陳鳳華，馬　杰，戴　靜

(1.河北工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300401；2. 華北理工大學(xué) 遷安學(xué)院，河北 遷安 064400)

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一種基于卡通紋理分解的X光圖像恢復(fù)方法

陳鳳華1，馬杰1，戴靜2

(1.河北工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300401；2. 華北理工大學(xué) 遷安學(xué)院，河北 遷安 064400)

針對X光圖像去噪時(shí)在抑制噪聲的同時(shí)會模糊圖像邊緣的情況，提出采用圖像卡通紋理分解和基于全變分的增廣拉格朗日算法進(jìn)行圖像恢復(fù)。圖像可以分解為卡通部分和紋理部分，噪聲信息及圖像的快變信息被分離到圖像的紋理部分。通過基于增廣拉格朗日算法的全變分去噪模型對紋理圖像進(jìn)行去噪處理，將卡通圖像與處理后的紋理圖像加權(quán)合成得到恢復(fù)圖像。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法不僅可以對圖像進(jìn)行快速處理，而且能夠較好地保持圖像的邊緣信息，獲得較高的輸出信噪比。

圖像分解；全變分；增廣拉格朗日；去噪

近年來X光圖像在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。實(shí)際在X光圖像拍攝過程中，X光探測器接收光子的瞬態(tài)分布情況以及機(jī)械本身等原因會導(dǎo)致X光圖像受到噪聲的污染[1]，直接影響后續(xù)的檢測和診斷工作。為了提高X光圖像的質(zhì)量，有必要對X光圖像進(jìn)行去噪處理。

全變分(Total Variation， TV)模型是Rudin[2]等人提出的，近年來在圖像去噪領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)的TV去噪方法比較適用于非紋理圖像，對于紋理比較多的圖像，去噪效果并不好。TV去噪是一個(gè)典型的非光滑凸優(yōu)化問題，圖像尺寸較大時(shí)，求解速度緩慢[3]。針對這些問題，近年來出現(xiàn)了一批處理速度快，運(yùn)算效果好的算法[4-5]，包括：快速迭代收縮閾值算法(FISTA)、兩步迭代閾值法(TwIST)、不精確的增廣拉格朗日算法(I-ALM)和交替方向乘子法(ADMM)等。最近，應(yīng)用增廣拉格朗日(Augmented Iagrangian Method，ALM)算法[6-8]解決TV去噪問題得到了人們的廣泛關(guān)注，上述方法中，I-ALM算法和ADMM算法均屬于ALM算法[9]。

本文根據(jù)圖像噪聲的分布特性，提出了將圖像卡通紋理分解[10]與基于TV模型的ALM算法相結(jié)合的圖像恢復(fù)方法?？ㄍy理分解即將圖像分解為卡通部分和紋理部分?？ㄍú糠职瑘D像的大致信息，紋理部分包含圖像的紋理信息以及噪聲成分。根據(jù)噪聲成分的分布特性，在圖像去噪的過程中只需對紋理圖像進(jìn)行去噪，再將去噪后的紋理圖像與卡通圖像進(jìn)行加權(quán)合成?？ㄍ▓D像不含噪聲信息，采用將圖像先分解后處理的方法可以有效避免在去噪過程中對卡通部分的損傷，同時(shí)根據(jù)紋理圖像的特性采用ALM算法可以在去除噪聲的同時(shí)有效地提高圖像的恢復(fù)速度。

1　傳統(tǒng)的全變分去噪方法

傳統(tǒng)的TV去噪模型在連續(xù)域Ω內(nèi)通過最小化范數(shù)

(1)

得

(2)

f是原始圖像(去噪后的重建圖像)，像素點(diǎn)(x,y)∈Ω，g是噪聲圖像，σ是噪聲方差。式(1)與式(2)經(jīng)變分運(yùn)算得到Euler-Lagrange方程

(3)

(5)

該模型在處理邊緣信息較少的圖像時(shí)可以得到較好的效果，但當(dāng)圖像邊緣信息比較多時(shí)，該模型就會把邊緣信息誤當(dāng)噪聲信息處理掉。

2　圖像的卡通紋理分解

圖像卡通紋理分解理論是由Yves Meyer[11]提出的，該算法可以將任意圖像分解成卡通部分和紋理部分?？ㄍú糠?u)包含了圖像的主要成分和慢變部分，紋理部分(v)包含了圖像的快變部分(邊緣信息)和噪聲。

圖像卡通紋理分解的過程實(shí)際上是圖像去噪的一種特殊情況，圖像在去噪的同時(shí)會損失圖像的細(xì)節(jié)信息，當(dāng)正則化參數(shù)λ取得足夠小時(shí)，就會出現(xiàn)紋理過度損失的現(xiàn)象，即卡通紋理分離。本文采用基于TV模型的Split Bregman迭代算法對圖像進(jìn)行卡通紋理分解。

(6)式中：f是原始圖像；TV(u)是u的全變分(TV(u)=

(7)

最小化TV模型的函數(shù)v∈Gμ的定義式為

(8)

Step1：初始化u0=v0=0

while not converged do

Step2：更新u，un+1=PROF(f-vn,λ)

End while

3　ALM算法恢復(fù)圖像

3.1TV圖像復(fù)原模型

圖像退化過程往往是不可逆的，需要結(jié)合圖像的先驗(yàn)?zāi)Ｐ筒拍軐D象進(jìn)行恢復(fù)處理，獲得高品質(zhì)的圖像信息。圖像的退化模型為

y=Ax+n

(9)

定義圖像是矩陣域的，y∈RM×N為含有噪聲的觀測圖像；x∈RM×N為原始圖像；A為噪聲因子；n∈RM×N為加性噪聲(通常為高斯噪聲或椒鹽噪聲，本文加性噪聲為高斯噪聲)。

TV模型處理離散圖像時(shí)，可分為各向同性全變分(TVl2)和各向異性TV(TVl1)。

各向同性全變分(TVl2)定義式為

(10)

各向異性全變分(TVl1)定義式為

(11)

x的邊界條件為

(12)

為了表示方便，引入偏微分算子輔助計(jì)算，Dv為垂直方向上的偏微分算子，Dh是水平方向上的偏微分算子。

偏微分算子Dv的定義式為

(13)

偏微分算子Dh的定義式為

(14)

定義偏微分算子D為

(15)

各項(xiàng)同性TV和各向異性TV分別寫為

(16)

(17)

對于圖像復(fù)原問題，由于各向同性TV模型的處理精度不夠理想，而且各向異性TV模型能夠更好地保持圖像的邊緣信息，因此本文采用各向異性TV模型進(jìn)行處理。

3.2基于ALM的TV復(fù)原方法

TVl1圖像的恢復(fù)模型為

(18)

式中：λ是正則化參數(shù)，引入輔助變量u，那么式(18)等價(jià)于下列約束優(yōu)化問題

(19)

將原始的TV問題轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，通過ALM算法進(jìn)行高效求解問題(19)

(20)

變量g是約束項(xiàng)u=Dx的拉格朗日乘子，變量z是約束項(xiàng)r=Ax-y的拉格朗日乘子。參數(shù)ρ0和ρr是兩個(gè)正則化參數(shù)。

1)x-子問題

(21)

通過傅里葉變換F(Fourier transform)求解x，對式(21)進(jìn)行求解

(ρoATA+ρrDTD)x=ρoATy+AT(ρ0r-z)+

DT(ρru-g)

(22)

2)u-子問題

(23)

(24)

3)r-子問題

(25)

使用收縮公式來對式(25)進(jìn)行求解

(26)

4)y和z的更新

yk+1=yk-ρr(uk+1-Dxk+1)

zk+1=zk-ρo(rk+1-Axk+1+y)

(27)

理論分析表明，罰因子λ∞<λmax時(shí)，可保證ALM算法的收斂性和最優(yōu)解。ALM算法解決TVl1模型的步驟為：

Step1：輸入y,A和參數(shù)λ的值，令k=0。

Step2：設(shè)置參數(shù)ρr=2，ρo=100，α0=0.7。

Step3：初始化：x0=y,u0=Dx0,r0=Ax0-y·z0=0；

whilenotconvergeddo

Step5：通過式(22)解決式(21)x子問題；

Step6：通過式(24)解決式(23)u子問題；

Step7：通過式(26)解決式(25)r子問題；

Step8：通過式(27)更新y和z；

Step9：通過式(28)更新ρr和ρo；

end while

3.3參數(shù)設(shè)定

1)λ的選擇：正則化參數(shù)λ權(quán)衡最小平方誤差和TV罰函數(shù)。較大的λ能較好地保護(hù)圖像的邊緣信息，但噪聲處理不夠好；較小的λ能夠較好地去除噪聲，但同時(shí)圖像也被平滑了。在先前解決最小化問題中，人們并不知道如何選取合適的λ，算子分裂方法的最新進(jìn)展，提出了約束最小化方法，以便λ可以由估計(jì)噪聲水平所代替。然而，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，選擇λ的值比評估噪聲水平更容易。通常，一幅圖像的λ的范圍是[103,105]。

2)ρr的選擇：本文算法與FTVd算法[13]的一個(gè)主要的不同點(diǎn)是ρr的更新方式不一樣。在文獻(xiàn)[13]中ρr是一個(gè)固定的常數(shù)。本文通過乘法器的方法調(diào)整參數(shù)，收斂速度更快。

(28)

3)A選擇：為了更好地呈現(xiàn)本文去噪方法的優(yōu)越性，選擇特定的A=Ι。

4　實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

為檢驗(yàn)本文方法的有效性，利用CPU為2.3GHz，內(nèi)存為2Gbyte的計(jì)算機(jī)，通過MATLABR2012b編程進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

仿真過程采用的X光圖像是256×256的灰度圖像，并進(jìn)行歸一化處理。為獲得噪聲圖像，給圖像加入均值為0，方差為0.005的高斯白噪聲。然后對噪聲圖像進(jìn)行卡通紋理分解，設(shè)定參數(shù)λ=1 000,μ=500(在該參數(shù)下能夠較好地將圖像進(jìn)行卡通紋理分解)。再利用基于TV模型的ALM算法對紋理圖像進(jìn)行去噪處理，設(shè)定迭代次數(shù)n=100。最后，將卡通圖像與恢復(fù)后的紋理圖像進(jìn)行加權(quán)合成。為了與ALM算法進(jìn)行對比，引入傳統(tǒng)的TV去噪方法對紋理圖像進(jìn)行去噪處理。

圖1、圖2分別為原始圖像和噪聲圖像進(jìn)行卡通紋理分解圖。圖3為ALM算法和傳統(tǒng)TV算法對含噪聲的紋理圖像進(jìn)行恢復(fù)后的結(jié)果圖，顯示了ALM算法可以更好地保持圖像的邊緣信息。圖4a是將噪聲圖像經(jīng)傳統(tǒng)的TV去噪方法處理后的結(jié)果圖，圖4b是將噪聲圖像進(jìn)行卡通紋理分解后應(yīng)用傳統(tǒng)TV去噪方法對紋理圖像進(jìn)行去噪，再將去噪后的紋理圖像與卡通圖像進(jìn)行加權(quán)合成得到的圖像。

圖1　原始圖像卡通紋理分解圖

圖2　噪聲圖像卡通紋理分解圖

圖3　ALM算法和傳統(tǒng)TV算法對含噪紋理圖像去噪結(jié)果圖

圖4　傳統(tǒng)TV及本文方法去噪結(jié)果圖

通過圖4a、圖4b對比可見，傳統(tǒng)TV直接去噪的方法在去除圖像噪聲的同時(shí)，模糊了圖像的邊緣信息，未能較好地保持圖像，將圖像卡通紋理分解模型與TV去噪模型相結(jié)合的去噪方法可以更好地保持圖像的邊緣信息。圖4c是本文所提出的卡通紋理分解模型與基于TV去噪模型的ALM算法相結(jié)合的方法處理后的圖像。表1給出了3種算法的恢復(fù)性能，PSNR1是噪聲圖像的峰值信噪比，PSNR2是處理后圖像的峰值信噪比。

表1測試圖像的恢復(fù)性能

性能PSNR1/dBPSNR2/dB時(shí)間/s傳統(tǒng)TV算法圖像去噪72.766572.747225.137770傳統(tǒng)TV算法對紋理圖像去噪73.350676.950424.697467本文算法73.350679.564911.886142

從表1可以看出，前兩種去噪方式進(jìn)行對比得到的結(jié)論是：把圖像進(jìn)行卡通紋理分解后，直接針對紋理圖像去噪，圖像的恢復(fù)性能更好；將后兩種算法進(jìn)行對比得到的結(jié)論是：ALM算法不僅提高了圖像的恢復(fù)性能，而且大大縮短了圖像處理的時(shí)間。

圖5是迭代次數(shù)與運(yùn)算時(shí)間的關(guān)系圖，由圖5可以看出，隨著迭代次數(shù)增加，傳統(tǒng)的TV算法需要更多的時(shí)間來迭代計(jì)算，而本文改進(jìn)算法在迭代次數(shù)較少時(shí)已經(jīng)達(dá)到了收斂條件，迭代次數(shù)增加基本不會影響運(yùn)算速度。

圖5　迭代次數(shù)與運(yùn)算時(shí)間的關(guān)系

5　小結(jié)

本文研究了一種改進(jìn)的X光圖像去噪方法。可以穩(wěn)定有效地將噪聲污染的X光圖像進(jìn)行恢復(fù)。該模型是將圖像卡通紋理分解模型和TV去噪模型相結(jié)合，使含有噪聲信息的紋理圖像得到針對性的去噪處理，同時(shí)不含噪聲信息的卡通圖像得到有效的保持。通過ALM算法求解TV模型，可以有效地保持圖像的紋理信息，提高圖像的恢復(fù)速度，并且獲得較高的輸出信噪比。通過仿真證明本文方法能夠簡單、快速、有效地將X光圖像中的噪聲信息濾除，降低了在診斷過程中噪聲信息對診斷結(jié)果的不良影響。

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陳鳳華(1989— )，女，碩士，主要研究方向?yàn)橥ㄐ排c信息系統(tǒng)；

馬杰(1978— )，副教授，主要研究方向?yàn)閳D像處理、分析和信息處理；

戴靜(1988— )，女，碩士，主要研究方向?yàn)橥ㄐ排c信息系統(tǒng)。

責(zé)任編輯：閆雯雯

X-ray image restoration method based on cartoon texture decomposition

CHEN Fenghua1， MA Jie1， DAI Jing2

(1.SchoolofElectronicsandInformationEngineering，HebeiUniversityofTechnology，Tianjin300401，China；2.Qian’anCollege，NorthChinaUniversityofScienceandTechnology，HebeiQian’an064400，China)

While the X-ray image denoised， there is a conflict between noise suppression and edge blurring， and a kind of approach is proposed by using the cartoon texture image decomposition and the ALM to realize image restoration. The image can be decomposed into the cartoon part and texture one， and the noise information and the quick change information of the image can also be pulled in the texture of the image. It is thought to select the ALM to denoise the texture image， and then compose the cartoon part and the restoration of the texture part to achieve restoration image. It is well shown by the results that this method can not only shorten the time of image processing， but also preserve the edge information of the image， and obtain higher output PSNR than the traditional TV method.

image decomposition；total variation ；ALM ；denoising

TN919.81

ADOI：10.16280/j.videoe.2016.07.027

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61203245)；河北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(F2012202027)

2015-10-15

文獻(xiàn)引用格式：陳鳳華，馬杰，戴靜. 一種基于卡通紋理分解的X光圖像恢復(fù)方法[J].電視技術(shù)，2016，40(7)：123-127.

CHEN F H， MA J， DAI J. X-ray image restoration method based on cartoon texture decomposition [J]. Video engineering，2016，40(7)：123-127.