圖像去噪問題中的幾類非光滑數(shù)值方法[D]. 長沙: 湖南大學, 2010.

[3] 張建平. 基于偏微分方程的圖像去噪和分割方法[D]. 大連: 大連理工大學, 2012.

[4] Chan T F, Shen J H. Image processing and analysis-variational, PDE, wavelet, and stochastic methods [M]. Philadelphia: SIAM Publications, 2005: 1–5.

[5] 吳斌, 吳亞東, 張紅英. 基于變分偏微分方程的圖像復原技術[M]. 北京: 北京大學出版社, 2008: 10–17.

[6] 肖林, 嚴慧玲, 周文輝. 求解二次規(guī)劃問題的快速收斂梯度神經網絡模型設計及仿真[J]. 湖南文理學院學報(自然科學版), 2016, 28(1): 51–54.

[7] Lysaker M, Lundervold A, Tai X C. Noise removal using fourth-order partial differential equation with applications to medical magnetic resonance images in space and time [J]. IEEE Trans Image Process, 2003, 12(12): 1 579–1 590.

[8] Carlos Brito-Loeza, Chen Ke. Multigrid algorithm for high order denoising [J]. SIAM J Image Sci, 2010, 3(3): 363–389.

[9] Chang Qianshun, Chern I. Acceleration methods for total variation-based image denoising [J]. SIAM J Sci Comput, 2003, 25(3): 983–994.

[10] 王則柯. 同倫方法引論[M]. 重慶: 重慶出版社, 2011: 9–11.

[11] Yang Fenlin, Chen Ke, Yu Bo. Efficient homotopy solution and a convex combination of ROF and LLT models for image restoration [J]. International Journal of Numerical Analysis and Modeling, 2012, 9(4): 907–927.

(責任編校: 劉剛毅)P

Homotopy method for LLT model in image denoising

Yang Fenlin, Guo Erdong
(College of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou 416000, China)

A homotopy method which has globally convergence is used to solve the LLT model in this paper. A homotopy equation is constructed by gradually reducing the smooth parameter, and then an efficient curve tracking is given for solving this equation. Numerical tests show the convergence of this method is more than two times for the fixed point method.

image denoising; LLT model; fixed point method; homotopy method

TB 115.1

1672–6146(2016)03–0076–03

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.03.016

楊奮林, 478002158@qq.com。

2016–04–18

國家自然科學基金(11501243)。