潘湘高, 楊民生, 敖章洪

MATLAB在控制系統(tǒng)時域分析中的應(yīng)用

潘湘高, 楊民生, 敖章洪

(湖南文理學(xué)院 電氣與信息工學(xué)院, 湖南 常德, 415000)

為了解決傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)時域分析法比較復(fù)雜和不能準確地求解三階以上的高階系統(tǒng)的問題, 將MATLAB控制系統(tǒng)工具箱和函數(shù)應(yīng)用到控制系統(tǒng)時域分析中進行求解, 達到了既能快捷、準確地求出高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù), 又能求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)波形和時域性能指標, 無需復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和數(shù)值計算。該方法簡單直觀, 極大地提高了對控制系統(tǒng)分析的精度和工作效率。

MATLAB控制系統(tǒng); 時域分析; 階躍響應(yīng); 脈沖響應(yīng)

1　控制系統(tǒng)的時域分析

要對控制系統(tǒng)進行定量的分析就必須先建立數(shù)學(xué)模型。在時域分析法中, 經(jīng)常要用到微分方程和傳遞函數(shù)以及動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。然而時域分析法一般比較復(fù)雜[5-9], 公式很多, 對于高階系統(tǒng)普通分析方法很難得到系統(tǒng)響應(yīng)的時間函數(shù)表達式, 也很難準確地求出數(shù)值解和時域性能指標, MATLAB在控制系統(tǒng)時域分析中的應(yīng)用能很好地解決這一難題。

1.1微分方程

線性系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型是線性微分方程, 設(shè)線性定常系統(tǒng)的微分方程為[5]

式(1)中, r(t)和c(t)分別為系統(tǒng)的輸入、輸出信號, 它們都是時間t的函數(shù), 微分方程求解的過程比較麻煩,特別是對于高階系統(tǒng)(n＞3)求解更加困難。

1.2傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是控制系統(tǒng)復(fù)域數(shù)學(xué)模型, 是基于拉氏變換求解微分方程引出的, 在初值條件為0時對方程(1)兩邊進行拉氏變換(L)得

式(5)中,iA、jB、iC均為待定常數(shù), 它們可用求極限的方法求出, 如等。

將式(5)進行拉氏反變換(L-1)得時間響應(yīng)的表達式為

式(6)中前2項為零狀態(tài)響應(yīng), 第3項為零輸入響應(yīng)。如果系統(tǒng)的初始狀態(tài)都為0, 則式(2)中M0(s)=0, 由式(3)可得

式(8)中, 又可分為暫態(tài)響應(yīng)(或暫態(tài)分量)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(或穩(wěn)態(tài)分量)。需要指出的是, 特征根 si在復(fù)平面的位置決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。只有當Re(si)＜0, 即系統(tǒng)穩(wěn)定時, 式(6)中的第1項才能稱為暫態(tài)響應(yīng), 所謂穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般是指強迫響應(yīng)。

在對復(fù)變量s的代數(shù)式(分式)進行部分分式展開時, 例如由(4)式變?yōu)?5)式, 一般采用的方法, 首先求出代數(shù)式的所有極點si, 再將代數(shù)式寫成部分分式形式, 最后根據(jù)的拉普拉斯反變換為, 可得

2　利用MATLAB求系統(tǒng)的時間響應(yīng)

用普通數(shù)學(xué)方法求解高階(3n＞)系統(tǒng)很困難, 而運用MATLAB命令或函數(shù)求解方便。執(zhí)行命令num = [b0b1… bn], den = [1 a1… an]和[r, p, k] = residue(num, den)可求出C(s)/R(s)的部分分式展開式, 其中r、p 分別為各個部分分式的增益和極點位置, 而 k 為部分分式展開后的余項, 由 r、p、k 數(shù)值即可寫出時間時響應(yīng)函數(shù)表達式。

2.1傳遞函數(shù)為有理真分式形式

num = [1 2 6 10 24], den = [1 10 35 50 24]和[r, p, k] = residue(num, den) 3個命令執(zhí)行后的結(jié)果為: r = -34.666 7, 37.500 0, -14.000 0, 3.166 7; p = -4.000 0, -3.000 0, -2.000 0, -1.000 0; k = 1。所以

當R(s) = 1 (即為單位脈沖輸入)時, 可得到系統(tǒng)輸出(單位脈沖響應(yīng))表達式為c(t) = -34.667e-4t+ 37.5e-3t- 14e-2t+ 3.166 7e-t+ δ(t); 當(即為單位階躍輸入)時,, 此時再執(zhí)行命令: [r, p, k] = residue(num, [den 0])的結(jié)果為: r = 8.666 7, -12.500 0, 7.000 0, -3.166 7, 1.000 0; p = -4.000 0, -3.000 0, -2.000 0, -1.000 0, 0; k = [ ]。

由此得到的系統(tǒng)輸出(單位階躍響應(yīng))表達式為: c(t) = 8.666 7e-4t- 12.5e-3t+ 7e-2t- 3.166 7e-t+ 1, 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1。

2.2傳遞函數(shù)分子或分母為幾個多項式相乘的形式

對遇函數(shù)分母多項式為乘積的形式, 要得到分母多項式的系數(shù)向量den, 可調(diào)用MATLAB函數(shù)conv( ), 以實現(xiàn)2個因式的乘積。執(zhí)行個命令num = 4, den = [conv(conv([4 1], [1 4]), [2 3 1])]和[r, p, k] = residue(num, den)。結(jié)果r = -0.012 7, 0.444 4, -1.142 9, 0.711 1; p = -4.000 0, -1.000 0, -0.500 0, -0.250 0; k = [ ]。則當R(s) = 1時, 可得系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為: c(t) = -0.012 7e-4t+ 0.444 0e-t- 1.142 9e-0.5t+ 0.711 1e-0.25t。當(即為單位階躍輸入)時,, 此時再執(zhí)行命令[r, p, k] = residue (num, [den 0])的結(jié)果為: r = 0.003 2, -0.444 4, 2.285 7, -2.844 4, 1.000 0; p = -4.000 0, -1.000 0, -0.500 0, -0.250 0, 0; k = [ ]。

由此可寫出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c(t) = 0.003 2e-4t- 0.444 4e-t+ 2.285 7e-0.5 t- 2.844 4 e-0.25 t+ 1。應(yīng)當指出, 如果函數(shù)含有 m 重極點 p 的話, 則部分分式展開式包括。該形式對應(yīng)的拉普拉斯反變換為:

2.3系統(tǒng)有正特征根的情況

系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)是收斂和穩(wěn)定的, 而系統(tǒng)3的脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)都含有指數(shù)增長函數(shù), 因此, 系統(tǒng)3不穩(wěn)定。

2.4傳遞函數(shù)有復(fù)數(shù)極點情況

3　MATLAB在系統(tǒng)方框圖化簡中的應(yīng)用

一個控制系統(tǒng)模型通常由一些典型環(huán)節(jié)按照基本連接結(jié)構(gòu)相互連接構(gòu)成, 而我們往往需要將比較復(fù)雜的系統(tǒng)化成簡單的系統(tǒng), 再進行分析與設(shè)計。在控制系統(tǒng)工具箱中提供了一些函數(shù)或命令來支持系統(tǒng)的連接和求解。命令G = tf(num, den)可建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型, 命令step(G), impulse(G)可分別求出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和脈沖響應(yīng)。

圖1　環(huán)節(jié)串聯(lián)連接結(jié)構(gòu)

3.1環(huán)節(jié)串聯(lián)連接結(jié)構(gòu)

環(huán)節(jié)串聯(lián)連接如圖1所示時, G(s) = G1(s) · G2(s), 可由MATLAB命令G=G1G2求出。

執(zhí)行命令num1 = [1, 1]; den1 = conv([1, 0], [1, 1, 1]); G1= tf(num1, den1); num2 = [2, 3]; den2 =conv([1, 1], [1, 1]); G2= tf(num2, den2); G = G1*G2后的顯示結(jié)果為

3.2環(huán)節(jié)并聯(lián)連接結(jié)構(gòu)

對圖2所示的環(huán)節(jié)并聯(lián)連接, G(s) = G1(s) ± G2(s)可由MATLAB命令G = G1± G2求出。

3.3反饋連接結(jié)構(gòu)

圖2　環(huán)節(jié)并聯(lián)連接結(jié)構(gòu)

圖3　反饋系統(tǒng)的方框圖結(jié)構(gòu)

4　利用MATLAB求閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)波形

num1 = [8 4]; den1 = [1 0]; Gc= tf(num1, den1); num2 = [1 2 4 24]; den2 = [1 0 25 40 24]; G0= tf(num2, den2); num3 = 1; den3 = [0.2 1]; H = tf(num3, den3); G1= GcG0; G = feedback(G1, H, -1)。結(jié)果為Transfer function:

用impulse(G)命令求得系統(tǒng)的單脈沖響應(yīng), 如圖4所示; 用step(G)命令求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)[10],如圖5所示。用鼠標點曲線上的任何一點即可顯示該點的坐標數(shù)值, 故可非常方便地得到系統(tǒng)響應(yīng)的時域性能指示[11], 由圖5可見系統(tǒng)階躍響應(yīng)過渡過程振蕩很據(jù)烈, 最大峰值為2.1, 峰值時間為1.15 s, 調(diào)節(jié)時間為34.2 s, 最大超調(diào)量為(2.1-1)/1 = 1.1 = 110%。系統(tǒng)的平穩(wěn)性和快速性都很差, 至于如何改善系統(tǒng)的性能是系統(tǒng)校正設(shè)計的問題, 在此不再討論。

圖4　圖3反饋控制系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)

圖5　圖3反饋控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

5　結(jié)語

本文采用MALAB控制系統(tǒng)工具箱和函數(shù)對控制系統(tǒng)進行計算機輔助分析,

既能準確地求出高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù), 也能求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)波形和時域性能指標, 無需復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和數(shù)值計算, 能極大地提高對控制系統(tǒng)分析的精度和工作效率, 解決了傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)時域分析法理論性強、抽象、涉及到數(shù)學(xué)知識多、難度大和不能準確求解三階以上高階系統(tǒng)的問題。

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(責任編校: 劉曉霞)

The application of MATLAB in control system time-domain analysis

Pan Xianggao, Yan Minsen, Ao Zhanghong
(College of Electrical and Information Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)

The traditional method of control system time-domain analysis which is very complicated cannot solve the problem of third order system or above accurately, when MATLAB control system toolbox and function is introduced into the control system analysis, the high order system time response function efficiently and accurately can be got. In the same time, the response waveform and time-domain performance index of the system can be got without complex mathematical formula and numerical calculation. This method is simple to manipulate, and it can greatly improve the precision of control system analysis and work efficiency.

MATLAB control system; time-domain analysis; step response; impulse response

TP 319

1672–6146(2016)03–0083–05

10.3969/j.issn.1672–6146.2016.03.018

潘湘高, 914868682@qq.com。

2016-06-10

湖南省科技廳資助項目(2012GK3123); 湖南省教育廳自動控制理論精品課程建設(shè)(湘教通[2015]332號)。

MATLAB語言是由美國的Clever Moler博士于1980 年開發(fā)的, 它是一種功能強大、內(nèi)容豐富的計算機輔助設(shè)計軟件。它特有的矩陣處理功能, 用于控制理論研究的專用工具箱和結(jié)構(gòu)圖程序設(shè)計的SIMULINK仿真環(huán)境, 使得MATLAB語言成為控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計的有力工具[1]。文獻[2]采用基于MATLAB的模糊PID控制器控制鍋爐液位, 通過實驗仿真比較傳統(tǒng)PID控制、模糊控制以及模糊PID控制的效果。文獻[3]介紹了在MATLAB環(huán)境下建立可調(diào)壓、鎖相的逆變控制系統(tǒng), 模擬數(shù)字化EPS的變壓、鎖相環(huán)節(jié)。

傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)時域分析法[4]理論性比較強, 也比較抽象, 涉及到數(shù)學(xué)知識也較多, 難度比較大,特別是它不能準確求解三階以上的高階系統(tǒng)。針對以上問題, 本文采用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱和函數(shù)對控制系統(tǒng)進行計算機輔助分析, 既能高效、快捷、準確地求出高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù)。同樣地, 也能求出系統(tǒng)的時間響應(yīng)波形和時域性能指標, 無需復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式和數(shù)值計算, 能極大地提高了對控制系統(tǒng)分析的精度和工作效率。本文主要討論MATLAB在控制系統(tǒng)時域分析中的應(yīng)用。