金 鳳

(貴州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

幾種三角習(xí)題變換的推廣

金 鳳

(貴州輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，貴州 貴陽 550025)

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的許多習(xí)題是可以互相轉(zhuǎn)化或延伸的, 對于學(xué)習(xí)鞏固所學(xué)知識, 活躍思維, 擴(kuò)大知識覆蓋面, 培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的能力等方面都是非常有益的。

三角習(xí)題；變換；推廣

在三角函數(shù)教學(xué)中特別是上復(fù)習(xí)題課時,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的許多習(xí)題是可以互相轉(zhuǎn)化或延伸的,對于學(xué)習(xí)鞏固所學(xué)知識,活躍思維,擴(kuò)大知識覆蓋面,培養(yǎng)舉一反三、觸類旁通的能力等方面都是非常有益的。筆者就以下幾種三角函數(shù)習(xí)題的變化進(jìn)行說明:

例1:在△ABC中,如果三邊a、b、c 成等差數(shù)列,則有：

一、重組命題

(1)sinA、sinB、sinC成等差數(shù)列

例題包括一個已知條件和7 個結(jié)論共8 個命題,每兩個命題都互為充要條件,因而可以組成56 個不同的習(xí)題。

例1: 在△ ABC 中,如果sinA、sinB、sinC成等差數(shù)列,則a、b、c 也成等差數(shù)列。

已知2sinB=sinA+sinC

即 2b=a+c

∴ 此命題得證

例3:在△ ABC 中,如果tanA、tanB、tanc成等差數(shù)，則

(1)tanA·tanC=3

(2)sin2A、sin2B、sin2C成等差數(shù)

(3)若O為銳角三角形ABC的外心，則SΔBOC、SΔAOC、SΔBOC成等差數(shù)

(4)△ ABC為銳角三角形

本例題包括一個已知條件和四個結(jié)論，除命題(4 ) 為其他命題的必要條件外,其余的每兩個均可互為充要條件,因而可組成16個不同的習(xí)題。

例如1：在△ ABC 中,如果tanA·tanC=3，求證：tanA、tanB、tanc成等差數(shù)

二、延伸結(jié)論

還可以延伸為證明用反三角函數(shù)表示的等式

此題可延伸為

還可以延伸為證明用反三角函數(shù)表示的等式

三、利用“1”的多變性求解

“1”的多變性在三角函數(shù)中的運(yùn)用是很突出的。如

1=sin2α+cos2α,1=tanα·cotα,1=sec2α-tan2α,1=2cos2α-cos2α,1=cos0等等。

∴此題得證

∴此題得證

四、在三角形中的變換

在三角形的計(jì)算或證明中,常用到勾股定理、正弦定理、余弦定理、射影定理、誘導(dǎo)公式等引出的各種公式。

在△ ABC 中由射影定理c=acosB+bcosA,b=acosC+ccosA,a=bcosC+ccosB

還可以根據(jù)需要變換成各種邊與角的關(guān)系

因?yàn)閍、b、c成等比數(shù)列，

∴a+c≥2b

∴結(jié)論成立

例9：在 △ ABC中,已知A、B和周長2p，求a、b、c

且:a+b+c=2c

sinA+sinB+sinC

同理可得:

[1]金鳳. 幾種三角習(xí)題的變換[J]. 成都教育學(xué)院學(xué)報(bào), 2002(12) :67-68.

[2]傅榮強(qiáng).龍門專題高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)[M].北京：龍門書局,2014.

On the promotion of the transformation of several trigonometric exercises golden phoenix

JIN Feng

(Guizhou Institute of Light Industry Guiyang Guizhou 550025,China)

Guide students to discover many exercises trigonometric functions can be transformed into each other or extend, consolidate the knowledge for learning, active thinking, expand knowledge coverage, giving top priority to culture, capacities, etc. are very useful analogy.

Triangle problem sets；integral transform；Promotion

2016-09-09

金 鳳(1965-)，女，貴州貴陽人，副教授。主要研究方向：高等數(shù)學(xué)。

O174

A

1673-6125(2016)04-0006-03