王海峰

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將估算作為發(fā)展學(xué)生數(shù)感和應(yīng)用意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和推理能力的重要途徑和手段。盡管從宏觀(guān)課程的層面來(lái)看，估算越來(lái)越被重視，但從微觀(guān)教學(xué)的層面來(lái)看，一線(xiàn)教師對(duì)估算教學(xué)仍然存在很多困惑，往往浮光掠影、淺嘗輒止。究其原因，是未能真正理解小學(xué)估算教學(xué)的內(nèi)涵，厘清估算的脈絡(luò)，把握估算教學(xué)的實(shí)施策略。下面筆者以蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的估算為例，嘗試對(duì)小學(xué)估算教學(xué)的內(nèi)涵、脈絡(luò)與實(shí)施進(jìn)行解讀。

一、 估算教學(xué)的內(nèi)涵

估算主要是指在計(jì)算或者測(cè)量中，無(wú)法或無(wú)須精確計(jì)算時(shí)所采用的一種數(shù)學(xué)方法。廣義的估算包括對(duì)于計(jì)算的估算、對(duì)于數(shù)量的估算以及對(duì)于測(cè)量的估算，分別簡(jiǎn)稱(chēng)估算（狹義）、估數(shù)、估測(cè)。估算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分。作為教師，不能僅僅將估算作為一種計(jì)算方法教給學(xué)生，其教學(xué)內(nèi)涵還應(yīng)包括通過(guò)估算培養(yǎng)數(shù)感、錘煉數(shù)學(xué)思維、提高問(wèn)題解決的能力。蘇教版教材在設(shè)計(jì)編排估算教學(xué)內(nèi)容時(shí)，就充分體現(xiàn)了這三個(gè)方面的內(nèi)涵。

1.以數(shù)感培養(yǎng)為目標(biāo)

數(shù)感是課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十個(gè)關(guān)鍵詞中的第一個(gè)，足見(jiàn)其對(duì)學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)的重視。蘇教版教材在編排估算教學(xué)內(nèi)容時(shí)，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感作為首要目標(biāo)。例如，一年級(jí)上冊(cè)安排了數(shù)量估計(jì)的教學(xué)內(nèi)容，在20以?xún)?nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)之后，設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生抓一把黃豆，估一估大約有多少粒黃豆，再數(shù)一數(shù)，豐富學(xué)生對(duì)20以?xún)?nèi)的數(shù)的實(shí)際感受。四年級(jí)下冊(cè)安排了估計(jì)10 000張紙的厚度、推算1 000 000張紙的厚度等估算活動(dòng)，豐富學(xué)生對(duì)大數(shù)的體驗(yàn)和感知。再如，在學(xué)習(xí)兩、三位數(shù)的乘法時(shí)，教材常常要求學(xué)生先估算再計(jì)算，通過(guò)估算形成對(duì)結(jié)果的初步判斷，再通過(guò)精確計(jì)算得出準(zhǔn)確結(jié)果，并與估算結(jié)果進(jìn)行比較。精算與估算緊密配合、相得益彰，在提高學(xué)生對(duì)運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)的能力的同時(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感。

2.以錘煉思維為核心

數(shù)學(xué)教育不僅要讓學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)所需要的知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。[1]估算是對(duì)數(shù)與數(shù)量的體驗(yàn)和感悟，是對(duì)運(yùn)算過(guò)程的加工改造和對(duì)運(yùn)算結(jié)果的預(yù)測(cè)估計(jì)的過(guò)程?？梢哉f(shuō)，在估算過(guò)程中蘊(yùn)含著復(fù)雜的思維活動(dòng)，估算對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力具有不可忽視的作用。蘇教版教材充分把握估算的特點(diǎn)，尊重估算目標(biāo)的主觀(guān)性、估算策略的開(kāi)放性、估算結(jié)果的或然性[2]，通過(guò)精心設(shè)計(jì)估算教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、猜測(cè)、計(jì)算、推理和驗(yàn)證等活動(dòng)過(guò)程，啟迪數(shù)學(xué)思維方式，錘煉數(shù)學(xué)思維能力。例如，教材在三年級(jí)下冊(cè)安排了這樣一道估算問(wèn)題。（見(jiàn)圖1）

這個(gè)問(wèn)題對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不簡(jiǎn)單，需要經(jīng)歷嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程才能作出判斷。學(xué)生可以先將48估作50，50×5=250，實(shí)際座位數(shù)應(yīng)該比估算出的250個(gè)少一些，而估計(jì)的座位數(shù)250又比村民人數(shù)272要少，由此判斷5輛車(chē)不夠坐。在將估算結(jié)果與精確結(jié)果以及實(shí)際需要進(jìn)行比較的過(guò)程中，學(xué)生不僅掌握了估算的基本方法，數(shù)學(xué)思維能力也得到了較好的鍛煉。

3.以問(wèn)題解決為載體

問(wèn)題解決是課程標(biāo)準(zhǔn)具體闡述的四個(gè)方面的目標(biāo)之一，旨在讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法。蘇教版教材在安排估算教學(xué)內(nèi)容時(shí)，以問(wèn)題解決為重要載體，以?xún)和纳瞵F(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)為生長(zhǎng)點(diǎn)，精心選擇學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中增強(qiáng)應(yīng)用能力、發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。例如，教材有多處安排了類(lèi)似下面的問(wèn)題。（見(jiàn)圖2）

學(xué)生憑借生活經(jīng)驗(yàn)就知道，這個(gè)問(wèn)題不需要筆算出精確結(jié)果，直接估算就能解決。然而這個(gè)問(wèn)題又不只是簡(jiǎn)單地估算出結(jié)果就行了，在估算出5輛兒童車(chē)的總價(jià)是1 000元后，還要思考因?yàn)榘?10看作200估小了，所以準(zhǔn)確的總價(jià)應(yīng)該比估得的1 000元要多，因此1 000元不夠買(mǎi)5輛兒童車(chē)。買(mǎi)2張兒童床的問(wèn)題與此類(lèi)似。這里，學(xué)生是以解決實(shí)際問(wèn)題為目標(biāo)，他們的思維就不會(huì)只停留在估算方法與結(jié)果的層面。教材一以貫之地將估算包含在問(wèn)題解決的過(guò)程中，既有利于學(xué)生體會(huì)估算的實(shí)際意義與應(yīng)用價(jià)值，也有利于學(xué)生解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)。

二、 估算內(nèi)容的脈絡(luò)

要全面認(rèn)識(shí)和把握小學(xué)估算教學(xué)，就必須明確課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于各學(xué)段估算內(nèi)容的具體要求，了解估算在小學(xué)各年級(jí)的分布，理清估算在小學(xué)數(shù)學(xué)中的脈絡(luò)，把握前后知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別。筆者對(duì)估算內(nèi)容各學(xué)段的目標(biāo)與要求進(jìn)行了梳理。

第一學(xué)段：1.在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)；2.能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用；3.能估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度，并進(jìn)行測(cè)量；4.會(huì)估計(jì)給定簡(jiǎn)單圖形的面積。

第二學(xué)段：1.結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境感受大數(shù)的意義，并能進(jìn)行估計(jì)；2.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算；3.會(huì)根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫(huà)圖，并會(huì)根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值；4.會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。

兩個(gè)學(xué)段均安排了估數(shù)、估算和估測(cè)三個(gè)方面的內(nèi)容，隨著學(xué)段的提升，教學(xué)內(nèi)容保持了很好的連貫性，且在難度要求上有所增加。蘇教版教材按照課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于估算教學(xué)的課程目標(biāo)，基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、知識(shí)背景和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，合理地安排估算內(nèi)容，通盤(pán)考慮，分步實(shí)施。筆者對(duì)蘇教版教材例題及習(xí)題中與估算（包括估數(shù)和估測(cè)）有關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行了細(xì)致地統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)估算內(nèi)容主要集中在二至五年級(jí)，在這四個(gè)年級(jí)教材中出現(xiàn)的次數(shù)占總數(shù)的91.2%。這種分布情況與小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程有關(guān)。在二至五年級(jí)，學(xué)生重點(diǎn)學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算以及平面圖形的周長(zhǎng)和面積，與之相關(guān)的估算內(nèi)容也就自然而然地伴隨著這些知識(shí)的學(xué)習(xí)。五年級(jí)之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)即將進(jìn)入代數(shù)學(xué)習(xí)階段，因此估算的內(nèi)容也隨之減少。

此外，基于對(duì)估數(shù)、估算和估測(cè)三個(gè)類(lèi)別出現(xiàn)次數(shù)的統(tǒng)計(jì)，筆者得出，蘇教版教材中估數(shù)內(nèi)容約占20.4%，計(jì)算估算約占57.5%，估測(cè)內(nèi)容占22.1%。計(jì)算估算在小學(xué)估算內(nèi)容中占了過(guò)半的比例，足見(jiàn)小學(xué)階段對(duì)學(xué)生計(jì)算能力培養(yǎng)的高度重視。

三、 估算教學(xué)的實(shí)施

與估算在課程標(biāo)準(zhǔn)中地位的提升相適應(yīng)，估算教學(xué)的實(shí)踐愈來(lái)愈受到關(guān)注。而要真正提高估算教學(xué)的實(shí)效，教師須對(duì)教材編寫(xiě)的意圖與特點(diǎn)有很好的理解和把握。對(duì)于蘇教版教材估算內(nèi)容的編排與教學(xué)，筆者以為應(yīng)領(lǐng)會(huì)以下幾點(diǎn)。

1. 整體與局部統(tǒng)一

估算內(nèi)容的教學(xué)必須以與之相關(guān)的其他教學(xué)內(nèi)容相融合，這也決定了估算內(nèi)容的安排不可能特立獨(dú)行，而要圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心與主線(xiàn)，將估算內(nèi)容合理穿插其中，逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升，做到整體與局部的有機(jī)統(tǒng)一。

通過(guò)對(duì)蘇教版教材估算內(nèi)容的梳理和統(tǒng)計(jì)不難發(fā)現(xiàn)，教材對(duì)估算內(nèi)容的安排并不是平均分布、平均用力的。一方面，在小學(xué)階段，由于數(shù)與量的認(rèn)識(shí)相比數(shù)與量的運(yùn)算要少得多，所以估數(shù)和估測(cè)相比估算的內(nèi)容安排也要少得多。另一方面，小學(xué)二至五年級(jí)是學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算的重點(diǎn)時(shí)段，因而對(duì)于估算內(nèi)容的安排相對(duì)其他年級(jí)也就比較密集。蘇教版教材不同年級(jí)對(duì)估數(shù)、估測(cè)和估算都有選擇、有重點(diǎn)地進(jìn)行安排，很好地體現(xiàn)了教材從整體謀劃到局部刻畫(huà)的有機(jī)統(tǒng)整。

教師應(yīng)整體認(rèn)識(shí)小學(xué)階段估算內(nèi)容的安排及不同年段的教學(xué)要求，在相應(yīng)年段完成預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，做到不越位、不缺位，從而在整體上達(dá)成估算教學(xué)的總目標(biāo)。

2.意識(shí)與能力并重

估算教學(xué)不能滿(mǎn)足于僅讓學(xué)生掌握估算的方法，而是要通過(guò)估算教學(xué)，讓學(xué)生理解估算的意義，體會(huì)估算的作用，從被動(dòng)估算過(guò)渡到自覺(jué)估算、自主估算，從而增強(qiáng)應(yīng)用能力與反思意識(shí)。蘇教版教材在安排估算教學(xué)內(nèi)容時(shí)，往往選擇學(xué)生身邊的實(shí)際問(wèn)題作為教學(xué)素材，借助生活經(jīng)驗(yàn)啟發(fā)估算意識(shí)，使學(xué)生的估算能力與估算意識(shí)一起發(fā)展。例如，三年級(jí)上冊(cè)教材安排了這樣一個(gè)問(wèn)題。（見(jiàn)圖3）

這個(gè)問(wèn)題安排在整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)之后，普通兩位數(shù)乘一位數(shù)之前，學(xué)生無(wú)法通過(guò)計(jì)算出48×4的精確結(jié)果來(lái)判斷200元夠不夠買(mǎi)，這就“逼迫”學(xué)生另想它法。學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)自然地聯(lián)想到將48元看作50元，因?yàn)?0×4=200，所以48×4<200，200元夠買(mǎi)4箱西瓜。教材精心安排估算內(nèi)容的位置，讓學(xué)生在面對(duì)這一情境時(shí)，自發(fā)地產(chǎn)生估算的需要，進(jìn)而獲得估算解決問(wèn)題的成功體驗(yàn)。在問(wèn)題解決的過(guò)程中，學(xué)生不僅掌握了基本的估算技能，估算的意識(shí)也隨之得到發(fā)展。

3.過(guò)程與結(jié)果兼顧

由于不同問(wèn)題對(duì)估算的要求有所不同，不同主體對(duì)估算的理解也不同，因此估算的過(guò)程相比精算更加開(kāi)放，估算過(guò)程的差異也會(huì)導(dǎo)致估算結(jié)果不盡相同。這就要求教師在估算教學(xué)中既要重視估算過(guò)程中方法的選擇與指導(dǎo)，尊重估算方法的差異性，鼓勵(lì)估算方法的多樣化，又要承認(rèn)估算結(jié)果與精算結(jié)果的不一致（有時(shí)估算結(jié)果與精算結(jié)果可能相去甚遠(yuǎn)，但只要估算的目的是明確的，估算的方法是可取的，教師就要肯定估算結(jié)果的價(jià)值），讓學(xué)生既體會(huì)到估算的簡(jiǎn)捷高效，又明白在某些特定問(wèn)題中估算的局限性，客觀(guān)地處理好估算過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系。

例如，教材在三年級(jí)上冊(cè)安排了這樣一個(gè)問(wèn)題。（見(jiàn)圖4）

在估算3張?zhí)乜炝熊?chē)總票價(jià)時(shí)，學(xué)生將312看作300，300×3=900，小于1 000元。此時(shí)，教師還應(yīng)啟發(fā)學(xué)生思考：如果特快列車(chē)票是340元一張，1 000元夠買(mǎi)3張嗎？學(xué)生通過(guò)估一估、算一算發(fā)現(xiàn)，雖然這個(gè)問(wèn)題的估算過(guò)程和結(jié)果與剛才的問(wèn)題相同，但實(shí)際上，1 000元是不夠買(mǎi)3張單價(jià)340元的車(chē)票的。這里，在估算出300×3=900之后，學(xué)生還需考慮12×3的結(jié)果小于100元，才能確定1 000元夠買(mǎi)3張312元的特快列車(chē)票。在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)估算過(guò)程的比較以及對(duì)估算結(jié)果的辨析，學(xué)生對(duì)估算的優(yōu)勢(shì)和局限會(huì)有更全面、更客觀(guān)的認(rèn)識(shí)。

4.情境與活動(dòng)支撐

通過(guò)對(duì)估算內(nèi)容的整理，筆者發(fā)現(xiàn)蘇教版教材幾乎沒(méi)有單純地給出算式讓學(xué)生估算得數(shù)的題目，絕大部分估算問(wèn)題都是鑲嵌在情境中的。情境架起了抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與具象的兒童思維之間的橋梁，它聯(lián)結(jié)起數(shù)學(xué)與生活，讓理性和感性相趨近，使抽象與具象相映照。[3]教材精心選取了生活中需要估算的問(wèn)題情境，有利于激發(fā)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的已有經(jīng)驗(yàn)，促使他們積極主動(dòng)地解決實(shí)際問(wèn)題。此外，教材還精心設(shè)計(jì)了很多估算（估測(cè)）的實(shí)踐活動(dòng)。例如，“升與毫升”單元就有很多類(lèi)似下面的實(shí)踐活動(dòng)。（見(jiàn)圖5）

這些估算（估測(cè)）活動(dòng)寓教于做，讓學(xué)生在做一做、估一估、算一算和想一想的過(guò)程中，感悟估算的意義和價(jià)值、積累估算的經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)估算的能力。正如杜威所說(shuō)，教學(xué)過(guò)程應(yīng)該就是“做”的過(guò)程，如果兒童沒(méi)有“做”的機(jī)會(huì)，那必然會(huì)阻礙兒童的自然發(fā)展。

作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，必須認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，領(lǐng)會(huì)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于估算教學(xué)的要求，把握教材對(duì)于估算內(nèi)容的編排意圖，以教材為藍(lán)本但又不囿于教材，適時(shí)拓展、開(kāi)發(fā)估算教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)用估算解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)估算的意義與價(jià)值，提升估算的意識(shí)與能力、發(fā)展數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)。

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【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】