● 岳　峻

(太和中學(xué)　安徽阜陽　236600)

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2016年數(shù)學(xué)高考全國卷理科第20題的探究*

● 岳峻

(太和中學(xué)安徽阜陽236600)

2016年數(shù)學(xué)高考全國卷理科第20題,立意深刻、內(nèi)蘊(yùn)厚重，通過多維探究，挖掘其背景，得到圓錐曲線焦點(diǎn)弦的長度表達(dá)式，進(jìn)而探究圓錐曲線垂直焦點(diǎn)弦的長度的最值與定值，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)．

圓錐曲線；焦點(diǎn)弦；長度；垂直；探究

1　考題再現(xiàn)

例1設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交⊙A于點(diǎn)C，D，過點(diǎn)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

1)證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；

2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，交直線l于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)B且與l垂直的直線與⊙A交于點(diǎn)P，Q，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

(2016年數(shù)學(xué)高考全國卷理科試題第20題)

數(shù)學(xué)高考試題年年歲歲題相似，歲歲年年意不同．高考試題是命題者精心設(shè)計(jì)、匠心獨(dú)運(yùn)的成果，往往都蘊(yùn)含著深厚的背景、豐富的數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)思想．許多高考真題看似平淡無奇，其實(shí)是呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔、極富韻味的好題，值得我們細(xì)細(xì)品味．高三復(fù)習(xí)教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把特殊問題納入更一般的范圍，從特殊推廣到一般，揭示事物的普遍規(guī)律，促使學(xué)生從會(huì)解一道題到會(huì)解一類題，由低層次到高層次，把數(shù)學(xué)思維提高到由例及類的層次，加速數(shù)學(xué)思維的優(yōu)化．

2　第2)小題的探究

圖1

從而

(3m2+4)y2+6my-9=0，

又圓心A到PQ的距離為

從而

于是四邊形MPNQ的面積為

解法2設(shè)∠MBA=θ(其中θ∈(0,π))，則在△MAB中應(yīng)用余弦定理，得

|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB|·|AB|cosθ.

由|MB|+|MB|=4,|AB|=2,知

同理可得

從而

ysinθ-xcosθ+cosθ=0，

從而圓心A到直線PQ的距離d=|2cosθ|，于是

于是四邊形MPNQ的面積為

3　圓錐曲線焦點(diǎn)弦的長度探究

《論語》曰：“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也．”身為一線教師，我們應(yīng)堅(jiān)持以學(xué)生為本、落實(shí)新課標(biāo)精神，經(jīng)常選取一些呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔、意境幽深、極富韻味的高考真題，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，而且還要在多維剖析試題的基礎(chǔ)上，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，加以引伸、拓寬、變化，引導(dǎo)學(xué)生從形式的“變”發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的“不變”，從本質(zhì)的“不變”探索形式的“變”的規(guī)律，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)[1]．

分析設(shè)直線l的方程為x=my+c，則m=cotθ,聯(lián)立

得

(m2b2+a2)y2+2mcb2y-b4=0,

若直線l的方程為y=0，則θ=0,于是

依然成立．

同理，對(duì)橢圓的左焦點(diǎn)進(jìn)行類似地研究，可以得到：

探究2橢圓的焦點(diǎn)弦的這個(gè)結(jié)論是否適用于雙曲線呢？如果不適用，又會(huì)有怎樣的結(jié)論呢？

得

(m2b2-a2)y2+2mcb2y+b4=0,

從而

若直線l的方程為y=0，則θ=0,從而

依然成立．

探究3拋物線的焦點(diǎn)弦呢？同理可得拋物線的類似性質(zhì)：

4　圓錐曲線垂直的焦點(diǎn)弦長度探究

探究4拋物線C:y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作2條相互垂直的直線l,m分別與橢圓C交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)D,E.設(shè)直線l的傾斜角為θ，則

從而

故

定理4拋物線C:y2=2px(其中p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作2條相互垂直的直線l,m分別與橢圓C交于點(diǎn)A,B和點(diǎn)D,E.設(shè)直線l的傾斜角為θ，則

1)當(dāng)(b2-a2k2)(b2k2-a2)>0時(shí)，

2)當(dāng)(b2-a2k2)(b2k2-a2)<0時(shí)，

5　同源試題鏈接

例2設(shè)F是拋物線G:x2=4y的焦點(diǎn).

1)過點(diǎn)P(0,-4)作拋物線G的切線，求切線方程；

(2007年安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題)

1)求橢圓C的方程；

3)過點(diǎn)F1(-2,0)作2條互相垂直的直線分別交橢圓C于點(diǎn)A,B和點(diǎn)D,E，求|AB|+|DE|的最小值．

(2008年安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題)

例4已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)和直線x=-1的距離相等，記點(diǎn)M的軌跡為C．

1)求軌跡C的方程；

(2014年福建省泉州市質(zhì)檢考試數(shù)學(xué)試題)

6　探究感悟

對(duì)于起到壓軸作用的解答題，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)相關(guān)處理策略，力爭(zhēng)化大為小、化難為易、化繁為簡(jiǎn)，把一道難題分解為若干個(gè)小題，或分解為若干步完成，或即使不能完整做出，也能“掙”到部分分?jǐn)?shù)，分層出擊，各個(gè)擊破，使學(xué)生的實(shí)際水平得以充分發(fā)揮．

為此，在平時(shí)的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要有意識(shí)地挖掘高考試題的背景信息，力促高考真題的引領(lǐng)活力，展現(xiàn)真題功能，挖掘真題潛能．教師要以學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律的角度，注重由淺及深，展開變式，引領(lǐng)學(xué)生在其思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”遞進(jìn)式地探索，關(guān)注解題后的對(duì)問題本質(zhì)的透視，真正做到“悟其必然，品其真味”，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)[2]，提升解題的驅(qū)動(dòng)力和數(shù)學(xué)的學(xué)科素養(yǎng)．這就是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之所在．

[1]岳峻.提升數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2015(12):94-96.

[2]岳峻.透析考題信息提升解題驅(qū)動(dòng)力——賞析2015年湖北卷21題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(8):30-32.

*收文日期：2016-06-11；2016-07-05

岳峻(1968-)，男，安徽阜陽人，中學(xué)高級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2016)08-44-04