吳益鋒,朱恒亮,曾　璇

(復(fù)旦大學(xué) 專用集成電路與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201203)

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魯棒主元分析和稀疏表示方法在模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè)中的應(yīng)用

吳益鋒,朱恒亮,曾璇

(復(fù)旦大學(xué) 專用集成電路與系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 201203)

模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè)問(wèn)題,即重點(diǎn)是檢測(cè)出模擬電路芯片存在錯(cuò)誤后確定錯(cuò)誤元件或參數(shù)的問(wèn)題,對(duì)于進(jìn)一步明確錯(cuò)誤產(chǎn)生原因,在設(shè)計(jì)或制造中加以改進(jìn),有重要的意義.經(jīng)典做法是通過(guò)預(yù)先設(shè)置錯(cuò)誤,并仿真得到其對(duì)應(yīng)的響應(yīng)數(shù)據(jù),構(gòu)造“錯(cuò)誤字典”,然后將測(cè)試信號(hào)與錯(cuò)誤字典進(jìn)行比對(duì),識(shí)別其屬于哪一類錯(cuò)誤類型.本文提出一種基于數(shù)據(jù)稀疏表示方法來(lái)進(jìn)行錯(cuò)誤類型識(shí)別的新方法,它計(jì)算屬于不同錯(cuò)誤類型的數(shù)據(jù)在所有類型的數(shù)據(jù)構(gòu)成的空間中的展開(kāi)向量,根據(jù)得到的稀疏向量來(lái)判斷其所屬錯(cuò)誤類型.對(duì)于稀疏表示方法無(wú)法進(jìn)行準(zhǔn)確分類識(shí)別的情況,采用SVM作為二級(jí)分類器進(jìn)行修正.存在某些錯(cuò)誤類型,其響應(yīng)數(shù)據(jù)構(gòu)成的空間之間線性相關(guān)性較強(qiáng),對(duì)于稀疏表示后屬于其中之一類型的數(shù)據(jù),采用傳統(tǒng)的SVM方法來(lái)加以輔助分類.在兩個(gè)實(shí)驗(yàn)例子中,與SVM,Ada Boost以及沒(méi)有加SVM輔助分類的單純稀疏表示方法相比較,本文方法有更高的錯(cuò)誤類型識(shí)別正確率.

錯(cuò)誤檢測(cè)； 支持向量機(jī)； 魯棒主元分析； 稀疏表示

模擬電路和混合信號(hào)電路中的錯(cuò)誤檢測(cè)以及錯(cuò)誤定位問(wèn)題,是電路設(shè)計(jì)驗(yàn)證和電路原型特征描述的重要課題[1-4].模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè),也即錯(cuò)誤元器件位置的確定[5],一直是一個(gè)比較困難的問(wèn)題.一部分原因是模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè)缺乏良好的錯(cuò)誤定義模型以及在不斷開(kāi)電路連接的情況下測(cè)量節(jié)點(diǎn)電流的困難性；另外,電路具有非線性特性等因素也造成了一定的困難性.

模擬電路的錯(cuò)誤一般指任何電路元件對(duì)于其名義取值的偏離,從而可能破壞電路性能的情況.這些錯(cuò)誤可能是“硬錯(cuò)誤”,即電路發(fā)生短路或開(kāi)路；也可能是“軟錯(cuò)誤”,即電路元件參數(shù)值偏離了設(shè)計(jì)的名義值,但還沒(méi)有超出可接受的極限.這些軟錯(cuò)誤可能來(lái)源于制造過(guò)程的工藝偏差、器件的老化或者一些寄生效應(yīng).很多錯(cuò)誤檢測(cè)技術(shù)著眼于某一元件發(fā)生錯(cuò)誤的情況的“單錯(cuò)誤”問(wèn)題,但從現(xiàn)在設(shè)計(jì)的復(fù)雜性以及電路檢測(cè)技術(shù)的實(shí)用性考慮,“多錯(cuò)誤”模型是我們的研究重點(diǎn)和方向.在本文后面的理論以及測(cè)試電路例子中,我們都會(huì)考慮電路中的多個(gè)參數(shù)同時(shí)發(fā)生錯(cuò)誤的情況,一方面這相比“單錯(cuò)誤”問(wèn)題更加接近應(yīng)用問(wèn)題的實(shí)際情況[6],另一方面,“多錯(cuò)誤”情況增加了問(wèn)題的復(fù)雜度,從而可以更好地說(shuō)明本文所提出的方法在處理復(fù)雜問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì).

1　相關(guān)工作

過(guò)去對(duì)模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè)的方法研究基本上可以分為兩類: 測(cè)試前仿真(Simulation Before Test, SBT)方法和測(cè)試后仿真(Simulation After Test, SAT)方法.SAT方法是先得到待測(cè)試電路的響應(yīng),然后計(jì)算電路參數(shù),從而完成錯(cuò)誤檢測(cè).SBT方法的要點(diǎn)是將電路的響應(yīng)與“錯(cuò)誤字典”(fault dictionaries)中各個(gè)錯(cuò)誤分類的對(duì)應(yīng)電路響應(yīng)進(jìn)行比較,判斷其是否屬于某一特定錯(cuò)誤分類.由于SBT方法是基于已經(jīng)生成好的電路錯(cuò)誤字典,所以比SAT方法時(shí)間開(kāi)銷更小,故本文所述也是基于SBT方法.

在過(guò)去的一段時(shí)間里,模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè)方面的研究無(wú)論是在系統(tǒng)級(jí)、電路板級(jí)還是芯片級(jí),都取得了很多進(jìn)展[7-10].在SBT方法的整個(gè)錯(cuò)誤檢測(cè)流程中,最關(guān)鍵的地方是錯(cuò)誤分類的學(xué)習(xí)過(guò)程,也即錯(cuò)誤字典的構(gòu)造過(guò)程.

文獻(xiàn)[3-4]提出使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)作為分類學(xué)習(xí)器,直接將對(duì)電路測(cè)試得到的響應(yīng)數(shù)據(jù)輸入到學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)中,在這種不加任何數(shù)據(jù)前處理的情況下,即便是小規(guī)模的電路也會(huì)需要比較復(fù)雜的學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)[3],模型的學(xué)習(xí)時(shí)間過(guò)長(zhǎng).文獻(xiàn)[11-12]提出用小波變換對(duì)一開(kāi)始得到的電路響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行前處理后,再作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入,不過(guò)雖然小波變換通常來(lái)說(shuō)是不錯(cuò)的數(shù)據(jù)處理工具,在實(shí)際的電路檢測(cè)實(shí)時(shí)應(yīng)用場(chǎng)景下,小波變換的基、階數(shù)以及變換后小波系數(shù)的選擇都具有主觀任意性,不能很好地把握.

文獻(xiàn)[10,13-14]等提出用支持向量機(jī)(Support Vector Machine, SVM)來(lái)對(duì)錯(cuò)誤進(jìn)行分類學(xué)習(xí),主要使用了經(jīng)典的SVM方法以及一些改進(jìn)算法,如LS-SVM等.SVM的基本思想是: 通過(guò)某種非線性映射,將輸入數(shù)據(jù)向量映射到一個(gè)高維的空間Z,在這個(gè)高維的空間Z中,構(gòu)造最優(yōu)分離超平面,使得在原空間不可分的數(shù)據(jù)在變換后的空間中變得容易分類.通過(guò)修改不同的核函數(shù)(變換后空間的內(nèi)積函數(shù)),可以得到不同的分離曲面.在數(shù)據(jù)量很大的時(shí)候,SVM的學(xué)習(xí)是比較耗時(shí)的,對(duì)此,文獻(xiàn)[15]提出了一些近似算法.近似算法可以減少計(jì)算時(shí)間,但是會(huì)使屬于各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)變差.文獻(xiàn)[16-18]進(jìn)一步闡述了這個(gè)問(wèn)題,提出了bagging, boosting以及Ada Boost等方法.但是,仍然存在boosting這一類方法自身難以很好地在分類精度和分類多樣性之間進(jìn)行平衡的問(wèn)題[19].

本文中我們采用魯棒主元分析(Robust Principal Component Analysis, RPCA)與稀疏表示方法(Sparse Representation, SR)相結(jié)合來(lái)作為分類器.屬于不同錯(cuò)誤分類的數(shù)據(jù)具有不同的主元特征,通過(guò)魯棒主元分析并計(jì)算其稀疏表示后,得到的測(cè)試數(shù)據(jù)在包含各個(gè)分類的總的空間上的展開(kāi).若一個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)只屬于某一分類,則得到的表示向量是稀疏的,與其所屬分類相對(duì)應(yīng)的位置上的元素占主要部分.稀疏表示方法的主要問(wèn)題是對(duì)于線性相關(guān)度大的數(shù)據(jù)無(wú)法準(zhǔn)確分類,因此采取SVM方法進(jìn)一步分類以提高分類精度.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,特別是在有若干錯(cuò)誤類型線性相關(guān)度很大的情況下,這種稀疏表示再加上SVM的方法,相比SVM、Ada Boost等傳統(tǒng)方法,具有更好的分類正確率.

2　基于RPCA和稀疏表示的錯(cuò)誤檢測(cè)方法

本文基于RPCA和數(shù)據(jù)稀疏表示方法來(lái)構(gòu)造基本的分類器,假設(shè)訓(xùn)練數(shù)據(jù)為D,測(cè)試數(shù)據(jù)為T(mén),首先運(yùn)用RPCA提取訓(xùn)練數(shù)據(jù)的主元特征,若Ui是D中第i類錯(cuò)誤類型數(shù)據(jù)的特征基矩陣,則有

(1)

(2)

那么如果將一個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)在包含所有分類的訓(xùn)練數(shù)據(jù)形成的主元空間上展開(kāi):

(3)

2.1魯棒主元分析方法

RPCA方法可以有效地將原始數(shù)據(jù)的主元提取出來(lái)[20-21],假設(shè)有:

D=V+E,

(4)

D是數(shù)據(jù)矩陣,V是一個(gè)低秩的待恢復(fù)矩陣(即為RPCA后得到的矩陣),E是一個(gè)稀疏的噪聲矩陣,傳統(tǒng)的PCA方法根據(jù)E的2-范數(shù)最小的原則來(lái)計(jì)算V,但是這時(shí)即便E中只有一小部分的元被噪聲污染或者是異常值,V就很有可能無(wú)法有效恢復(fù).應(yīng)用表明,RPCA采用0-norm具有更大優(yōu)勢(shì),即:

min(rank(V)+‖E‖0),

(5)

‖?‖0代表求解一個(gè)向量的0-范數(shù).但是這并不是一個(gè)容易求解的凸優(yōu)化問(wèn)題,文獻(xiàn)[20]證明了在絕大多數(shù)情況下,將V的秩換為核范數(shù)(矩陣奇異值之和),將E的0-范數(shù)換為1-范數(shù),在大概率下求出的解可以命中真實(shí)解,即最小化目標(biāo)變?yōu)?

min(nuclearnorm(V)+‖E‖1).

(6)

這時(shí)我們就得到一個(gè)可以在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)求解的凸優(yōu)化問(wèn)題:

(7)

其中β是一個(gè)參數(shù),‖?‖*表示核范數(shù).對(duì)V進(jìn)行奇異值分解(SingularValueDecomposition,SVD)后,可以分解為V=UΣV′,U和V′分別包含了V的行列主元,Σ是一個(gè)對(duì)角陣,對(duì)角線上是V的奇異值從大到小的排列.我們?cè)O(shè)定一個(gè)閾值,只選取那些能量占比比較大的奇異值.這樣,就可以由訓(xùn)練數(shù)據(jù)D得到一個(gè)包含不同錯(cuò)誤類型的特征基矩陣U.

2.2數(shù)據(jù)的稀疏表示分類

U=[U1,U2,…,Up],p為錯(cuò)誤分類類型總數(shù)目,

(8)

(9)

(10)

(11)[22]

(12)

該問(wèn)題可以在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度求解.

(13)

(14)

2.3SVM二級(jí)分類

2.4步驟歸納

基于稀疏表示方法+SVM的模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè)流程主要包括4個(gè)步驟: (1) 對(duì)電路進(jìn)行仿真,提取響應(yīng)數(shù)據(jù)D和T；(2) 用稀疏表示方法對(duì)D訓(xùn)練分類器M1,并得到“線性相關(guān)類型組”；(3) 用D中屬于“線性相關(guān)類型組”的那些數(shù)據(jù)來(lái)訓(xùn)練SVM分類器M2；用M1對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)T分類,得其分類后所屬類型；(4) 用稀疏表示方法對(duì)T分類,如果某測(cè)試數(shù)據(jù)的稀疏表示結(jié)果顯示其屬于某一“線性相關(guān)類型組”,則再用SVM方法進(jìn)行分類.

3　實(shí)驗(yàn)和結(jié)果分析

本文用兩個(gè)例子來(lái)對(duì)所提錯(cuò)誤檢測(cè)方法進(jìn)行有效性的驗(yàn)證: 一個(gè)二級(jí)運(yùn)放(two-stage opam)和一個(gè)電平轉(zhuǎn)換電路(level shifter).兩個(gè)電路所采用工藝分別為T(mén)SMC 180nm和SMIC 40nm, 電路仿真軟件為HSPICE.

3.1電路例子以及錯(cuò)誤類型設(shè)置

圖1是二級(jí)運(yùn)放,我們這里主要關(guān)注MOS管因制造工藝偏差造成的長(zhǎng)寬誤差.對(duì)現(xiàn)在的模擬電路單元來(lái)說(shuō)[23],晶體管的寬比長(zhǎng)大得多,所以電路的性能對(duì)于管長(zhǎng)更加敏感.假設(shè)lmid,ldn,lup是3個(gè)參數(shù),電路設(shè)計(jì)過(guò)程中,各個(gè)管子的溝道長(zhǎng)滿足L(M4)=L(M5)=lmid,L(M1)=L(M7)=ldn,L(M0)=L(M2)=L(M3)=lup.當(dāng)這三個(gè)參數(shù)實(shí)際取值偏離設(shè)計(jì)值20%,就視為發(fā)生錯(cuò)誤；同時(shí)考慮到工藝偏差,錯(cuò)誤參數(shù)之外的其他參數(shù)在其各自設(shè)計(jì)值的5%以內(nèi)隨機(jī)偏離.所提取的二級(jí)運(yùn)放的響應(yīng)數(shù)據(jù)向量包含增益、單位增益帶寬、相位裕度、跨導(dǎo)等,這些指標(biāo)也是這個(gè)電路的性能優(yōu)化目標(biāo).其錯(cuò)誤類型設(shè)置如表1所示.

注: ↑和↓分別表示實(shí)際值比名義值偏大或偏小.

具體來(lái)說(shuō),例子中的運(yùn)放設(shè)計(jì)規(guī)范(spec)是: Gain>80,Ugf > 1×107,Pm>-110,在設(shè)計(jì)的各個(gè)錯(cuò)誤類型下,電路仿真得到的主要參數(shù)結(jié)果(每一錯(cuò)誤類型的結(jié)果取的是50次仿真結(jié)果的平均值)如下表2所示,仿真結(jié)果中帶有灰度的數(shù)據(jù)表示不符合spec的結(jié)果,視為存在錯(cuò)誤.相應(yīng)地,圖2是電平轉(zhuǎn)換電路的電路圖,表3中是其錯(cuò)誤類型設(shè)置情況,這里我們主要關(guān)注的是模擬電路中某處導(dǎo)線電阻異常增大甚至發(fā)生開(kāi)路的錯(cuò)誤情況.R1,R2和R3是虛擬設(shè)置的導(dǎo)線電阻,開(kāi)路時(shí)的電阻值設(shè)定為100MΩ,當(dāng)非出錯(cuò)時(shí),其阻值在數(shù)歐到數(shù)十歐之間隨機(jī)分布.錯(cuò)誤分類提取的響應(yīng)數(shù)據(jù)向量包含電路輸入點(diǎn)、輸出點(diǎn)的電壓最值,以及電源點(diǎn)和接地點(diǎn)的電流最值等(都是在一個(gè)周期內(nèi)).

表2　運(yùn)放具體錯(cuò)誤類型下電路主要參數(shù)

3.2結(jié)果分析

對(duì)于每一錯(cuò)誤分類,仿真生成100個(gè)響應(yīng)數(shù)據(jù)向量D和T各50個(gè).4種不同方法在T上的屬于各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)如表4所示.

表4　4種方法屬于各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)比較

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示,我們提出的基于稀疏表示并使用SVM進(jìn)行二次分類的方法在分類正確率上優(yōu)于單使用稀疏表示、SVM或Ada Boost方法,在某些分類線性相關(guān)性強(qiáng)時(shí),基于稀疏表示+SVM的方法具有更好的有效性和魯棒性.

對(duì)于空間線性相關(guān)性較大的錯(cuò)誤分類之間,采用SVM方法來(lái)二次分類.表5和表6分別是二級(jí)運(yùn)放電路數(shù)據(jù)D在稀疏表示方法下、T在稀疏表示方法下、T在稀疏表示+SVM下的屬于各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù).格中數(shù)字表示原屬于縱向分類類型的數(shù)據(jù)被最終分類為橫向分類類型的數(shù)目,例如表5中第5列數(shù)據(jù)表示,屬于第4類錯(cuò)誤類型的50個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù),有35個(gè)分類正確,而15個(gè)被錯(cuò)誤地分類為第6類錯(cuò)誤.因?yàn)橄∈璞硎痉诸惙椒ɑ谙蛄吭诳臻g中的線性展開(kāi),主要假設(shè)是: 相同錯(cuò)誤類型的特征空間線性相關(guān),而不同錯(cuò)誤類型的特征空間線性相關(guān)性很小,從而屬于某一分類的數(shù)據(jù)在總的空間上的線性展開(kāi)系數(shù)向量是稀疏的；那么對(duì)于D在稀疏表示方法下分類具體結(jié)果中分類錯(cuò)誤的情況,可以看作是分類類型之間線性相關(guān)性大所造成的.

表5中屬于各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)顯示: 第4和第6類類型線性相關(guān)度大,第5和第7類類型線性相關(guān)度大(分別構(gòu)成“線性相關(guān)類型組”),這也得到表5中各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)的驗(yàn)證.表6中則為T(mén)在稀疏表示+SVM方法下各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù),與表5結(jié)果相對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于屬于線性相關(guān)度大的分類類型的數(shù)據(jù),SVM二次分類可以進(jìn)行很好地區(qū)分,大大提高了分類正確率.

類似地,表7,表8的數(shù)據(jù)顯示了電平轉(zhuǎn)換電路在稀疏表示+SVM方法下有效提高分類正確率的結(jié)果,表8是對(duì)表7得出的“線性相關(guān)類型組”的交叉驗(yàn)證,而表8的各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)再次說(shuō)明了對(duì)線性相關(guān)度大的分類進(jìn)行SVM二次分類可以提高分類正確率.表5和表7,或表5和表8的數(shù)據(jù)對(duì)比也說(shuō)明了表4中4種方法總體判別正確率在兩個(gè)例子上的差異的原因: 電平轉(zhuǎn)換電路的不同分類中數(shù)據(jù)空間線性相關(guān)程度更大,從而在電平轉(zhuǎn)換電路中,稀疏表示+SVM方法的正確率比單純的稀疏表示分類方法高出12.5%,運(yùn)放例子中則為6.7%.

表5　運(yùn)放電路訓(xùn)練數(shù)據(jù)D和運(yùn)放電路測(cè)試數(shù)據(jù)T在稀疏表示方法下各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)

表6　運(yùn)放測(cè)試數(shù)據(jù)T在稀疏表示+SVM下各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)

表7　電平轉(zhuǎn)換電路訓(xùn)練數(shù)據(jù)D在稀疏表示方法下各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)

表8　電平轉(zhuǎn)換電路測(cè)試數(shù)據(jù)T在稀疏表示方法、稀疏表示+SVM下各錯(cuò)誤類型的樣例個(gè)數(shù)

4　結(jié)　論

本文將魯棒主元分析、數(shù)據(jù)稀疏表示方法應(yīng)用于模擬電路錯(cuò)誤檢測(cè)問(wèn)題,并與傳統(tǒng)SVM方法相結(jié)合來(lái)提高分類判別的正確率.這種方法相比SVM、Ada Boost以及沒(méi)有SVM輔助分類的RPCA方法,分類正確率更高,克服了其他幾種方法面臨的復(fù)雜性過(guò)大、分類效果不夠好、性能表現(xiàn)不穩(wěn)定等弊端.特別是當(dāng)某些錯(cuò)誤類型的數(shù)據(jù)空間線性相關(guān)性比較大時(shí),本文方法可以更大地提高分類正確率,更好地顯示出其魯棒性.

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Analog Circuit Fault Diagnosis Based on Robust Principal Component Analysis and Sparse Signal Representation

WU Yifeng, ZHU Hengliang, ZENG Xuan

(State Key Laboratory of ASIC & Systems, Fudan University, Shanghai 201203, China)

Aiming at better solving the problem of fault diagnosis of analog circuits, a new method is proposed here, which is a combination of some different concepts and algorithms. It consists of robust principal component analysis, SVD, sparse representation and SVM. This method for fault analysis is especially useful and powerful when we cannot select out the most suitable features of circuit for diagnosis due to the lack of knowledge about the circuit itself, or just no enough training samples are got. In the test of the examples in our work, the new method has achieved better accuracy rate over SVM and Ada Boost framework based method.

fault diagnosis; support vector machine; robust principal component analysis; sparse signal representation

0427-7104(2016)01-0051-08

2015-02-12

國(guó)家自然科學(xué)基金(91330201)

吳益鋒(1989—),男,碩士研究生；朱恒亮,男,講師,通訊聯(lián)系人,E-mail: hlzhu@fudan.edu.cn.

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