利用Eξ2≥(Eξ)2證明含n項和的不等式

吳邦昆

(合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 巢湖 238000)

利用Eξ2≥(Eξ)2證明含n項和的不等式

吳邦昆

(合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 巢湖 238000)

使用常規(guī)方法證明含n項和的代數(shù)不等式，往往技巧大，過程復(fù)雜。如果合理利用概率論中的Eξ2≥(Eξ)2結(jié)論證明這類不等式，可以開辟證明方法的新途徑，其證法構(gòu)思新奇，思路清晰，富于規(guī)律，易于掌握。

方差；證明；不等式

設(shè)ξ是一個只取有限個值a1，a2，a3，…,an的離散型隨機(jī)變量，其概率分布為p(ξ=ai)=pi﹥0，i=1，2，3，…,n則ξ的方差為

當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=a3=…=an=Eξ時等號成立。

證明一類含有n項和的代數(shù)不等式時，根據(jù)具體不等式的特點，構(gòu)造相應(yīng)的隨機(jī)變量及其概率分布列，利用上述方差性質(zhì)Eξ2≥(Eξ)2，使得不等式的證明過程構(gòu)思新奇，思路清晰，具有獨特而簡潔的功效。現(xiàn)舉例如下：

例1：設(shè)xi≥0，i=1，2，3，…,n則

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時等號成立

兩邊開方即得所證不等式，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時等號成立。

例2：設(shè)xi>0，i=1，2，3，…,n，則

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時等號成立。

∵Eξ2≥(Eξ)2

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時等號成立。

∵Eξ2≥(Eξ)2

至于什么時候聚，怎么聚，周教授已經(jīng)安排好了，他說時間么就定在中午，地點么就到郊外，他遠(yuǎn)房侄兒周青才開不久的桃花源農(nóng)莊。周教授強(qiáng)調(diào)說，現(xiàn)在正值春天，桃花源的風(fēng)景很好，我們正好都做一回陶淵明么。幾個電話里都說好，讓周教授等著，他們都到周教授住宅小區(qū)門口集合，然后再一起去桃花源農(nóng)莊。

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時等號成立，原不等式得證。

證明：設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：

∵Eξ2≥(Eξ)2

而此式顯然成立，原不等式得證。

證明：設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為：

∵Eξ2≥(Eξ)2

原不等式得證。

[1]朱勝強(qiáng).淺談不等式證明的非常規(guī)方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2004(8)：20-21.

[2]李向東.由柯西不等式的證明所想到的[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1997(8).

[3]周松.猜想與構(gòu)造在對稱不等式中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2005(7).

[4]江勤瑜.探究數(shù)學(xué)解題思路,培養(yǎng)創(chuàng)造思維能力[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，1998(3)：7-9.

[5]鄧國強(qiáng).促進(jìn)思維遷移 提高解題能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,1995(7)：28.

[6]譚維奇.高等數(shù)學(xué)(下冊)[M].南京：江蘇人民出版社，2008.

[7]夏國斌.高等數(shù)學(xué)[M].合肥：安徽大學(xué)出版社，2006.

Employment ofEξ2≥(Eξ)2to prove inequalities containing n terms

WU Bang-kun

(Hefei Vocational and Technical College, Hefei Anhui 238000,China)

It is intricate to prove algebraic inequalities containing n terms through conventional methods. TheEξ2≥(Eξ)2conclusion of probability theory provides a novel method to prove this kind of inequalities, and the proving process is clear, logical and easy to grasp.

variance; prove; inequality

2016-08-24

安徽省高校省級質(zhì)量工程項目：“高等數(shù)學(xué)”精品資源共享課程(項目編號：2013gxk161)；合肥職業(yè)技術(shù)學(xué)院質(zhì)量工程項目“高等數(shù)學(xué)”精品課程(項目編號：JPKC201302)；安徽省高校人文社科重點項目：“大數(shù)據(jù)背景下高職學(xué)生學(xué)習(xí)力研究”(項目編號：SK2015A734)。

吳邦昆(1964-)，男，安徽廬江人，副教授。主要研究方向：高等數(shù)學(xué)。

O151.25

A

1673-6125(2016)04-0004-02