●蔣　茵

(臺(tái)州市第一中學(xué)　浙江臺(tái)州　318000)

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學(xué)生自主編題教學(xué)探索*

——以高三平面向量復(fù)習(xí)為例

●蔣茵

(臺(tái)州市第一中學(xué)浙江臺(tái)州318000)

“學(xué)生自主編題”是一種新型的教學(xué)方式，能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，提高創(chuàng)新意識(shí)和能力.文章通過一個(gè)高三復(fù)習(xí)課教學(xué)案例，展示了“教師示范引領(lǐng)、學(xué)生自主編題”在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的實(shí)際操作過程，并從中得到一些教學(xué)感悟和反思.

自主編題;題根;創(chuàng)新意識(shí);數(shù)學(xué)思維;平面向量

普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí).”[1]而“學(xué)生自主編題”是筆者近來嘗試進(jìn)行的一種新型高三復(fù)習(xí)課教學(xué)方式,通過“教師示范引領(lǐng)、學(xué)生自主編題”，使學(xué)生成為課堂主體，有效激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)化數(shù)學(xué)思維，建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高創(chuàng)新意識(shí)和能力.近日，在“浙江省臺(tái)州市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討會(huì)”上,筆者有幸開設(shè)了一堂公開課“平面向量兼兩性，形來數(shù)往總相宜”,對(duì)“學(xué)生自主編題”教學(xué)方式有了更深刻的理解和感悟，現(xiàn)記錄如下,與同行分享.

1　“學(xué)生自主編題”課實(shí)錄

1.1剖析題根，揭示本質(zhì)

(2015年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第13題)

設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)平面向量題根問題的解決,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解決問題的3種基本方法,引領(lǐng)學(xué)生強(qiáng)化認(rèn)識(shí)向量數(shù)與形的兩面性,既是數(shù)的運(yùn)算,也是“圖形”的運(yùn)算,而向量的代數(shù)運(yùn)算也并非只為坐標(biāo)運(yùn)算,揭示“基底法”和“坐標(biāo)法”在本質(zhì)上是一致的,提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

(教師讓學(xué)生思考片刻后回答.)

生1：坐標(biāo)法.以e1的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、e1所在的直線為x軸建立坐標(biāo)系,則

設(shè)b=(x,y),則

從而

于是

師：很好！你是怎么想到用坐標(biāo)法解決問題的？

生1：向量可以用坐標(biāo)表示,而且此題涉及向量的數(shù)量積和模,因此可以通過代數(shù)運(yùn)算來解決.

師：向量的代數(shù)運(yùn)算除了坐標(biāo)法,還有其他方法嗎？

生2：基底法.設(shè)b=xe1+ye2,則

從而

于是

師：很棒！坐標(biāo)法與基底法有聯(lián)系嗎？

生2：有,它們都屬于代數(shù)法.坐標(biāo)法選取了x軸和y軸正方向上的單位向量作為基底,因此它是一種特殊的基底法.

師：非常好！能否再?gòu)钠渌嵌冉鉀Q本題？

圖1

師：非常精彩！你是怎么想到用幾何法的？

生3：因?yàn)槠矫嫦蛄坑袔缀伪硎?所以向量的數(shù)量積也有幾何意義.

師：那你有沒有想過用代數(shù)法呢？

生3：想過.

師：生1,你有沒有想過用幾何法呢？

生1：沒有.

師：想過也好，沒想過也好，通過大家的補(bǔ)充,我們認(rèn)識(shí)到解決平面向量的基本方法有哪些？

生(齊聲回答)：1)坐標(biāo)法；2)基底法；3)利用幾何意義求解.

師：這些方法是基于對(duì)向量的理解,因?yàn)橄蛄考瘮?shù)與形于一身,所以向量既有代數(shù)法,也有幾何法.后面我們還會(huì)學(xué)到向量可以作為一種工具,把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題,把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題.今天我們這節(jié)課的主題是：平面向量兼兩性,形來數(shù)往總相宜.

1.2合作編題，滲透思想

師：下面我們改變題目條件,進(jìn)行編題.

(教師示范,出示編題1.)

編題1去掉b·e2=1,求|b|的最小值.

生4：同生1得b·e1=x=1,從而

故當(dāng)y=0時(shí),|b|min=1.

師：很好！生4和生5分別用2種方法解決了問題,你可以編出類似的變式問題嗎？

(學(xué)生分組思考與討論,給出下列編題.)

生6(組1)：我們考慮的問題是：

編題2b·e1=b·e2=1改為b·e1=b·e2,求|b|的取值范圍.

生7(組2)：我們這樣思考：

圖2

生8(組3)：我們的題目是：

故

師：3個(gè)小組的代表改變題目條件及結(jié)論給出了3個(gè)精彩的編題,并用幾何法較好地解決了問題.而且我們發(fā)現(xiàn),在改變符號(hào)語言描述的條件時(shí),對(duì)應(yīng)的圖形也相應(yīng)發(fā)生了改變,你還能編出其他問題嗎?

圖3

生9(組4)：可以，改變圖形.如圖3,我們把向量b的終點(diǎn)C在直線l1上運(yùn)動(dòng)改為在直線AB上運(yùn)動(dòng).

師：那你能否用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來描述？

生9思考片刻得到編題5：

由圖3知：當(dāng)OC⊥AB時(shí),

師：這位同學(xué)由“形”編出的題非常漂亮！能否再由“數(shù)”解題？

生10(組5)：我們也可以把向量b的起點(diǎn)放在點(diǎn)A,終點(diǎn)C在直線OB上運(yùn)動(dòng)，得到如下新問題：

由圖4知：當(dāng)AC⊥OB時(shí),

師：點(diǎn)C除了在直線上運(yùn)動(dòng),還可以在哪里運(yùn)動(dòng)？其他組能否繼續(xù)編出新問題？

圖4　　　　　　　　　　圖5

生11(組6)：我覺得還可以在圓上運(yùn)動(dòng),如圖5,點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，但我不知如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語言描述？

師：沒關(guān)系,我們可以留作課后思考.你繼續(xù)思考如何描述題目,再讓其他組員來解答.

師：如果再想下去,能否讓點(diǎn)C在平面上任意動(dòng),此時(shí)又該求什么？

(學(xué)生編題出現(xiàn)困難,教師出示高考題讓學(xué)生思考.)

師：我們來看看高考命題者是怎樣編題的.

設(shè)計(jì)意圖倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的學(xué)習(xí)方式,通過教師示范編題和引導(dǎo)學(xué)生自主編題讓學(xué)生體會(huì)到由“形”編題,由“數(shù)”解題,由此把眾多的知識(shí)串聯(lián)起來,形成有機(jī)聯(lián)系的整體的過程.強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的聯(lián)系性,突出知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)新性,同時(shí)為順利過渡到如下的高考題作好鋪墊.

1.3綜合應(yīng)用，深化理解

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題第17題)

設(shè)計(jì)意圖通過高考題為載體內(nèi)化知識(shí),進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.教師要引導(dǎo)學(xué)生看到向量問題與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，通過先解題再分析揣摩命題者編題的思維與意圖，從而提高學(xué)生的編題、解題能力及優(yōu)化學(xué)生的思維.

生12：因?yàn)閨b|2=x2+y2+2xye1·e2=x2+y2+xy(其中x,y不全為0),所以

生13：由圖6得

圖6

師:同學(xué)們,剛才我們用代數(shù)法和幾何法解決了例2,你認(rèn)為高考命題教師是怎么編出例2的?由“數(shù)”編得,還是由“形”編得?

生14:由“形”編得,再將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,于是解決此問題就能數(shù)形結(jié)合了.

師:非常精彩!同學(xué)們都會(huì)分析揣摩出命題者的思維和意圖,那么解題就顯得輕而易舉了.

2　對(duì)“學(xué)生自主編題”教學(xué)的反思

2.1在組織學(xué)生自主編題前，教師要給出題根,先行示范引導(dǎo)

在組織學(xué)生編題前,教師要考慮2個(gè)方面問題：一是如何選好題根；二是考慮如何示范引導(dǎo).

題有千變,貴在有根.何為題根？題根是一道題,而且是具有“生長(zhǎng)性”的好題,在它的基礎(chǔ)上,數(shù)學(xué)人不僅能“看”出它的精髓,釋放出它的價(jià)值,而且以它為“根”,可以“長(zhǎng)”出很多好題[2].本課選擇高考試題作為根題,一方面認(rèn)為平面向量問題向2個(gè)基向量尋根，而且充分揭示高考平面向量題考查的重點(diǎn)知識(shí)為平面向量數(shù)量積,核心思想方法為數(shù)形結(jié)合,讓學(xué)生從中領(lǐng)悟向量集數(shù)與形于一身,向量運(yùn)算既是數(shù)的運(yùn)算,也是“圖形”的運(yùn)算；另一方面以此題根為模型編擬出相關(guān)聯(lián)的題目,使學(xué)生觸類旁通,舉一反三,掌握編擬與處理該類問題的方法與技巧,這樣的題根選擇具有基礎(chǔ)性、典型性和輻射性.

學(xué)生自主編題教學(xué)方式看似學(xué)生是主角，教師是配角,但教師的示范引導(dǎo)非常重要.首先教師要示范編題的方法，其中包括變條件、變條件和結(jié)論、變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)、變背景等等.如本課教師先改變題目條件給出編題1,再要求學(xué)生自主編題.其中有3組學(xué)生就能迅速模仿,其中2組去掉一個(gè)條件給出編題2、編題3,另一組改動(dòng)數(shù)據(jù)給出編題4,屬于低層次編題.當(dāng)學(xué)生有了模仿編題的經(jīng)驗(yàn)后,再引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次編擬題目,編題5～7是教師引導(dǎo)學(xué)生將問題進(jìn)行拓展，遷移到其他背景進(jìn)行編擬的結(jié)果，屬于高層次編題.與此同時(shí)，本課中教師通過引導(dǎo)讓學(xué)生逐漸認(rèn)識(shí)到向量題的編擬往往還是由“形”出發(fā).其次教師還要在課前對(duì)學(xué)生可能編擬出的問題作好充分的預(yù)設(shè),才能在課堂上及時(shí)把握住生成問題,做到胸有成竹,應(yīng)對(duì)自如.

2.2在組織學(xué)生自主編題時(shí)，教師要給予學(xué)生充分的時(shí)間與空間,注重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

首先,教師要給足學(xué)生一定的時(shí)間進(jìn)行思考,組織學(xué)生以小組合作的方式進(jìn)行編題,這樣不僅讓每個(gè)學(xué)生都可以根據(jù)自己理解的層次,編擬出與其知識(shí)、能力及個(gè)性相符的問題與解答,而且還可以增進(jìn)教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的交流,在此過程中師生集思廣益,共同進(jìn)步.如本課學(xué)生先通過小組內(nèi)部激烈討論后,再在課堂中進(jìn)行小組編題成果的匯報(bào),教師的示范編題給了組1～3不少提示,而組4的編題也提示了組5和組6.為了使課堂中有更多的編題時(shí)間,可以將題根問題的解決提至課前,課中直接交流解法.

其次,教師要逐步拓展學(xué)生的編題空間,既然向量題的解題離不開數(shù)和形,那么向量題的編題也離不開這2個(gè)角度.由“形”編題過程中,從知識(shí)結(jié)構(gòu)角度,點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)可以拓展為點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步拓展為點(diǎn)在平面上任意動(dòng)等等.通過拓展編題空間,促使學(xué)生在編題過程中把與題根問題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)理解掌握得更準(zhǔn)、更全、更深、更透.

再次,數(shù)學(xué)是一種思維活動(dòng),因此在編題過程中,不僅要關(guān)注知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)結(jié)構(gòu),還要突出知識(shí)背后的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生思維的開放性、靈活性與深刻性.本節(jié)課教師通過“請(qǐng)問你是怎么想到用坐標(biāo)法解決問題的？你又是怎么想到幾何法的？在改變符號(hào)語言描述的條件時(shí),對(duì)應(yīng)的圖形也相應(yīng)發(fā)生了改變,你還能編出其他問題嗎？”等問題,引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到向量題的解法和編擬不是憑空產(chǎn)生的,其中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想等,從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)散拓展.

2.3在組織學(xué)生自主編題過程中，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

教育家陶行知說過：“人生兩大寶,雙手和大腦.”動(dòng)手、動(dòng)腦是學(xué)生在主體活動(dòng)中培養(yǎng)創(chuàng)新能力的有效方法,而“鼓勵(lì)學(xué)生自己編題”恰恰體現(xiàn)在學(xué)生的動(dòng)手動(dòng)腦上[3].本課學(xué)生在編題環(huán)節(jié)中都積極地投身于自覺動(dòng)腦和動(dòng)手活動(dòng)之中,而且編出了不少創(chuàng)新性好題,如編題4,組3在前2組學(xué)生的基礎(chǔ)上有所創(chuàng)新,對(duì)條件的改變不僅可以刪除條件,而且可以改動(dòng)數(shù)據(jù),并且還可以對(duì)結(jié)論加以改變,由求向量的模改為求2個(gè)向量的夾角(求模和求角正是平面向量的2個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)).更讓人欣喜的是,這道編題恰好是2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷的空間向量題的改編(將空間向量平面化).通過編題,讓學(xué)生佩服自己不僅能解高考題,而且也能改編高考題,自己編出來的題與另一道高考題也是如出一轍,進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)自信.此外,通過學(xué)生的課堂總結(jié)：“我覺得向量題一般由‘形’編得,再將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,而解決向量題可以從‘?dāng)?shù)’和‘形’2個(gè)角度去思考.”讓筆者意識(shí)到通過學(xué)生自主編題教學(xué)，使學(xué)生對(duì)問題的本質(zhì)理解、思想方法的運(yùn)用上升一定高度，能有效地激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和增強(qiáng)探知未知世界的欲望.

從本次“學(xué)生自主編題”教學(xué)實(shí)踐看,盡管筆者獲得了成功，但仍有一些不足之處：一是學(xué)生編題難度大，對(duì)于文科學(xué)生來說，創(chuàng)新編題難度系數(shù)偏低,課堂上出現(xiàn)不少編題困難,有幾何編題無法轉(zhuǎn)為符號(hào)語言描述的,也有條件更加開放,結(jié)論無從編起的；二是編題深度不夠，“學(xué)生自主編題”具有開放性、靈活性等特點(diǎn)，但課堂時(shí)間有限，題目類型不夠豐富，缺乏深刻性；三是學(xué)生編題前教師的示范引領(lǐng)不到位.比如：圖1中的點(diǎn)是定點(diǎn)，如果動(dòng)起來呢？在哪里動(dòng)？此時(shí)又該求什么？這些問題幫助學(xué)生從一開始就認(rèn)識(shí)到向量題編題由“形”出發(fā)，能為學(xué)生接下來的編題作好有效鋪墊.

筆者堅(jiān)信：會(huì)解題的人不一定會(huì)編題,會(huì)編題的人一定會(huì)解題，因此“學(xué)生自主編題”的教學(xué)方式也一定會(huì)給教師和學(xué)生帶來新的收獲.

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2003版)[M].北京：人民教育出版社，2013.

[2]陳忠懷.題根：高中數(shù)學(xué)[M].1版.太原：山西教育出版社，2015.

[3]俞昕.例談學(xué)生自主編題探究活動(dòng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2016(1)：31-33.

*收文日期：2016-04-13；2016-05-20

蔣茵(1981-)女，浙江臺(tái)州人，中學(xué)一級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2016)08-22-05