李偉杰, 沈作軍

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院, 北京 100191)

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基于μ分析的高超聲速飛行器再入軌跡評估

李偉杰, 沈作軍

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院, 北京 100191)

為解決高超聲速飛行器再入過程中存在的不確定性問題,將μ分析理論應用到標稱再入軌跡的評估中。采用線性穩(wěn)定儲備準則,在密度、升力系數(shù)和阻力系數(shù)存在不確定性時,對標稱軌跡在制導律下的制導穩(wěn)定性進行了分析;根據(jù)所獲得的最壞參數(shù)組合,采用系統(tǒng)的開環(huán)尼克爾斯曲線驗證了μ分析的結果;分析了系統(tǒng)所能容納的最大不確定性參數(shù),并研究了系統(tǒng)對不同不確定性參數(shù)的敏感性。結果表明:在密度、升力系數(shù)和阻力系數(shù)不確定性中,阻力系數(shù)對該標稱軌跡的魯棒穩(wěn)定性影響最為明顯。

μ分析; 不確定性; 再入; 線性分式變換

0　引言

高超聲速飛行器是指馬赫數(shù)不低于5的飛行器[1]。高超聲速飛行器再入過程中,飛行包線大、飛行環(huán)境復雜、飛行高度及馬赫數(shù)跨度大,氣動特性變化劇烈;同時,由于缺乏足夠的飛行試驗,導致高超聲速飛行器再入過程中存在很大的不確定性。因此,必須在各種不確定性存在的條件下,對設計的標稱再入軌跡及制導律進行魯棒穩(wěn)定性評估。

在傳統(tǒng)的制導穩(wěn)定性評估中,常采用拉偏氣動升阻和環(huán)境參數(shù)的方法,通過再入制導飛行仿真來確定再入軌跡及其制導律對主要不確定參數(shù)的適應性。工程上常采用的網(wǎng)格法將不確定性參數(shù)表達為參數(shù)不確定性并進行網(wǎng)格化,在網(wǎng)格點針對評估準則逐一評估。由于網(wǎng)格法僅在網(wǎng)格化的離散點進行評估,因此可靠性得不到保證;此外,其工作量會隨不確定性參數(shù)的增加呈指數(shù)增加[2]?；诰€性分式變換(Linear Fractional Transformation, LFT)的μ分析方法克服了網(wǎng)格法的不足,能在連續(xù)的頻域范圍內計算帶有不確定性系統(tǒng)的結構奇異值,且其計算量是一個關于不確定參數(shù)個數(shù)的多項式函數(shù)[3]。

在采用μ分析方法進行魯棒穩(wěn)定性評估時,其可靠性很大程度上依賴于線性分式變換的質量。基于物理模型的建模方法(圖操作方法)能充分考慮不確定參數(shù)之間的關聯(lián),避免了數(shù)值建模方法導致的保守性[4-5]。

1　模型建立

1.1三自由度縱向再入模型

在再入問題中,常應用瞬時平衡假設忽略姿態(tài)運動及地球自轉,得到北天東坐標系中的高超聲速飛行器三自由度縱向動力學方程[6],如式(1)所示:

(1)

1.2基于物理模型的LFT建模方法

基于物理模型的LFT建模方法直接將不確定性參數(shù)引入飛行器非線性SIMULINK模型。以密度為例,假設密度可在其標稱值附近±20%范圍內變化,則密度可以表示為ρ=ρnom(1+WρΔρ)。其中ρnom為密度的標稱值,Wρ值為0.2,Δρ∈[-1,1]。于是,包含不確定性參數(shù)的密度在模塊中可以表示為如圖1的形式,在密度不確定性處引入了一個虛擬輸出zρ和虛擬輸入wρ。這樣,便直接將不確定參數(shù)引入到飛行器的非線性模型中,且由于考慮到了不確定參數(shù)之間可能存在的關聯(lián),不會引起數(shù)值建模方法帶來的保守性問題[4,7]。

圖1　基于物理模型的建模方法Fig.1　Modeling method based on physical models

1.3線性穩(wěn)定儲備準則

圖2(a)所示的尼克爾斯圖所對應的區(qū)域A和B分別對應±6 dB,±36.87°和±4.5 dB,±28.44°的儲備要求。若系統(tǒng)的開環(huán)尼克爾斯曲線不穿越橢圓區(qū)域,則系統(tǒng)滿足相應的幅值和相位儲備要求[7]。由文獻[8]可知,圖2(b)中區(qū)域A和B分別對應奈奎斯特圖中以-1.25為圓心、0.75為半徑和以-1.14為圓心、0.54為半徑的圓。系統(tǒng)的開環(huán)尼克爾斯曲線不穿越橢圓區(qū)域B,等價于系統(tǒng)的奈奎斯特曲線不穿越圓區(qū)域B。

圖2　尼克爾斯橢圓區(qū)域和奈奎斯特圓區(qū)域Fig.2　Elliptical regions in Nichols plane and circular regions in Nyquist plane

在分析制導穩(wěn)定性時,通過構造一個虛擬的復不確定塊,將準則作為飛機對象虛擬的乘積型不確定性考慮,加入閉環(huán)系統(tǒng)。本文采用圖2中區(qū)域B對應的儲備準則。由文獻[8-9]可知,所有包含評估準則的不確定對象的集合為:

(2)

(3)

圖3　引入幅值和相位裕度的反饋閉環(huán)系統(tǒng)Fig.3　Feedback closed-loop system with gain and phase margins introduced

2　結構奇異值理論

設結構Δ∈Cn×n為復數(shù)對角塊,可描述為:

(4)

式中:S和F為重復標量子塊和子滿塊的個數(shù)。

(5)

當不存在這樣的攝動使det(I-MΔ)=0時,則定義μΔ(M)=0。

定理1:假設M∈RH∞,對于所有滿足‖Δ‖∞≤1的Δ,圖4所示系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的充要條件為:

(6)

圖4　線性分式變換反饋框圖Fig.4　Feedback block diagram of LFT

3　仿真計算及結果分析

3.1仿真計算

假設再入過程中密度、升力系數(shù)和阻力系數(shù)存在±20%不確定參數(shù)。按照基于物理模型建模原則搭建非線性動力學模型,并考慮±4.5 dB,±28.44°的線性穩(wěn)定儲備,利用Linmod函數(shù)可方便地得到含不確定性系統(tǒng)的狀態(tài)空間實現(xiàn)。至此,便得到了關于密度、升力系數(shù)、阻力系數(shù)不確定參數(shù)的線性分式變換,且將線性穩(wěn)定儲備引入了原系統(tǒng)中。同時,復不確定參數(shù)的引入有效地解決了MATLAB無法計算實不確定參數(shù)的結構奇異值的上、下界的問題[11]。計算出的結構奇異值的上界可用于判斷魯棒穩(wěn)定性,下界可用于確定“最壞情況”。

已知X-33的一條標稱軌跡,相關的三自由度縱向狀態(tài)信息和標稱控制量如圖5所示。

圖5　X-33再入軌跡標稱狀態(tài)量和控制量Fig.5　Nominal statement profiles and control profiles of X-33 reentry trajectory

從σ剖面可以看出,再入過程中飛行器存在兩次明顯的翻轉。翻轉點也是再入過程中較為危險的點。本文以第一次翻轉前后的狀態(tài)點為例進行分析。

3.2魯棒穩(wěn)定性分析

假設ρ,CL和CD不確定性取值范圍為[-20%,+20%],分別在r,V,γ和S2go通道加入線性穩(wěn)定儲備,得到第一次翻轉前后狀態(tài)點的結構奇異值頻域響應如圖6所示。由定理1可知,標稱軌跡在給定不確定性參數(shù)攝動下滿足魯棒穩(wěn)定性要求。

圖6　第一次翻轉前后結構奇異值Fig.6　μ values before and after the first bank-reversal

為了驗證整條標稱軌跡在制導律閉環(huán)后存在不確定參數(shù)時的魯棒穩(wěn)定性,可以更大范圍地選取軌跡上的點進行驗證。以r通道為例,其結果見圖7。

圖7　第一次翻轉附近區(qū)域r通道結構奇異值Fig.7　μ values of r loop around the first bank-reversal point

結果表明,r通道的結構奇異值均小于1,說明標稱軌跡r通道滿足魯棒穩(wěn)定性要求。

3.3最壞情況驗證

為了驗證μ分析的結果,現(xiàn)以第一次翻轉前狀態(tài)點的r通道為例加以驗證,其結果如圖8所示。

由圖8可知,在所求得的最壞情況下,系統(tǒng)的開環(huán)尼克爾斯曲線不穿越圖2(b)中區(qū)域B所對應的穩(wěn)定儲備區(qū)域,即系統(tǒng)在密度、升力系數(shù)、阻力系數(shù)具有[-20%,+20%]不確定參數(shù)變化范圍內的最壞情況仍滿足魯棒穩(wěn)定性,從而驗證了μ分析的結論。

3.4穩(wěn)定性邊界參數(shù)確定及“敏感性”分析

在對標稱軌跡進行制導穩(wěn)定性分析時,總希望求得其所能容納的最大不確定性參數(shù)范圍?，F(xiàn)以第一次翻滾前r通道為例,在原有的20%基礎上,按一定比例(在此選4%)同時增大3個不確定參數(shù),其結構奇異值上界如圖9所示?？梢钥闯?隨著不確定參數(shù)的增加,閉環(huán)系統(tǒng)的結構奇異值逐漸增加。當不確定參數(shù)達到約35%時,閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。

圖9　不同不確定參數(shù)對應的結構奇異值上界Fig.9　The upper boundard of μ corresponding to different uncertain parameters

為了分析密度、升力系數(shù)、阻力系數(shù)三個不確定參數(shù)對閉環(huán)系統(tǒng)的標稱軌跡穩(wěn)定性的影響程度,在原有的20%不確定參數(shù)的基礎上,固定其中兩個不確定參數(shù),增加另外一個不確定參數(shù)。通過計算系統(tǒng)的結構奇異值,來檢驗閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,從而分析不確定參數(shù)的“敏感性”,計算結果如圖10所示。

圖10　不確定參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.10　Influence of uncertain parameters on the system stability

由圖10可知:當密度和升力系數(shù)不確定性分別達到80%和92%時,閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定;而當阻力系數(shù)不確定性參數(shù)增加到40%時,閉環(huán)系統(tǒng)便失穩(wěn)。因此可知,閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性對阻力系數(shù)不確定性參數(shù)更為敏感,因此在標稱軌跡設計時需要著重考慮。

4　結束語

本文將結構奇異值理論應用到高超聲速飛行器再入過程中存在參數(shù)不確定性時標稱軌跡的魯棒穩(wěn)定性分析當中。應用該方法可對用不同方法設計的標稱再入軌跡在存在參數(shù)不確定性時進行魯棒穩(wěn)定性分析,從而為高超聲速飛行器再入軌跡的設計及制導律評估提供一定的參考。

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(編輯：李怡)

Evaluation of re-entry trajectory of hypersonic vehicles based onμ-analysis

LI Wei-jie, SHEN Zuo-jun

(School of Aeronautic Science and Engineering, BUAA, Beijing 100191, China)

Theμ-analysis theory was applied to the evaluation of the nominal re-entry trajectory to solve the uncertainties in the course of re-entry of hypersonic vehicles. Based on the linear stability reserve criteria, the guidance stability of the nominal trajectory and guidance law was analyzed when the density, lift coefficient and drag coefficient are uncertainty. According to the worst-case combination of parameters, the Nichols curve of the open-loop system was used to verify the conclusion ofμ-analysis results. The maximum uncertainty parameters which the system could accommodate were analyzed, and the sensitivity of the system to different uncertain parameters was studied. The results indicate that the drag coefficient has the most obvious effect on the robust stability of the nominal trajectory in the uncertainties of the density, lift coefficient and drag coefficient.

μ-analysis; uncertainties; re-entry; linear fractional transformation

2015-09-14;

2016-01-06; 網(wǎng)絡出版時間:2016-02-29 16:37

李偉杰(1991-),男,四川簡陽人，碩士研究生,研究方向為高超聲速飛行器制導與控制。

V412.4

A

1002-0853(2016)04-0050-04