張 永 強

(西安工程大學 理學院，西安 710048)

?

具有不確定執(zhí)行價格的歐式看漲期權定價模型

張 永 強

(西安工程大學 理學院，西安 710048)

假定在風險中性條件下，利用保險精算的方法，研究了執(zhí)行價格受分數(shù)布朗運動驅動的歐式看漲期權的定價問題，得到了具有不確定執(zhí)行價格受分數(shù)布朗運動驅動的歐式看漲期權定價公式.

分數(shù)布朗運動；不確定執(zhí)行價格；期權定價

在數(shù)理金融學中，期權定價理論相當重要.自從Black-Scholes期權定價公式被提出后，這一公式便被廣泛應用于金融市場的定價分析中.不少學者在此基礎上對定價模型做出了許多改進[1-4]，但這些改進與傳統(tǒng)公式都是在假定執(zhí)行價格為常數(shù)基礎之上的；文獻[5-8]給出了不確定執(zhí)行價格的期權定價模型，但它們都假定執(zhí)行價格是受布朗運動驅動的；因此，本文在此基礎上，將執(zhí)行價格的不確定性推廣至受分數(shù)布朗運動驅動，給出了股票價格和執(zhí)行價格都受分數(shù)布朗運動驅動的歐式看漲期權定價模型.

1　預備知識

設BH1(t)和BH2(t)均為定義在概率空間(Ω,F,Ft,P)上關于Ft適應的分數(shù)布朗運動，這里Ft為由(BH1(u),BH2(u),0≤u≤t)生成的σ域流，BH1(t)和BH2(t)相關，且相關系數(shù)-1≤ρ≤1，則存在獨立于BH2(t)的分數(shù)布朗運動BH(t)，使得下式成立[9]

股票價格滿足

dS(t)=S(t)(μ(t)dt+σ(t)dBH1(t))

(1)

其中:BH1(t)為布朗運動，μ(t)為預期收益率，σ(t)為波動率，為了計算方便，假設μ(t)=μ，σ(t)=σ為常數(shù)，即

dS(t)=S(t)(μdt+σdBH1(t))

(2)

所以有

(3)

假設K(t)為時刻t的執(zhí)行價格，則期權在時刻T以執(zhí)行價格K(T)執(zhí)行，假定在風險中性測度Q下，K(t)滿足隨機微分方程

dK(t)=K(t)(αdt+βdBH2(t))

所以有

(4)

其:中α，β為常數(shù)此時，歐式看漲期權的到期收益為

(5)

2　定價模型

定理：股票價格和執(zhí)行價都受分數(shù)布朗運動驅動時，歐式看漲期權定價模型為

(6)

其中

所以

由S(T)>K(T)得：

令，

d2=d1+σρTH2

EQ(S(T)IS(T)>K(T))=

同理可得：

EQ(K(T)I{S(T)>K(T)}=

Ct=e-r(T-t)EQ((S(T)-K(T))+)=

e-r(T-t)EQ((S(T)-K(T))IS(T)>K(T)})=

e-r(T-t)EQ(S(T)IS(T)>K(T)})-

e-r(T-t)EQ(K(T)IS(T)>K(T)})=

3　推　論

1) 當ρ=1時，上式定價公式表示股票價格和執(zhí)行價受同一分數(shù)布朗運動驅動的歐式看漲期權定價模型.

2) 當H1=0.5，H2=0.5，H=0.5時，上式定價公式表示股票價格和執(zhí)行價同時受布朗運動驅動的歐式看漲期權定價模型.

3) 當ρ=1，H1=0.5，H2=0.5，H=0.5時，上式定價公式表示股票價格和執(zhí)行價受同一布朗運動驅動的歐式看漲期權定價模型.

4) 當H2=0.5時，式(6)定價公式表示股票價格受分數(shù)布朗運動驅動、執(zhí)行價受布朗運動驅動的歐式看漲期權定價模型.

4　結　語

本文將不確定執(zhí)行價格用分數(shù)布朗運動來驅動，建立了風險中性環(huán)境下不確定執(zhí)行價格的歐式看漲期權定價模型，對不確定執(zhí)行價格的期權定價具有重要意義.

[1]MUSIELAM,RULTKOWSKIM.Martingalemethodsinfinancialmodeling[M].BerlinHeidelberg:Springer, 1997.

[2]ZHANGS.GeneralBlack-Scholesmodelofsecurityvaluation[J].ActaMathematicaScientia, 1999, 19(3): 279-288.

[3]陳飛躍, 楊蓉, 龔海文, 等. 混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下歐式期權定價[J]. 經濟數(shù)學, 2014, 9(3): 9-13.

[4]周銀, 杜雪樵. 分數(shù)布朗運動下的亞式期權定價[J]. 合肥工業(yè)大學學報, 2011, 2(34): 318.

[5]趙攀, 袁國軍, 施明華, 等.O-U過程下不確定執(zhí)行價格的亞式期權定價[J]. 合肥工業(yè)大學學報, 2010, 33(11): 1757-1760.

[6]胡之英. 股票價格服從廣義O-U過程且執(zhí)行價格不確定的期權定價鞅方法[J]. 云南師范大學學報, 2010, 30(3): 25-18.

[7]劉兆鵬, 劉剛. 基于O-U過程具有不確定執(zhí)行價格的期權保險精算定價[J]. 杭州師范大學學報, 2011, 4(7): 316-319.

[8]荊偉, 鄭曉陽. 指數(shù)O-U過程下具有不確定執(zhí)行價格的冪期權定價[J]. 荊楚理工學院學報, 2012, 9(9): 72-75.

[9]葉小凡. 非完備市場中基于均值回復的項目期權的消費效用無差別定價[J]. 系統(tǒng)工程, 2014, 32(4): 117-123.

European call option pricing model with the implementation of price uncertainty

ZHANG Yong-qiang

(School of Science, Xi'an Polytechnic University, Xi'an 710048, China)

Thispaperassumedtherisk-neutralconditions,usingactuarialmethodstostudytheimplementationofthepricethatthepricingissuefractionalBrownianmotiondrivenEuropeancalloption.TheEuropeancalloptionpricingformulaofuncertainexercisepricedrivenbyfractionalBrownianmotionwasobtained.

fractionalBrownianmotion;uncertainexerciseprice;optionpricing

2015-12-02.

張永強(1989-)，男，碩士，研究方向：金融數(shù)學.

F830

A

1672-0946(2016)04-0489-03