杜曉陽，費金喜，馬正義

(1.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018；2.麗水學(xué)院工程與設(shè)計學(xué)院，浙江麗水 323000)

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非線性薛定諤方程的非局域?qū)ΨQ

杜曉陽1，費金喜2，馬正義2

(1.浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018；2.麗水學(xué)院工程與設(shè)計學(xué)院，浙江麗水 323000)

基于非線性薛定諤方程及其Lax對，通過恰當(dāng)?shù)膶ΨQ假設(shè)，得到了薛定諤方程含Lie點對稱的非局域?qū)ΨQ。由于所得到的非局域?qū)ΨQ不能直接用來構(gòu)造方程的精確解，為此引入了一個輔助變量，將薛定諤方程的非局域?qū)ΨQ局域化為擁有擴(kuò)大空間的Lie點對稱，從而構(gòu)建了封閉的延拓系統(tǒng)。在對稱約化過程中，得到了與雅可比函數(shù)相關(guān)的顯式解，其圖像顯示了孤波和橢圓余弦波之間的相互作用。

薛定諤方程；非局域?qū)ΨQ；Lax對；延拓系統(tǒng)；精確解

0　引　言

非線性偏微分方程(nonlinear partial differential equation，NPDE)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支。它常常被用來描述力學(xué)、控制系統(tǒng)、化工循環(huán)系統(tǒng)、流行病等領(lǐng)域的問題，對這些現(xiàn)象的研究最終可歸結(jié)為微分方程的求解問題。然而，由于結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，大部分NPDE的解是無法用現(xiàn)有的方法直接得到的，有的也僅是近似解。另外，隨著人們對其研究的深入，有些原先可用線性微分方程近似處理的問題，如今也必須考慮非線性對其造成的影響。因此，對NPDE的研究，尤其是對其如何求精確解，就具有很重要的意義。

正是因為這樣，眾多學(xué)者在如何求解NPDE方面做了很多研究，提出了很多研究方法，如反散射法、Hirota雙線性法、Painlevé有限展開法、B?cklund變換法、Darboux變換法，Lie群法等。就Lie群法而言，自從Sophus Lie的Lie群理論被引入，它就被廣泛用于尋找偏微分方程的Lie點對稱。關(guān)于Lie群和Lie對稱問題的研究，我國學(xué)者在約束力學(xué)系統(tǒng)微分方程的Lie對稱性和守恒量方面做出了很大的貢獻(xiàn)。如，趙躍宇和梅鳳祥[1-2]首次利用Lie群理論研究了非保守約束力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量問題，這對我國分析力學(xué)的發(fā)展起了很大的推動作用。近幾年來，學(xué)者傅景禮、周莎、高芳等討論了分?jǐn)?shù)階Hamiltonian系統(tǒng)的對稱理論和用正則坐標(biāo)解決單自由度的約束機(jī)制系統(tǒng)[3-4]。另一方面，Bluman等[5-6]在Lie群基礎(chǔ)上提出了非經(jīng)典的Lie群法，即條件對稱。Fokas等[7]、Zhdanov[8]提出了條件Lie B?cklund對稱法，并將其進(jìn)行了完善。然而，在一般情況下，通過Lie點對稱和Lie B?cklund對稱得到的非局域?qū)ΨQ有可能會丟失一些重要的項，如更高階的導(dǎo)數(shù)項等。Lou等[9-10]通過對KdV方程的非局域?qū)ΨQ進(jìn)行局域化，得到了在孤波和橢圓余弦波之間相互作用的新的精確解，從而使該問題得到了解決。隨后，Xin等[11-12]使用該方法先后得到了AKNS系統(tǒng)和Boussinesq方程的與實際緊密聯(lián)系的新的精確解，再一次證實了該方法的有效性。

研究非線性薛定諤方程非局域?qū)ΨQ局域化，是因為非線性系統(tǒng)的非局域?qū)ΨQ可以擴(kuò)大對稱的類，從而可以求到方程新的精確解。對非線性系統(tǒng)而言，方程的精確解不僅對于相關(guān)學(xué)科及其現(xiàn)象的研究有至關(guān)重要的作用，而且可以提供控制數(shù)值的精確信息，從而有助于發(fā)現(xiàn)一些新的自然現(xiàn)象。眾所周知，非線性薛定諤方程是由奧地利物理學(xué)家薛定諤在1926年提出的一個用于描述波函數(shù)的運動方程，被認(rèn)為是量子力學(xué)的奠基理論之一。本文通過求解該方程的非局域?qū)ΨQ，構(gòu)造了它的新的精確解。

1　薛定諤方程的非局域?qū)ΨQ

非線性薛定諤方程的一般形式為[13]：

(1)

(2)

它們滿足兼容條件ψxt=ψtx和φxt=φtx。其中 u,v是關(guān)于x,t的波函數(shù)。

本文提供了一種尋找薛定諤方程的非局域?qū)ΨQ的方法。該方法不同于傳統(tǒng)方法的地方在于，使用它不僅可以得到所求方程的非局域?qū)ΨQ，而且還可以得到其傳統(tǒng)對稱。具體方法如下：

首先，把薛定諤方程的對稱σ1,σ2定義成它的線性方程的解的形式，可表示為：

(3)這就意味著薛定諤方程在無窮小變量ε的變換u→u+εσ1，v→v+εσ2下形式不變，在這里，σ1，σ2是對稱元。

然后，假設(shè)對稱σ1,σ2有如下形式：

把上式代入方程(3),在計算的過程中分別代入方程(1)和(2)，通過消除ψx、ψt、φx、φt，可以得到關(guān)于ξ、τ、U、V的決定性方程。它們的解分別是：

其中ci(i=1，2，…，6)為任意常數(shù)。這些計算可借助于軟件Maple完成。

因此，方程(1)的對稱可表示為：

在方程(4)中令c1=c2=c4=c5=c6=0，c3=1，則方程(1)的對稱被簡化為：

(5)

通過對薛定諤方程的Lax對的觀察可以發(fā)現(xiàn)，在Lax對中最高階導(dǎo)數(shù)項為ψx、φx、ψt、φt，它們皆是一階導(dǎo)數(shù)，所以在對稱σ1,σ2中ψ,φ的階數(shù)肯定不超過1。因此，如果假設(shè)函數(shù)U,V含有變量的話，則可能會得到薛定諤方程的更為一般的解。

2　非局域?qū)ΨQ的局域化

眾所周知，微分方程的非局域?qū)ΨQ不能直接用來構(gòu)造方程的精確解，因此需要把非局域?qū)ΨQ轉(zhuǎn)化成局域?qū)ΨQ，即非局域?qū)ΨQ局域化。

從方程(5)中可以看出，薛定諤方程的非局域?qū)ΨQ中含有ψ和φ，為了把它們局域化，首先需要求解Lax方程組(2)的線性形式的解：

(6)

其中ψ→ψ+εσ3，φ→φ+εσ4。

然后，聯(lián)立方程(5)和(6)得：

(7)

其中新變量p的定義為：

px=ψφ

(8)

并且p滿足：

pt-uφ2I-4λψφ+ψ2vI=0

(9)

由于新變量p的出現(xiàn)，接下來同樣需要求解方程(8)和(9)的線性解，即：

(10)

在方程(10)中p→p+εσ5。最后，將方程(10)代入方程(9)中，可得：

σ5=p2

(11)

從(7)和(11)中可以看出，薛定諤方程(1)的非局域?qū)ΨQ已由原來的空間{x,t,u,v} 的非局域?qū)ΨQ成功地轉(zhuǎn)化成一個擴(kuò)大空間{x,t,u,v,ψ,φ,p} 的局域?qū)ΨQ，且該空間的向量形式為：

V1=ψ2?u+φ2?v+ψp?ψ+φp?φ+p2?p

(12)

通過Lie點對稱(12)，求解以下初始問題：

從而得到的有限的對稱變換為：

說明：從上述方程中可以看出，給定方程(1)的一個解，就可以通過以上的對稱變換得到它的另一個解。其中{u,v,ψ,φ,p)是方程(1)、(2)和(8)構(gòu)成的延拓系統(tǒng)的解，且該延拓系統(tǒng)是封閉的。

為了得到更多方程(1)的相似解，假設(shè)Lie點對稱的延拓系統(tǒng)有形式：

(13)

在變換

{x→x+εξ, t→t+ετ,u→u+εU,v→v+εV,ψ→ψ+εΨ,φ→φ+εΦ,p→p+εP}下，方程(13)也可以寫成如下形式：

然后將上式代入延拓系統(tǒng)中，經(jīng)過計算可得：

3　薛定諤方程的對稱約化

(14)

其中：X=x-kt，P(X),Q(X),Q1(X),U(X)和V(X)分別代表群不變量。將方程(14)代入延拓系統(tǒng)后，可發(fā)現(xiàn)它們之間是相互兼容的，且滿足式(15)：

(15)

(16)

由于上述ODE的解可以寫成雅可比橢圓函數(shù)的形式，故在這里本文給出該方程的一個雅可比解P1(X)=a1+a2JacobiSN(a3X,m)，以此解為前提，將其代入方程(14)，(15)和(16)中，經(jīng)過計算，可以得到薛定諤方程新的顯式解，且它的參數(shù)滿足：

圖時的解的結(jié)構(gòu)

圖1顯示的是非線性薛定諤方程在橢圓周期波背景下一個孤波的傳播結(jié)構(gòu)。圖1(a)展示的是解u在時空狀態(tài)下孤波的傳播，圖1(b)-(d)表示解u在不同的時間(分別為t=-5,0,5)孤波在周期波背景下的演化。從結(jié)構(gòu)上看，隨著時間的增加，孤子從右往左移動，但高度不變。自然界中，該現(xiàn)象可以在海平面上觀察到，對船舶安全和海岸工程具有重要影響。

4　結(jié)　論

本文以Lie點對稱為基礎(chǔ)，通過對稱假設(shè)得到了非線性薛定諤方程的非局域?qū)ΨQ。隨后，引入了輔助變量px=ψφ，并借助于它將非局域?qū)ΨQ局域為擁有封閉延拓系統(tǒng)的Lie點對稱。然后對得到的Lie點對稱進(jìn)行對稱約化，最后得到了非線性薛定諤方程的新的精確解。

然而，該方法也有一定的不足。沒有統(tǒng)一的方法判斷一個NPDE是否可用此方法求解，且尋找適當(dāng)?shù)妮o助變量并不是一件易事，它需要一定的技巧和繁瑣的計算過程。

[1] 趙躍宇，梅鳳祥. 力學(xué)系統(tǒng)的不變量與對稱性[M]. 科學(xué)出版社，1999.

[2] 梅鳳祥. 李群和李代數(shù)對約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用[M]. 科學(xué)出版社，1999.

[3] GAO F, ZHANG X B, FU J L. Application of canonical coordinates for solving single-freedom constraint mechanical systems[J]. Applied Mathematics and Mechanics, 2014, 35(8): 1029-1038.

[4] ZHOU S, FU H, FU J L. Symmetry theories of Hamiltonian systems with fractional derivatives[J]. Science China: Physics, Mechanics & Astronomy, 2011, 54 (10): 1847- 1853.

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[6] BLUMAN G W, COLE J D. Similarity Method for Differential Equation[M]. Springer-Verlag, New York, 1974: 33-97.

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[12] XIN X, CHEN J, CHEN Y. Nonlocal symmetries and explicit solutions of the Boussinesq equation[J]. Chinese Annals of Mathematics: Series B, 2014, 35(6): 841-856.

[13] ABLOWITZ M J, KAUP D J, NEWELLl A C, et al. Method for solving the sine-Gordon equation[J]. Physical Review Letters, 1973, 30(25): 1262.

(責(zé)任編輯： 康鋒)

Nonlocal Symmetry of Nonlinear Schr?dinger Equation

DUXiaoyang1,FEIJinxi2,MAZhengyi2

(1.School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China; 2.Institute of Engineering and Design, Zhejiang Lishui University, Lishui 323000, China)

Based on the nonlinear Schr?dinger equation and its Lax pair, we obtained the nonlocal symmetry of Schr?dinger equation containing Lie point symmetry through appropriate symmetry hypothesis. Since the nonlocal symmetry cannot be directly used to construct exact solutions of the equation, an auxiliary variable was introduced. With the introduction of it, the nonlocal symmetry was localized to Lie point symmetry which has expanded space. And based on it, a closed prolonged system was established. The explicit solution related to Jacobi function was obtained in symmetry reduction process. The image shows some interactions between cnoidal wave and solitary wave.

Schr?dinger equation; nonlocal symmetry; Lax pair; prolonged system; exact solution

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.01.024

2015-04-22

國家自然科學(xué)基金項目(11447017); 浙江省自然科學(xué)基金項目(LY14A010005)

杜曉陽(1990-)，女，山西長治人，碩士研究生，主要從事非線性數(shù)學(xué)物理方程的研究。

馬正義，E-mail: ma-zhengyi@163.com

O175.29

A

1673- 3851 (2016) 01- 0140- 05 引用頁碼： 010803