葉柳青, 葉正寅

(西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

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飛行器縱向非線性動(dòng)力學(xué)建模對(duì)穩(wěn)定性的影響

葉柳青, 葉正寅

(西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

飛行器的穩(wěn)定性分析與建立的動(dòng)力學(xué)分析模型密切相關(guān)。傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法是基于小擾動(dòng)假設(shè)建立線性化模型，當(dāng)飛行狀態(tài)中非線性特征明顯時(shí),其結(jié)果誤差會(huì)帶來(lái)多大的影響是人們關(guān)心的問(wèn)題。通過(guò)建立飛行動(dòng)力學(xué)非線性模型和氣動(dòng)力非線性模型,采用時(shí)間推進(jìn)方法對(duì)兩類非線性問(wèn)題進(jìn)行了比較系統(tǒng)的研究。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明,飛行動(dòng)力學(xué)非線性模型與線性模型相比,周期增大、幅值減小、衰減率增大;而非線性氣動(dòng)力模型對(duì)周期幾乎沒(méi)有影響,但對(duì)幅值有一定的影響。

非線性方程; 非線性氣動(dòng)力; 飛行動(dòng)力學(xué); 穩(wěn)定性

0　引言

動(dòng)力學(xué)模型中一類重要的非線性問(wèn)題是氣動(dòng)力非線性。氣動(dòng)力非線性主要由氣體粘性產(chǎn)生,如激波與附面層相互作用、流動(dòng)分離、不穩(wěn)定渦流等均會(huì)引起氣動(dòng)力非線性[1]。高超聲速飛行器通常是鈍頭前緣,并伴隨大迎角飛行,氣動(dòng)力非線性現(xiàn)象嚴(yán)重,即使在小迎角下飛行,氣動(dòng)力也是非線性的[2];另外,小展弦比機(jī)翼的翼尖渦會(huì)提供明顯的非線性升力,升力系數(shù)曲線斜率會(huì)增大,當(dāng)展弦比較大時(shí),斜率會(huì)隨著迎角減小[3];亞聲速聯(lián)翼布局的飛機(jī)在一定的迎角下,前翼繞流發(fā)生分離,影響后翼繞流流場(chǎng),引起后翼氣動(dòng)效率降低,導(dǎo)致全機(jī)俯仰力矩隨迎角發(fā)生非線性上仰[4]。因此,研究動(dòng)力學(xué)模型中氣動(dòng)力非線性對(duì)飛行器的穩(wěn)定性影響很有必要。

除此之外,高超聲速飛行器的高度非線性、參數(shù)時(shí)變及通道間強(qiáng)耦合、飛行環(huán)境變化劇烈等特點(diǎn)使得自身穩(wěn)定性較差[5]。根據(jù)傳統(tǒng)線化方法對(duì)高超聲速飛行器進(jìn)行穩(wěn)定性分析得到的動(dòng)力學(xué)特性與真實(shí)值存在偏差。另一方面,飛行器在空中飛行時(shí)出現(xiàn)動(dòng)不穩(wěn)定,但是地面靜、動(dòng)態(tài)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)測(cè)量(及數(shù)值模擬)結(jié)果是動(dòng)穩(wěn)定的[6]。因此,想要提高高超聲速飛行器的穩(wěn)定性以及探索天地不一致的影響因素,建立非線性動(dòng)力學(xué)模型來(lái)研究飛行器縱向穩(wěn)定性,并研究動(dòng)力學(xué)模型中的非線性對(duì)飛行器穩(wěn)定性的影響是很有意義的。

在穩(wěn)定性分析中,大多數(shù)文獻(xiàn)將六自由度直接簡(jiǎn)化為單自由度或雙自由度進(jìn)行研究,或是只有定性分析并沒(méi)有定量結(jié)果,或在應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)飛行器穩(wěn)定性分析方面的研究并不全面。本文在此動(dòng)機(jī)下,針對(duì)方程的此類線化處理對(duì)飛行器縱向穩(wěn)定性的影響程度以及氣動(dòng)力局部線化表示的影響程度試圖進(jìn)行定量分析。首先推出了基于剛體假設(shè)的六自由度非線性動(dòng)力學(xué)方程,依次分別對(duì)氣動(dòng)力和方程進(jìn)行線化,構(gòu)造非線性氣動(dòng)力模型,并將對(duì)應(yīng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值仿真。將結(jié)果與小擾動(dòng)線化穩(wěn)定性分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,得到非線性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)飛行器穩(wěn)定性的影響,對(duì)飛行器總體設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析具有一定的參考價(jià)值。

1　飛行器縱向運(yùn)動(dòng)模型

將飛行器視為質(zhì)量固定不變的剛體,忽略地球曲率和自轉(zhuǎn)的影響。選定飛行器的狀態(tài)變量為:V,γ,q,α及θ,并且將方程的縱向和橫向解耦,運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律導(dǎo)出飛行器縱向非線性動(dòng)力學(xué)方程組為:

(1)

相關(guān)氣動(dòng)力和力矩的計(jì)算參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

2　飛行器縱向穩(wěn)定性分析方法

上節(jié)導(dǎo)出的方程組是變系數(shù)、非線性的,一般無(wú)法求得解析解,只能數(shù)值求解。因此,傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法一般是基于小擾動(dòng)假設(shè)將方程進(jìn)行線性化處理。

2.1方程的線化與氣動(dòng)力的線性表征

方程的線化:將非線性動(dòng)力學(xué)方程在基準(zhǔn)點(diǎn)處泰勒展開(kāi),略去二階及二階以上的高階量。

氣動(dòng)力線性表征為:

ΔT=TVΔV+THΔH+TδPΔδP

(2)

ΔD=DVΔV+DHΔH+DαΔα+DδeΔδe

(3)

ΔL=LVΔV+LHΔH+LαΔα+LδeΔδe+

(4)

MqΔq+MδeΔδe

(5)

式中:令操縱量Δδp=0,Δδe=0來(lái)討論飛行器縱向自由擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。不計(jì)擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)中高度變化引起的外力和力矩的影響。

2.2本文研究策略

(1)討論非線性氣動(dòng)力對(duì)穩(wěn)定性的影響

①在方程和氣動(dòng)力都進(jìn)行線化后的線性模型中,分別減小升力線斜率CLα,增大俯仰力矩線斜率Cmα,將得到的結(jié)果與之前得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比;

②方程線化,氣動(dòng)力采用構(gòu)造的非線性模型表示,將此非線性模型的求解結(jié)果與線性化模型的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比;

③方程非線性,即直接采用式(1),并且氣動(dòng)力也采用構(gòu)造的非線性模型,求解此非線性模型并將求解結(jié)果與線性模型的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

(2)討論非線性方程對(duì)穩(wěn)定性的影響

將氣動(dòng)力進(jìn)行線化,方程非線性,求解此非線性模型并將求解結(jié)果與線性模型的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3　仿真結(jié)果及分析

3.1非線性氣動(dòng)力對(duì)穩(wěn)定性的影響

3.1.1氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)CLα和Cmα對(duì)穩(wěn)定性的影響

對(duì)于非線性氣動(dòng)力條件下的飛行動(dòng)態(tài)特性分析,目前仍然采用的是線化的處理方式,為了適應(yīng)對(duì)于非線性氣動(dòng)力問(wèn)題分析的需要,只是用非線性狀態(tài)下的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)來(lái)替代線性狀態(tài)下的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)。因此,氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的選取對(duì)于穩(wěn)定性的分析很重要。本節(jié)的研究思路是基于線性模型,分析氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的變化對(duì)飛行器縱向穩(wěn)定性的影響。

由于想要找到數(shù)據(jù)較為全面的有關(guān)高超聲速飛行器的算例比較困難,因此本文以某低馬赫數(shù)的運(yùn)輸機(jī)為算例。采用文獻(xiàn)[7]提供的某型通用航空飛機(jī)的飛行參數(shù),對(duì)采用線性模型求得的解析解進(jìn)行分析，并采用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證。數(shù)值仿真的初始瞬時(shí)給定擾動(dòng)Δα=1°,時(shí)間間隔為0.01 s。

解析解計(jì)算結(jié)果顯示:CLα從4.44減小到0.24,一直得到兩對(duì)共軛復(fù)根,說(shuō)明周期性振蕩衰減運(yùn)動(dòng)的性態(tài)沒(méi)有改變;隨著CLα的減小,短周期和長(zhǎng)周期的特征根實(shí)部絕對(duì)值呈線性減小,對(duì)應(yīng)的半衰期增大,表明收斂速度隨著CLα減小而變慢。表1針對(duì)最大與最小的CLα得到的特征根和模態(tài)運(yùn)動(dòng)參數(shù)進(jìn)行了對(duì)比。從表1中可看出,短周期和長(zhǎng)周期的半衰期分別增大了61.31%和7.55%,可見(jiàn)CLα的變化對(duì)短周期的影響較大,但絕對(duì)改變量都在數(shù)秒量級(jí),表明CLα的減小對(duì)收斂速度的影響很小。

表1　響應(yīng)模態(tài)結(jié)果對(duì)比Table1　Comparisonofresponsemodes

圖1為在不同CLα下速度的時(shí)間響應(yīng)曲線。在本文所有的數(shù)值仿真中,Δα,Δq，Δθ和ΔV的定性變化規(guī)律相同,只是改變量有所差異,所以大多數(shù)只給出速度的時(shí)間響應(yīng)曲線。從圖1中可見(jiàn),隨著CLα的減小,收斂速度變化不大,并且振蕩周期會(huì)變小,振蕩幅值會(huì)增大，這與解析解結(jié)果一致。

圖1　不同CLα條件下的速度對(duì)比Fig.1　Comparison of velocities on different CLα

圖2和圖3為特征根分布情況。從圖2和圖3中可見(jiàn),Cmα從-0.683增大到0.140時(shí),長(zhǎng)周期和短周期的復(fù)數(shù)特征根都向?qū)嵼S靠攏,短周期首先蛻化為實(shí)根。短周期和長(zhǎng)周期在蛻變?yōu)閷?shí)根前,實(shí)部變化很平緩,說(shuō)明收斂速度幾乎不變。復(fù)根蛻化為實(shí)根后,分別向正、負(fù)實(shí)軸發(fā)展,隨著Cmα的增大,長(zhǎng)周期也蛻化為實(shí)根并首先出現(xiàn)正實(shí)根,運(yùn)動(dòng)發(fā)散。

圖2　短周期特征根分布Fig.2　Characteristic root distribution of short-period

圖3　長(zhǎng)周期特征根分布Fig.3　Characteristic root distribution of long-period

圖4為不同Cmα條件下的速度對(duì)比曲線。由圖4可見(jiàn),Cmα在開(kāi)始變化時(shí),收斂速度基本不變,這與解析解分析一致。隨著Cmα的增大,振蕩周期增大,振蕩幅值減小,但各個(gè)飛行參數(shù)增大的量值又不盡相同。當(dāng)Cmα增大56%時(shí),ΔV,Δα,Δq和Δθ分別減小了30%,64%,45%和39%。

圖4　不同Cmα條件下的速度對(duì)比Fig.4　Comparison of velocities on different Cmα

3.1.2基于線性方程氣動(dòng)力非線性的影響

當(dāng)氣動(dòng)力的非線性特征明顯時(shí),必須建立非線性氣動(dòng)力模型?？紤]升力系數(shù)與俯仰力矩系數(shù)隨迎角的二次方非線性變化,構(gòu)造了相應(yīng)的非線性升力與非線性俯仰力矩模型,如式(6)～式(8)所示。

式(6)為針對(duì)CLα隨α不斷增大而增大構(gòu)造的非線性升力數(shù)學(xué)模型。

(6)

式中:ε為非線性升力在全部升力中所占的比重,ε越大,非線性升力所占比重越大。ε分別取0,2,4,其中兩種特殊情況為ε=0和ε=4,分別表示升力完全用線性表示和非線性升力部分接近線性升力。下文中的ε含義相同,只是數(shù)值不同。

圖5給出了各個(gè)飛行參數(shù)在非線性升力條件下的時(shí)間響應(yīng)曲線。

圖5　仿真結(jié)果(針對(duì)式(6))Fig.5　Simulation results(for formula(6))

從圖中可以看出,ΔV,Δα,Δq和Δθ的定性變化規(guī)律相同;非線性升力對(duì)周期幾乎沒(méi)有影響,而對(duì)幅值有一定的影響;隨著非線性升力的增大,幅值增大;當(dāng)非線性量接近線性量時(shí),ΔV,Δα,Δq和Δθ分別增大了約63.3%,64.4%,61.9%和63.0%。

式(7)為針對(duì)CLα隨α的增大而減小構(gòu)造的非線性升力數(shù)學(xué)模型。

(7)

圖6為式(7)對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果。從圖中可以看出,非線性升力對(duì)周期幾乎沒(méi)有影響,而對(duì)幅值有一定的影響。ε增大,周期不變,幅值減小。當(dāng)非線性量接近線性量時(shí),ΔV,Δα,Δq和Δθ分別減小了29.3%,29.3%,28.9%和29.2%。

圖6　仿真結(jié)果(針對(duì)式(7))Fig.6　Simulation results(for formula(7))

式(8)為針對(duì)Cmα隨α的增大而增大構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型。

(8)

圖7為式(8)對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果。由圖7可見(jiàn),非線性俯仰力矩對(duì)周期也幾乎沒(méi)有影響,而對(duì)幅值有一定的影響。隨著非線性俯仰力矩的增大,幅值減小。當(dāng)非線性量接近線性量時(shí),ΔV,Δα,Δq和Δθ分別減小了50.8%,50.4%,50.7%和50.8%。

圖7　仿真結(jié)果(針對(duì)式(8))Fig.7　Simulation results(for formula(8))

3.1.3基于非線性方程氣動(dòng)力非線性的影響

在非線性方程中,非線性氣動(dòng)力不能再用增量表示,而應(yīng)該采用狀態(tài)量。構(gòu)造非線性氣動(dòng)力模型如式(9)～式(11)所示。初始條件和時(shí)間間隔的設(shè)定值不變,直接對(duì)式(1)中的縱向非線性方程進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)求解。

式(9)為針對(duì)CLα隨α的增大而不斷增大構(gòu)造的非線性升力數(shù)學(xué)模型。

(9)

圖8為式(9)對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果。從圖8中可以看出,在考慮非線性方程的基礎(chǔ)上,非線性升力對(duì)周期幾乎沒(méi)有影響,而對(duì)幅值有一定的影響。隨著非線性升力的增加,幅值增大。當(dāng)非線性量接近線性量時(shí),ΔV,Δα,Δq和Δθ分別增大了約8.26%,7.77%,8.10%和7.98%。

圖8　仿真結(jié)果(針對(duì)式(9))Fig.8　Simulation results(for formula (9))

式(10)為針對(duì)CLα隨α的增大而不斷減小構(gòu)造的非線性升力數(shù)學(xué)模型。

(10)

圖9為式(10)對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果。從圖9中可以看出,非線性升力對(duì)周期幾乎沒(méi)有影響,而對(duì)幅值有一定的影響。隨著非線性升力的增大,幅值減小。當(dāng)非線性量接近線性量時(shí),ΔV,Δα,Δq和Δθ分別減小了約9.64%,9.10%,9.77%和9.51%。

圖9　仿真結(jié)果(針對(duì)式(10))Fig.9　Simulation results(for formula(10))

式(11)為針對(duì)Cmα隨α增大而不斷增大構(gòu)造的非線性俯仰力矩。

(11)

圖10為式(11) 對(duì)應(yīng)的數(shù)值仿真結(jié)果。從圖10中可以看出,非線性俯仰力矩對(duì)周期幾乎沒(méi)有影響,而對(duì)幅值有一定的影響。隨著非線性俯仰力矩的增大,幅值增大。當(dāng)非線性量接近線性量時(shí),ΔV,Δα,Δq和Δθ分別增大了9.57%,7.77%,9.54%和9.19%。

圖10　仿真結(jié)果(針對(duì)式(11))Fig.10　Simulation results(for formula(11))

從仿真結(jié)果可以看出,在非線性方程中考慮非線性氣動(dòng)力的影響比在線性方程中考慮非線性氣動(dòng)力的影響要小。

3.2方程非線性的影響

對(duì)文獻(xiàn)[8]中的一架FAR23運(yùn)輸機(jī)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,通過(guò)時(shí)間推進(jìn)的數(shù)值方法對(duì)式(1)中的非線性方程進(jìn)行求解并且只考慮縱向,氣動(dòng)力模型采用線化數(shù)學(xué)模型,得到各個(gè)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的時(shí)間歷程曲線,將其與小擾動(dòng)線化理論得到的線性結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如圖11所示。圖中,u,v分別為飛行器在機(jī)體軸系中沿Oxb,Ozb方向的速度分量。

圖11　仿真結(jié)果的比較Fig.11　Comparison of simulation results

由圖11可見(jiàn),考慮方程非線性的非線性動(dòng)力學(xué)模型的穩(wěn)定性與基于線性擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)模型的穩(wěn)定性分析結(jié)果存在差異,具體表現(xiàn)為周期增大、幅值減小、衰減率增大。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文系統(tǒng)地研究了飛行動(dòng)力學(xué)非線性方程和非線性氣動(dòng)力對(duì)飛行器縱向穩(wěn)定性的影響,得到以下結(jié)論:

(1)方程的非線性引起幅值減小、周期增大、衰減率增大;

(2)CLα減小引起收斂速度變慢、振蕩周期變小、振蕩幅值增大;Cmα增大引起振蕩周期增大、振蕩幅值變小;

(3)氣動(dòng)力的非線性對(duì)振蕩周期幾乎沒(méi)有影響，對(duì)幅值有影響,并且非線性氣動(dòng)力在線性飛行動(dòng)力學(xué)方程中的影響比在非線性方程中大。

從仿真結(jié)果來(lái)看,動(dòng)力學(xué)模型中的非線性對(duì)飛行器穩(wěn)定性影響較小,這與本文采用的算例以及簡(jiǎn)化過(guò)程有很大的關(guān)系。對(duì)于非線性特征非常明顯而且耦合嚴(yán)重的高超聲速飛行器來(lái)說(shuō),即使小量的非線性也會(huì)對(duì)穩(wěn)定性結(jié)果有較大影響。下一階段的工作將把這一研究思路與方法用于具體的高超聲速飛行器,并且考慮相互耦合的情況,具體研究非線性動(dòng)力學(xué)模型對(duì)高超聲速飛行器穩(wěn)定性的影響。

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(編輯：姚妙慧)

Influence of longitudinal nonlinear dynamic model on stability of vehicle

YE Liu-qing, YE Zheng-yin

(National Key Laboratory of Aerodynamic Design and Research, NWPU, Xi’an 710072, China)

Stability analysis of aircraft is closely related to the dynamics analysis model, the traditional stability analysis method is to establish a linear model based on small disturbance assumption. When the nonlinear characteristics are very obvious in a flight state, people often care about how much effects the errors between the calculated value and the true value will bring. On the basis of establishing nonlinear flight dynamics model and nonlinear aerodynamic model, this paper uses the time marching method to study two nonlinear problems systematically. The results show that the cycle increases, the amplitude decreases and the attenuation increases when the model of nonlinear flight dynamics equation is compared with linear model. The results also show that the nonlinear aerodynamic force has no effect on the cycle,but a certain influence on amplitude.

nonlinear equation; nonlinear aerodynamic force; flight dynamics; stability

2015-11-17;

2016-04-28; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2016-04-29 08:32

葉柳青(1993-)，女，湖北黃岡人，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行力學(xué)。

V212.12

A

1002-0853(2016)04-0019-05