一次函數(shù)圖像正確解讀

茅莉萍

我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)圖像時(shí)總會(huì)遇到各種各樣的困難，導(dǎo)致在解題時(shí)發(fā)生很多錯(cuò)誤，下面我們就一起探討一下如何攻克在學(xué)習(xí)一次函數(shù)圖像時(shí)遇到的困難.

1. 圖文靈活互譯 優(yōu)化解題過程

案例1 某公司專銷產(chǎn)品A，第一批產(chǎn)品上市40天內(nèi)全部售完.該公司對(duì)第一批產(chǎn)品上市后市場(chǎng)銷售情況進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示：其中，圖1中的折線表示的是市場(chǎng)日銷售量與上市時(shí)間的關(guān)系，圖2中的折線表示的是每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)與上市時(shí)間的關(guān)系.

（1） 試寫出第一批產(chǎn)品的市場(chǎng)日銷售量y與上市時(shí)間t的關(guān)系式.

（2） 第一批產(chǎn)品上市后，哪一天這家公司市場(chǎng)日銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

綜合分析大家的解題過程，發(fā)現(xiàn)有以下兩種解法：方法一是根據(jù)圖像1分別求出日銷售量y與上市時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式（均為分段函數(shù)），再根據(jù)銷售利潤(rùn)=日銷售量×每件銷售利潤(rùn)，求出銷售利潤(rùn)y與上市時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式（三段的分段函數(shù)），最后分別求出每段的最大值，經(jīng)過比較得到最值.方法二是將圖1的圖像語(yǔ)言翻譯成文字語(yǔ)言可知，第30天市場(chǎng)的日銷售量達(dá)到最大為60萬(wàn)件，再將圖2翻譯成文字語(yǔ)言可知，第20天到40天之間每件產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)達(dá)到最大，均是60元/件，所以第30天這家公司市場(chǎng)的日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為3 600萬(wàn)元.比較兩種做法，方法一將數(shù)學(xué)圖像語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為函數(shù)文字語(yǔ)言，通過分類討論將函數(shù)分段，思路嚴(yán)謹(jǐn)，說理有據(jù)，但思維量大，過分追求數(shù)學(xué)的形式化；方法二將數(shù)學(xué)圖像語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為文字語(yǔ)言，說理符合實(shí)際生活，解法小巧靈活，顯然優(yōu)于方法一.

從這個(gè)問題的解決過程來(lái)看，在解讀一次函數(shù)圖表信息時(shí)，應(yīng)盡量將問題中的圖表語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和文字語(yǔ)言及時(shí)進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)換.通常情況下，應(yīng)著力把圖像語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成文字語(yǔ)言，成為一個(gè)“純”文字問題，再轉(zhuǎn)換成符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行簡(jiǎn)化，最后思考解決問題的路徑，方能優(yōu)化解題過程.

2. 開闊解題思路 避免思維定勢(shì)

案例2 已知甲、乙兩車分別從相距300 km的A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲到B地后立即返回，下圖是它們離各自出發(fā)地的距離y（km）與行駛時(shí)間x（h）之間的函數(shù)圖像.

（1） 求甲車離出發(fā)地的距離y與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍；

（2） 當(dāng)它們行駛到與各自出發(fā)地的距離相等時(shí)用了4.5小時(shí)，求乙車離出發(fā)地的距離y與行駛時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出x的范圍；

（3） 在（2）的條件下，求在它們行駛過程中相遇的時(shí)間.

通過對(duì)大家解題情況進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)理解題意時(shí)思維定勢(shì)產(chǎn)生的負(fù)效應(yīng)是解錯(cuò)本題的主要原因.因?yàn)橥ǔＧ闆r下，行程類的函數(shù)圖像題，縱軸（y軸）往往用來(lái)表示物體行駛的距離，但在本題中y軸的實(shí)際意義為“它們離各自出發(fā)地的距離”，而不是通常我們所認(rèn)為的兩車行駛的距離，學(xué)生在解讀信息時(shí)思維定勢(shì)在常規(guī)的理解上，從而導(dǎo)致錯(cuò)解.

從這個(gè)問題的解決過程來(lái)看，在理解題意、尋找信息時(shí)，同學(xué)們應(yīng)充分分析已知條件，特別是解讀含有實(shí)際意義的一次函數(shù)圖像時(shí)，要看清橫軸與縱軸所表示的實(shí)際意義，避免思維定勢(shì)負(fù)效應(yīng)給解讀圖形信息產(chǎn)生的負(fù)面影響.

3. 發(fā)掘隱含信息 釋放圖像內(nèi)涵

案例3 如圖4是甲、乙兩個(gè)圓柱形水槽的軸截面示意圖，乙槽中有一圓柱形鐵塊立放其中（圓柱形鐵塊的下底面完全落在乙槽底面上）.現(xiàn)將甲槽中的水勻速注入乙槽，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度y（厘米）與注水時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖5所示.根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：

（1） 圖5中折線ABC表示______槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系，線段DE表示______槽中水的深度與注水時(shí)間之間的關(guān)系（以上兩空選填“甲”或“乙”），點(diǎn)B的縱坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是______.

（2） 注水多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，甲、乙兩個(gè)水槽中水的深度相同？

（3） 若乙槽底面積為36平方厘米（壁厚不計(jì)），求乙槽中鐵塊的體積；

（4） 若乙槽中鐵塊的體積為112立方厘米，求甲槽底面積（壁厚不計(jì)）.（直接寫出結(jié)果）

解決該問題的關(guān)鍵在于，觀察乙槽的特征，水面上升的速度先快后慢，圖像的“轉(zhuǎn)折點(diǎn)”對(duì)應(yīng)容器的“水面剛好漫過鐵塊”這個(gè)時(shí)刻，由此確定圖像與器具的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于（3）、（4），根據(jù)注水時(shí)間與注水速度求解，所以說解決該題的關(guān)鍵是能挖掘隱含信息.

函數(shù)圖像以其直觀、形象的特征囊括了眾多顯現(xiàn)的與隱含的信息，解決問題的過程就是釋放圖像內(nèi)涵、信息轉(zhuǎn)換的過程.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市僑誼實(shí)驗(yàn)中學(xué)）