●鄭日鋒

(學(xué)軍中學(xué)　浙江杭州　310012)

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特色依然再現(xiàn)波瀾*

——2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題評析

●鄭日鋒

(學(xué)軍中學(xué)浙江杭州310012)

文章對2016年浙江省數(shù)學(xué)高考卷的特色進行評析，揭示高考試卷的命題規(guī)律，及命題發(fā)生的變化，分析試題對教學(xué)的導(dǎo)向，及對命題與教學(xué)中熱點問題的認識．

命題特色；高三教學(xué)；改編習題；思維能力.

2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題秉承了“起點低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的鮮明特色，穩(wěn)中求變，形式簡潔，立意高遠，注重本質(zhì)，充分考查了學(xué)生的核心素養(yǎng)，有利于高校選拔新生．然而，考后來自教師及考生的各種吐槽聲不絕于耳，再次引發(fā)了今后“教師該如何教”與“學(xué)生該如何學(xué)”的許多思考．筆者也對2016年的試題作了認真研究，現(xiàn)把一些感想與認識寫出來，與大家共同探討．

1　特色依然

試卷貫徹浙江省課改精神，依照省學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見、省考試說明，秉承了“起點低、坡度緩、層次多、區(qū)分好”的命題特色，貼近學(xué)生實際，突出對學(xué)生核心素養(yǎng)的考查，體現(xiàn)了較好的選拔功能．

1．1植根教材，突出主干

1.1.1植根教材

試題立足教材而不拘泥于教材，平和樸實，內(nèi)涵深刻，代數(shù)試題蘊含幾何背景，幾何試題滲透代數(shù)思想，如理科卷第1～5，7，9～13，16題以及第17，19題的第1)小題；文科卷第1，2，4，5，9～12題以及第17～20題的第1)小題都是基礎(chǔ)題，源于課本，或從課本中的例題、習題直接改編而來．全面覆蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的主干知識模塊，對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，既全面又突出重點，層次分明．

1.1.2和而不同

試題充分考慮文、理科學(xué)生在學(xué)習內(nèi)容、學(xué)習能力、學(xué)習遷移上的差異：完全相同的題目有3道，姐妹題有3道，完全不同的題目有14道．理科卷側(cè)重理性思維和抽象概括，文科卷側(cè)重形象思維和定量處理．

例1在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知b+c=2acosB.

1)證明：A=2B.

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題第16題)

本題考查正弦定理、余弦定理及三角恒等變形等基礎(chǔ)知識及轉(zhuǎn)化能力，理科第2)小題考查方程思想及分類討論思想，而文科只需利用第1)小題的結(jié)論，化未知為已知，利用和角、二倍角公式便可解決．

1.2推陳出新，通性通法

1.2.1推陳出新

試卷中許多問題是將熟悉的問題進行改編而成的，看似平淡，仔細品味發(fā)現(xiàn)這些試題不落俗套，給人以耳目一新之感，能較好區(qū)分學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基本知識、基本方法的情況．

例2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*.

1)求通項公式an；

2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第17題)

本題第1)小題，已知數(shù)列的和Sn與項an+1的關(guān)系式，求通項公式，是學(xué)生熟悉的問題，對于基礎(chǔ)扎實的學(xué)生來說容易解決；第2)小題把學(xué)生熟悉的問題：把求同時存在正項、負項的等差數(shù)列的絕對值組成數(shù)列的前n項和，改為求|3n-1-n-2|的前n項和，解題方法完全相同．

類似的還有理科卷第3，5題，文科卷第4，13題．

1.2.2規(guī)避題海

檢測學(xué)生在新穎問題背景中解決問題的能力及遷移能力，試卷在規(guī)避題海上下足了功夫，解決這些試題需要有較好的觀察能力、推理論證能力、轉(zhuǎn)化能力，很好地體現(xiàn)了以能力立意的高考試題的特點．

如理科卷第17題和文科卷第18題，以三棱臺為載體考查學(xué)生的空間想象能力、空間位置關(guān)系的論證及空間角的計算，而往年考的幾何體為棱柱與棱錐，平常學(xué)生做的題也很少觸及棱臺，其實將三棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，便得到三棱錐，問題可轉(zhuǎn)化為三棱錐問題．

此外還有理科卷第19題的第2)小題．

1.3背景新穎,注重本質(zhì)

1.3.1蘊含模型

依據(jù)數(shù)學(xué)模型設(shè)置問題，若能發(fā)現(xiàn)其蘊含在問題中的模型(背景)，則可以較快地解決問題，這類題目考查學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，有利于區(qū)分程度不同的學(xué)生的數(shù)學(xué)思維．

例3如圖1，在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD=DA,PB=BA，則四面體PBCD體積的最大值是______．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

本題實質(zhì)為:在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°．D為線段AC上的點，沿直線BD將△ABD翻折成△PBD，則四面體PBCD體積的最大值是______．

圖1 圖2

如圖2，先固定點D，則△BCD的面積為定值，當平面PBD⊥平面BCD時，四面體PBCD的體積最大,此時過點A作AH⊥BD于點H,則PH⊥BD,從而PH⊥平面BCD,于是

從而

本題將翻折(數(shù)學(xué)模型)隱藏起來，若能發(fā)現(xiàn)本題實為翻折問題，則迎刃而解，需要考生具有模型化思想，且具備深刻的洞察能力．

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第14題)

圖3 圖4

本題將模型——“圓臺”隱藏起來，這是一個動態(tài)的立體幾何最值問題，解題時從動點軌跡的視角不難發(fā)現(xiàn)圓臺，從而將復(fù)雜的問題變得簡單．

1.3.2玩味概念

彰顯“數(shù)學(xué)在根本上是玩概念而不是玩技巧的”，設(shè)計試題檢測對高中數(shù)學(xué)概念的理解與掌握程度，或設(shè)計閱讀理解問題，檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)理解的水平，考查學(xué)生未來發(fā)展所需的能力．

圖5

例5如圖5，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的2條邊上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*;|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(其中P≠Q(mào)表示點P與Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積，則

()

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考試題理科第6題、文科第8題)

方法1(利用特殊化思想)將隱去的銳角顯現(xiàn)，設(shè)頂點為O,由已知得{|OAn|}，{|OBn|}都成等差數(shù)列，取銳角為60°，則|OA1|=1,|A1A2|=2,|OB1|=2,|B1B2|=1,從而

故選A.

方法2(直接利用等差數(shù)列的性質(zhì))將隱去的銳角顯現(xiàn)，設(shè)頂點為O,由已知得{|OAn|}，{|OBn|}都成等差數(shù)列.設(shè)銳角大小為θ，過點An作AnHn⊥BnBn+1于點Hn，則

|AnHn|=|OAn|sinθ,

從而

因此{Sn}是等差數(shù)列.故選A.

這是一道閱讀理解題，問題中給出2個點列，分別在銳角的2條邊上，探索2個點列的性質(zhì).本題僅研究距離與面積數(shù)列的性質(zhì)，需要考生在錯綜復(fù)雜的圖形中，觀察、分析、歸納、概括、驗證.這樣的考題真正考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的分析和理解能力，也說明了命題者匠心獨運的價值取向．

類似的題目還有文科卷第7題．

1.3.3渾然天成

高度的抽象性、思維的靈活性和應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點．試卷不乏具有問題的綜合性、思辨的邏輯性、解法的多樣性等特點的試題．試題分步設(shè)問，讓學(xué)生有“欲罷不能”之感，試題呈現(xiàn)“入手容易、階梯遞進、拾級而上”的特點，可謂渾然天成！入口容易，然而要順利解答需要深厚的基本功，要深入徹底地解決問題還需要有靈活的運算和思維能力、扎實的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及戰(zhàn)勝困難的勇氣.

1)證明：|an|≥2n-1(|a1|-2)；

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

此題是數(shù)列不等式問題，給出數(shù)列的遞推不等式，研究數(shù)列的項的估計問題．

第1)小題的2種解法如下：

思路利用實數(shù)三角不等式，再利用累加法、放縮法.

|an+1|≥2|an|-2，

即

故

|an|≥2n-1(|a1|-2).

|an+1|≥2|an|-2，

即

|an+1|-2≥2(|an|-2),

從而|an|-2≥2(|an-1|-2)≥

22(|an-2|-2)≥…≥

2n-1(|a1|-2),

故|an|≥2n-1(|a1|-2)+2>2n-1(|a1|-2),

于是

|an|≥2n-1(|a1|-2).

第2)小題的證明如下：

證明(反證法)假設(shè)存在正整數(shù)k，使|ak|>2，同第1)小題可得，當n≥k時，

|an|≥2n-k(|ak|-2).

即

本題考查學(xué)生的觀察、歸納、化歸、綜合運用知識解決問題的能力及良好的思維品質(zhì)，解題的過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美，結(jié)果體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的奇異美，突出了試題的文化價值．

此外還有理科卷第8，15題、文科卷第15，20題．

2　再現(xiàn)波瀾

整份試卷貫穿雙基，立足通性通法的考查，考活題，重本質(zhì)，以此來甄別學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，再一次給人以“做題不在多，有法則行”的感覺．數(shù)學(xué)科目高考剛結(jié)束，考生的神情凝重，一時輿論嘩然，許多學(xué)生說高三一年的復(fù)習幾乎沒提高自己的數(shù)學(xué)水平，許多高三數(shù)學(xué)教師在網(wǎng)絡(luò)上吐槽，高考試卷這么難，今后怎么教學(xué)，將矛頭指向命題教師．對高考應(yīng)怎么考？怎么教學(xué)？再次引發(fā)了大討論，以下談?wù)劰P者的一些認識．

2.1我們需要怎樣的高考試卷

高考要為高校選拔新生，又要為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起良好導(dǎo)向作用，這是大家的共識．浙江省近幾年的數(shù)學(xué)命題設(shè)計盡可能地從數(shù)學(xué)問題或幾何背景出發(fā)，構(gòu)造出素材樸實、內(nèi)蘊豐富的試題，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在實質(zhì)，堅持出基礎(chǔ)題，又出活題，突出對學(xué)生能力的考查．當下絕大部分學(xué)校高三在周六、寒暑假補課，節(jié)假日上課，不惜以犧牲學(xué)生與教師的休息時間為代價，這些學(xué)校的學(xué)生假如提前1年參加高考考出的分數(shù)比現(xiàn)在考出的分數(shù)低得很有限，可見我們的高三復(fù)習代價太高，而且以犧牲學(xué)生的興趣為代價，導(dǎo)致許多學(xué)生喪失了學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣．如果數(shù)學(xué)高考試題都出一些常規(guī)題，加班加點的學(xué)校會占較大便宜(大前提是有部分學(xué)校抓得不緊)，那樣會更嚴重地破壞學(xué)校教學(xué)的生態(tài)，此外選拔功能該如何體現(xiàn)，也是一個大問題．客觀地說，這幾年浙江卷的難度是大了些，超出了中、下學(xué)生的能力范圍，如果難度適當降低，并秉承出新題重本質(zhì)的特色，再增加一些應(yīng)用性問題，借鑒國外的考試內(nèi)容，將會更好．

2．2我們的教學(xué)該怎樣定位

我們的教學(xué)需要合理定位，應(yīng)該清楚并不是所有的學(xué)生在高考中都可以拿高分，讓不同的學(xué)生學(xué)不同的數(shù)學(xué)，并期待在高考中取得屬于他們的理想成績，這才是我們的教學(xué)目標．基于此認識，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)充分認識到學(xué)生的數(shù)學(xué)水平是有差異的，合理確定每一位學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習要求與高考定位．

2.3我們需要怎樣的高三數(shù)學(xué)教學(xué)

近年來，許多教師逐漸認識到如果不改變教學(xué)策略，必然難以適應(yīng)高考．高考剛結(jié)束，教師都有陣痛，不久又“我行我素”．許多高三數(shù)學(xué)課堂“應(yīng)試味”越來越濃，失去了“本真”的數(shù)學(xué)課堂，課堂上“滿堂灌”，課外“大運動量的訓(xùn)練”，把學(xué)生培養(yǎng)成“解題的機器”.這種快節(jié)奏的教學(xué)，必然導(dǎo)致學(xué)生的思考力不斷地下降，自然不能適應(yīng)以能力立意的高考．

在平時的教學(xué)中，要立足于教材，重視教材的使用.精選習題，注重通性通法、突出思維能力和運算能力的培養(yǎng)，讓教學(xué)節(jié)奏“慢下來”，教學(xué)生會思考，鍛煉學(xué)生良好的思維品質(zhì)．

加強數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的聯(lián)系，突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注概念的理解和運用，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).為此,教學(xué)中應(yīng)做到“三性”，即對知識理解的深刻性、掌握的全面性、運用的靈活性，以促使學(xué)生形成綜合性的知識體系.

有意識地選擇一些有多種方法的典型問題，啟發(fā)學(xué)生從多角度思考，比較方法的繁簡．此外,許多數(shù)學(xué)問題的方法不是唯一的，有些方法教師一時也想不到.教師要營造課堂氛圍，給學(xué)生思考問題的時間與空間，放下架子，傾聽學(xué)生的一些想法，引導(dǎo)學(xué)生選擇不同的方法解決問題，在方法的比較中領(lǐng)悟各種方法的本質(zhì)及適用的情境，從而突破瓶頸，以不變應(yīng)萬變．

期望學(xué)生在高考考場上能夠解決新穎問題，關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會思考．許多新穎問題看似復(fù)雜，但它們大多與熟知的問題有著內(nèi)在的聯(lián)系,并具有相同或相似的數(shù)學(xué)模型．在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會提煉數(shù)學(xué)模型，并運用數(shù)學(xué)模型解決問題，使復(fù)雜問題簡單化.這既有利于培養(yǎng)學(xué)生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的分析問題能力，又可以開拓學(xué)生的思維空間，提高解決問題的能力．培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，積累必要的數(shù)學(xué)模型，對幫助學(xué)生解決新穎問題大有裨益．

在教學(xué)中引入條件或結(jié)論具有開放性的問題和某些從實際生活中提出的需要探求答案的問題，或者對課堂上的某些問題適當加以延伸、推廣等，并引導(dǎo)學(xué)生加以解決，這會使課堂教學(xué)充滿生機和活力，有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

*收文日期：2016-06-09；2016-07-09

鄭日鋒(1962-)，男，浙江瑞安人，浙江省特級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)08-32-05