☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 陳 燕

從圖形構(gòu)造的角度妙解數(shù)學(xué)問題

☉江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 陳 燕

眾所周知，中學(xué)數(shù)學(xué)問題解決的指導(dǎo)思想是依賴于兩種手段，即純代數(shù)的運(yùn)算方式和具備幾何含義的圖形方式.從現(xiàn)有中學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)來看，解析幾何是典型的幾何問題代數(shù)化的典范，其培養(yǎng)了學(xué)生思維縝密、運(yùn)算細(xì)致、考慮全面的機(jī)械化式解決方法（吳文俊語）；而函數(shù)、向量、空間幾何等章節(jié)顯然更多的是可以從圖形的角度去思考知識(shí)的本質(zhì)，這是提高學(xué)生以數(shù)解形的能力.

代數(shù)手段和幾何手段都能解決很多問題，應(yīng)該說各自擁有優(yōu)缺點(diǎn).筆者認(rèn)為，相對(duì)而言，利用幾何的特性解決問題是學(xué)生比較喜歡的一種手段（當(dāng)然代數(shù)的全面性這一典型的優(yōu)點(diǎn)學(xué)生還未能完全認(rèn)知）.從很多問題的解決過程中，我們常?？吹綄W(xué)生不喜歡從煩瑣、復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算中去解決問題，更喜歡從幾何圖形的角度去解決問題，因此如何引導(dǎo)學(xué)生分析問題的幾何圖形構(gòu)造，進(jìn)而解決問題是提升思維活躍性的途徑.

一、構(gòu)造一維數(shù)軸模型

絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的概念之一，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的運(yùn)用往往失去了幾何意義的層面，更多是從代數(shù)分類討論的角度去解決問題.對(duì)于簡單的問題代數(shù)和幾何相差并不大，但是多個(gè)絕對(duì)值的處理則凸顯幾何圖形的美妙.

例1 （1）（2014年重慶）若不等式|2x-1|+|x+2|＞a2++2對(duì)于任意x∈R恒成立，則a的取值范圍是_______；

（2）（北約聯(lián)考）函數(shù)y=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|10x-1|的最小值為________.

分析：（1）從本題來看，學(xué)生的第一思路依舊是解決|2x-1|+|x+2|的最小值，筆者詢問大部分學(xué)生選擇解決最小值的基本方法是分類討論的策略，很少有學(xué)生思考絕對(duì)值最基本的幾何含義.筆者請(qǐng)學(xué)生思考一個(gè)層層遞進(jìn)絕對(duì)值問題（如圖1）：|x-1|最小值的幾何意義理解嗎？|x-1|+|x+1|最小值的幾何意義理解嗎？|x-1|+|x|+|x+1|最小值的幾何意義理解嗎？顯然學(xué)生都能從數(shù)軸上并結(jié)合絕對(duì)值幾何意義的本質(zhì)——距離來思考問題.以|x-1|+|x|+|x+1|為例，顯然變量x可以在數(shù)軸上移動(dòng)，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)動(dòng)到0時(shí)，有最小值.將|2x-1|+|x+2|轉(zhuǎn)化為后，通過思考問題的幾何含義，構(gòu)造一維數(shù)軸，我們可以將問題（1）輕松的解決.

圖1

（2）對(duì)于北約聯(lián)考問題，無非是對(duì)多個(gè)絕對(duì)值不等式的處理，原理依舊是一維數(shù)軸的構(gòu)造，將原式變形為，可知一共55項(xiàng)，顯然在最中間的一項(xiàng)取到最小值.這是幾何含義本質(zhì)的處理，對(duì)于本題不可能用分類討論的方式進(jìn)行解決.利用圖形構(gòu)造，巧妙地解決了這樣的問題.

二、構(gòu)造二維平面模型

不等式問題、函數(shù)零點(diǎn)問題、方程根的問題等，都是可以從二維平面的角度去思考，這種思考可以將問題從圖形建構(gòu)上進(jìn)行處理，使得問題轉(zhuǎn)換為二維平面中的圖形模型，將問題簡化.

例2 若p∈R，|log2p|＜2時(shí)，不等式px+1＞2x恒成立，求x的取值范圍.

2直線y=px+1，顯然動(dòng)直線過定點(diǎn)（0，1），且斜率在，4）內(nèi).本題要求的是當(dāng)＜p＜4且動(dòng)直線在定直線上方時(shí)，x取哪些值的問題.由圖2可知，動(dòng)直線在陰影區(qū)域內(nèi)繞定點(diǎn)（0，1）旋轉(zhuǎn)時(shí)，為保證動(dòng)直線在定直線上方，其x范圍介于A、B兩點(diǎn)之間，易求得x=-，Bx=，所以使不等式px+1＞2x恒成立的x的取值范圍為A-＜x＜.

圖2

三、利用三角形的構(gòu)造

三角形是幾何圖形中最基本的一種圖形，很多中學(xué)數(shù)學(xué)問題都是依賴于三角形的基本形態(tài)進(jìn)行構(gòu)造、編制，對(duì)于這些問題教師要引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注、思考問題背后隱藏的圖形本質(zhì)，只有不斷思考命題者關(guān)注的圖形及圖形使用的含義，才能對(duì)構(gòu)造有深刻的理解.

例3 已知平面向量α、β（為不等的非零向量）滿足|β|=1，且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是___________.

分析：近年來，向量成為應(yīng)試考查的熱點(diǎn).很多學(xué)生對(duì)于向量小題極為懼怕，總找不到美妙、簡潔的解法，筆者認(rèn)為這與其并不了解向量的特點(diǎn)相關(guān).向量是具備代數(shù)和幾何雙重性質(zhì)的知識(shí)，是兩者互通的工具性橋梁.但從思維考查和區(qū)分的角度來說，勢(shì)必將向量的幾何特性發(fā)揮出來才是問題解決的關(guān)鍵.由α、β、β-α可知，容易建構(gòu)三角形，夾角為120°必定與三角形內(nèi)角有關(guān)，故|α|的取值轉(zhuǎn)變?yōu)橛萌切沃械恼叶ɡ砘蛴嘞叶ɡ砬蠼?如圖3可知，將上述建構(gòu)△OAB，∠OBA=60°，利用正弦定理得，因此，0＜

圖3

例4 設(shè)向量a，b，c滿足|a|=|b|=1，a·b=-，＜a-c，bc＞=60°，則|c|的最大值等于_______.

圖4

分析：向量a，b滿足夾角120°，且a-c與b-c夾角是60°，以四點(diǎn)共圓來建構(gòu)圖形.如圖4，設(shè)則∠ACB=60°，可知C的軌跡是優(yōu)弧A（B上一動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)C為優(yōu)弧A（B的中點(diǎn)時(shí)取到最大值，即為O，A，B，C四點(diǎn)所在圓的直徑.易得，在△ABC中，由正弦定理得

四、利用圓的構(gòu)造

圓是幾何圖形中對(duì)稱性最完美的曲線，是中學(xué)生最早接觸的曲線之一，也是學(xué)生掌握幾何性質(zhì)較為熟練的幾何圖形.用圓的特性解決很多代數(shù)問題，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換能力、提高幾何思維的有效手段.

例5 設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，且b=3，c=1，A=2B.

（1）求a的值；

分析：本題為2014年高考安徽真題，第（1）問來源于課本.為了準(zhǔn)確了解該題的答題情況，筆者調(diào)查了一個(gè)班的學(xué)生.同學(xué)普遍感覺：看起來簡單，好像容易下手，最后卻栽在這道題上.調(diào)查結(jié)果如下：（班級(jí)學(xué)生共60人）

解法一 解法二 解法三 其他方法 得分人數(shù) 24 20 10 5 0～2 3～6 7～10 10以上12 10 8 30比例% 40 33 17 8 20 17 13 50

解答題第一題一般難度不大，屬于考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能部分.可本題得分卻不太理想，究其原因：解法一中，有六位學(xué)生將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成正弦得a=6cosB后，再怎么走，沒了方向.解法二中，有三位學(xué)生在得出后，面對(duì)sin3α無所適從.解法三中，有兩位學(xué)生在得出cosA=2cos2B-1后，感覺使用余弦定理，計(jì)算量太大，不敢繼續(xù)了.先看看上述學(xué)生從代數(shù)角度應(yīng)該正確的解決思路：

解法一：sinA=sin2B?sinA=2sinBcosB?a=6cosB；

解法三：cosA=cos2B?cosA=2cos2B-1 ①，cosA=，代入①，得

至此，發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本上都是圍繞正余弦定理展開的，說明學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)比較扎實(shí)，但思路不夠?qū)?，思維比較固化.如能突破正余弦定理的思維禁錮，發(fā)現(xiàn)角度之間的關(guān)系，把符合圓特征的命題通過構(gòu)造圓來解決，問題將變得異常簡單.下面結(jié)合圓的常見特征，舉例說明用構(gòu)造圓的方法解決問題的策略.

構(gòu)造優(yōu)解：構(gòu)造圓，如圖5，延長CA至D，使AD=AB=1?∠ADB=∠ABD?∠BAC= 2∠ADB?∠CBA=∠BDA，作△ABD的外接圓，因?yàn)椤螩BA=∠BDA，所以CB為圓的切線.所以CB2=CA·CD=12?a=2.

圖5

總之，從幾何角度思考數(shù)學(xué)問題，往往讓我們對(duì)于問題的教學(xué)來得更為直觀和清晰.學(xué)生也必將喜歡從幾何角度去思考問題，能讓其從抽象的問題背后得到一種思考的快樂和學(xué)習(xí)的興趣.筆者認(rèn)為，對(duì)于這樣的問題可以引導(dǎo)學(xué)生做好兩方面的思考：

（1）問題處理的時(shí)候，首先從幾何角度去想一想，問題可能會(huì)涉及基本圖形，無非是常見的如三角形、圓、橢圓，上升到空間問題也無非是柱、錐、臺(tái)、球，從問題更高的視角想一想命題者想考什么，這樣的教學(xué)能讓優(yōu)秀的學(xué)生站在更高的視角上思考問題，那么稍難的問題比較容易得到簡潔的途徑.

（2）對(duì)幾何模型和代數(shù)條件的總結(jié)，常見的利用圖形構(gòu)造解決的問題需要總結(jié)一些幾何模型的特點(diǎn)，以及需要了解一些常見的代數(shù)式在幾何構(gòu)造中的含義，諸如向量基本條件（a-b）·（a-c）=0如何構(gòu)造等，多思考、多歸納才能有效地解決更多的復(fù)雜問題.

1.方厚石.向量教學(xué)詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2014（1）.

2.李蘭云.運(yùn)用整體思想求數(shù)列［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2009（10）.

3.王志平，李興民.各類解析函數(shù)構(gòu)造的統(tǒng)一公式［J］.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2007（8）.