格點法模擬靜電場電勢分布

牛英煜，王　榮

(大連交通大學,遼寧 大連　116028)

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格點法模擬靜電場電勢分布

牛英煜，王榮

(大連交通大學,遼寧 大連116028)

利用格點法模擬靜電場在二維平面內的電勢分布.具體描繪了點-點、點-線、線-線，以及同心圓環(huán)的靜電場等勢線分布情況，并與理論計算結果進行比較。同時還分析了同心圓環(huán)產生的電勢與同軸圓柱面產生的電勢的區(qū)別。

格點法； 電勢； 點電荷； 線狀電荷

電荷產生的靜電場及電勢分布是大學物理的基礎內容。但由于靜電場分布無法直接探測，因此實驗上常用穩(wěn)恒電流場來模擬描繪靜電場電勢分布。理論上，通常利用場強計算公式，通過積分求得電場解析式，利用該解析式描繪靜電場分布[1，2]。

格點法是根據一定的數值方法，將連續(xù)的空間離散成有限的單元。該方法被廣泛地用于力學、原子與分子物理、化學物理等方面[3，4]。本文利用格點法，將二維平面等間隔離散為10 000個點，利用公式

(1)

計算出每個點電荷在各格點產生的電勢，再利用電勢疊加原理，將各點電荷產生的電勢疊加，從而得到各格點的電勢分布。最后利用Origin軟件，等間隔畫出等勢線。由于等勢線的疏密與電場強度相關，因此根據等勢線分布還能反映出場強分布情況。

1　點電荷電勢分布

圖1為利用格點法，并借助Origin作圖軟件描繪的點電荷電勢分布圖。圖中的“+”號與“-”號分別代表點電荷的正負，每個點電荷所帶電量都相同。從圖1中可以看出，由于每兩條鄰近等勢線間的電勢差都是相等的，所以越靠近點電荷處，電勢線分布越密。對于緊鄰點電荷附近處的各格點，由于其位置與點電荷距離較小(r→0)，這些格點位置所對應的電勢遠大于離點電荷相對較遠的其它格點的電勢。

圖1　點電荷等勢線分布

因此緊鄰點電荷附近處的電勢線非常密集，電勢線分布無法區(qū)分。本文沒有描繪出緊鄰點電荷附近的電勢線分布。

圖1分別描繪了2、4、5、8個點電荷的電勢線分布情況。圖1(c)中，當四個點電荷為“+-+-”分布時，雖然正電荷與負電荷產生的電勢正負不同，但各點電荷產生的等勢線形狀相同，并呈對稱分布。圖1(d)中，當四個點電荷為“--++”分布時，兩個正電荷與兩個負電荷產生的電勢線分為上下兩個圖形，每個圖形的形狀都與圖1(b)相似；上下兩個圖形呈對稱分布，其對稱形狀與圖1(a)相似。也就是說，圖1(d)同時具有圖1(a)與圖1(b)的特點。當五個點電荷呈直線分布時，其產生的等勢線與圖2中的直線電荷分布相似。當八個點電荷呈環(huán)狀分布時，其圓環(huán)內可產生閉合的八邊形及圓形等勢線，其分布與圖4中的環(huán)狀分布相似。從圖1(e)與1(f)可以看出，當點電荷分布較密時，其產生的等勢線與線狀電荷相似，當密度足夠大時，即可產生與線狀電荷相同的等勢線。利用此方法來描繪線狀電荷分布。

2　點-線與線-線電荷等勢線分布

為了描繪線狀電荷分布，我們將線電荷上的點離散為等距離的點電荷，再用格點法算出各格點的電勢。表格1為直線形狀分布的電荷離散為密度不同的點時，格點法算出的電荷周圍各點的電勢。

表1　直線形狀電荷電勢計算結果

表格1中，直線形狀電荷長度為10米，其所帶電量為10-9庫侖。U1、U2與U3分別為距離直線中間與兩端點4米處的電勢值(如圖2所示)，計算中取無窮遠為電勢零點。此三點的理論公式為[5]。

(2)

(3)

(4)

從計算結果可以看出，當直線上的電荷離散的點數越多，其計算結果與理論值越接近。當散離點數為1萬個點與10萬個點時，計算結果完全相同，同時與理論結果也一致。從表格1可以看出，線狀電荷電勢隨離散點數的增加，計算結果的準確度也增加。當離散的點數增加，而計算結果不變時，表明此離散點數的計算結果即為準確值。

圖2　直線形電荷等勢線分布

圖2中的等勢線為線狀電荷離散為1萬個點時，格點法計算的結果。從圖中可以看出，直線形電荷，在電荷附近處，直線兩端處的等勢線間距較小，分布較密，表明此處的場強較強。直線中間對應的等勢線間距較大，分布較疏。離直線較遠處，等勢線趨于同心圓。

圖3為利用格點法描繪的點-線與線-線電荷等勢線分布情況圖。其中，線電荷離散為1萬個點電荷。圖中的點與線所帶電量相同。圖3(a)中，受負點電荷影響，其對應的正直線形狀電荷附近的等勢線呈現中間細，兩邊粗的啞鈴形狀。圖3(b)中，受正點電荷的影響，正直線形狀電荷附近,

圖3　點-線與線-線電荷等勢分布

部分等勢線出現小幅震蕩。圖3(c)與(d)的等勢線分布情況與圖1(a)與(b)中的點電荷等勢線分布情況相似。

3　同心圓環(huán)形狀電荷等勢線分布

大學物理實驗中，常用兩同心圓環(huán)間的穩(wěn)恒電流場來模擬同軸圓柱面間靜電場電勢分布，這容易使學生誤以為模擬的是同心圓環(huán)間靜電場電勢分布。同心圓環(huán)與同軸圓柱面間的等勢線分布是否相同呢？兩個帶等量異號同軸圓柱面間的等勢線分布，其大小可由公式[6]。

(5)

得到。上式中選取外圓柱面為電勢零點，UA為兩圓柱面間電勢差，RA為內圓柱面半徑，RB為外圓柱面半徑，r為兩圓柱面間任意一點到軸線距離。我們利用格點法模擬了兩同心圓環(huán)間的等勢線分布情況，并與同軸圓柱面間電勢分布情況進行對比，其結果如圖4所示。

圖4(a)為同心圓環(huán)間的電勢分布，圖4(b)為同軸圓柱面間的電勢分布。其中，內外圓柱面半徑分別為1cm與5cm，兩圓柱面間的電勢差UA為10V，半徑與電勢差的取值與大學物理實驗模擬靜電場的儀器參數基本相同。理論計算可得同軸圓柱面間的電勢差為

(6)

上式中Q為單位長度，內外圓柱面上分別所帶的電量。當電勢差UA為10V時，由公式(6)可得電量Q為3.455×10-10C。圖4(a)中的內外圓環(huán)半徑也分別為1cm與5cm,所帶電量也為3.455×10-10庫侖，圓環(huán)上電荷離散為1萬個點，選取無窮遠處為電勢零點。

圖4　同心圓環(huán)與同軸圓柱面等勢線分布

圖4(a)中每兩條等勢線間的電勢差為0.60V，當距離圓心r為4.1cm處，其對應的電勢為-0.10V，當距離圓心r為1.3cm處，其對應的電勢為4.10V，兩等勢線間電勢差為4.2V.圖4(b)中，當距離圓心r為4.1cm處，其對應的電勢為1.23V，當距離圓心r為1.3cm處，其對應的電勢為8.37V，兩等勢線間電勢差為7.14V。從圖4(a)與圖4(b)可以看出，同軸圓柱面與同心圓環(huán)產生的電勢變化范圍不同；兩圖中隨半徑r變小，等勢線分布變密，其中同心圓環(huán)等勢線變密速度更快。

4　結　　論

利用格點法模擬了靜電場等勢線的分布，并利用離散的方法，模擬了直線形電荷及同心圓環(huán)形電荷的等勢線。模擬結果表明，對于線狀電荷，當離散的點數足夠多時，即可得到準確的電勢分布；同心圓環(huán)與同軸圓柱面間的等勢線分布情況雖然相似，但并不完全相同。

從以上的計算結果可以看出，利用格點法描繪靜電場電勢，計算過程簡單，計算結果準確，而且適用于描繪二維平面內，各種分布情況的點電荷與線狀電荷的電勢。希望利用該方法描繪的電勢線能為學生更好的學習、理解靜電場起到一定的幫助作用。

[1]畢升，葉紅軍.基于MATLAB的靜電場模擬[J].大學物理實驗,2013，26(4)：89-91.

[2]陳偉，易志俊，丁益民.利用MATLAB模擬點電荷系的電場線和等勢面[J].大學物理實驗，2014，27(3)：94-96.

[3]江俊勤.用格點法研究一個有趣的熱傳導問題[J].廣東教育學院學報，2005，25(5)：53-56.

[4]鄒秀芬.對流擴散方程的格點模型[J].計算物理，1996，13(3)：310-314.

[5]張孝林.大學物理(新版)學習指導[M].北京：科學出版社，2006：176.

[6]籍延坤，牛英煜.大學物理實驗[M].北京：中國鐵道出版社，2013：135.

Describing Electrostatic Field by Lattice Method

NIU Ying-yu,WANG Rong

(Dalian Jiaotong University,Liaoning Dalian 116028)

Theelectricpotentialofelectrostaticfieldisdescribedbylatticemethodintwodimensions.Thedistributionofequipotentiallinesinelectrostaticfieldforpoint-point,point-line,line-line,andconcentricringsaredescribed,andthecalculatedresultsarecomparedwiththeoreticalvalue.Thedifferentbetweenthetwoelectricpotentiallinesforconcentricringsandcentriccylindersisinvestigated.

latticemethod；electricpotential；pointcharge；linecharge

2016-04-13

遼寧省普通高等學校本科教育教學改革研究項目(UPRP20140719)

1007-2934(2016)04-0042-04

O4-33

ADOI：10.14139/j.cnki.cn22-1228.2016.004.014