楊　雪，易小蘭

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

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有限群的E-可補(bǔ)準(zhǔn)素子群

楊雪，易小蘭

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

運(yùn)用極小階反例法，研究E-可補(bǔ)子群對(duì)有限群冪零性的影響。在群系中，利用群G的正規(guī)子群(Sylow子群)的n-極大子群在G中的E-可補(bǔ)性，得到G為冪零群的一些充要條件，推廣和改進(jìn)了Skiba、李長(zhǎng)穩(wěn)等得出的一些結(jié)論。

有限群；s-擬正規(guī)；s-擬正規(guī)嵌入；E-可補(bǔ)子群；p-冪零

0　引　言

本文中所有的群都是有限群。|G|表示群G的階，Gp表示G的一Sylowp-子群。Kegel[1]引進(jìn)了s-擬正規(guī)的概念：群G的子群H稱為在G中s-擬正規(guī)的，如果H與群G的每一個(gè)Sylow子群可交換。1996年，Ballester-Bolinches等[2]將s-擬正規(guī)子群的概念推廣到s-擬正規(guī)嵌入中。群G的子群H稱為在G中s-擬正規(guī)嵌入的，如果對(duì)于每一個(gè)整除|G|的素?cái)?shù)p，H的Sylowp-子群同時(shí)也是G的某個(gè)s-擬正規(guī)子群的Sylowp-子群。2012年，Li[3]提出了E-可補(bǔ)的概念，它包含s-擬正規(guī)嵌入同時(shí)也包含了Skiba的弱s-可補(bǔ)，得到了有限群結(jié)構(gòu)的一些新結(jié)果[4-6]。如文獻(xiàn)[3]證明：若E是G的正規(guī)子群，如果對(duì)于E的每一個(gè)非循環(huán)Sylow子群P，若P的所有的極大子群或者P的階為素?cái)?shù)或4的循環(huán)子群在G中E-可補(bǔ)，則每一個(gè)包含在E中的G-主因子是循環(huán)的；文獻(xiàn)[5]證明：若F是包含所有超可解群的飽和群系，H是G的正規(guī)子群且滿足G/H∈F，如果對(duì)于任意的p∈π(H)(p≠2)，F(xiàn)*(H)的任意非循環(huán)Sylowp-子群的所有極大子群在NG(P)中E-可補(bǔ),且F*(H)的任意Sylow 2-子群的所有極大子群在G中E-可補(bǔ)，則G∈F。

本文進(jìn)一步了研究子群的E-可補(bǔ)性與有限群的p-冪零性之間的關(guān)系，并得到了一些有趣的結(jié)論，利用本文的結(jié)論，可以直接推導(dǎo)出Skiba、李長(zhǎng)穩(wěn)等提出的一些結(jié)果。

1　預(yù)備知識(shí)

定義[3]群G的子群H稱為在G中是E-可補(bǔ)的，如果存在G的一個(gè)子群K使G=HK且H∩K≤HeG，其中HeG由包含在H中的G的所有s-擬正規(guī)嵌入子群生成。

引理1[3]設(shè)H是G的子群，H在G中E-可補(bǔ)。

a)如果K是包含H的G的子群，則H在K中E-可補(bǔ)；

b)如果N是G的正規(guī)子群且N包含在H中，則H/N在G/N中E-可補(bǔ)；

c)如果H是G的π-子群,N是G的正規(guī)π′-子群，則HN/N在G/N中E-可補(bǔ)。

引理2[7]假設(shè)G的子群H在G中有p-冪零補(bǔ)充T。

a)如果N?G，則HN/N在G/N中有p-冪零補(bǔ)充TN/N；

b)如果H≤L≤G，則H在L中有p-冪零補(bǔ)充T∩L。

引理3[7]設(shè)G是一個(gè)群，對(duì)于某一整數(shù)m≥1，素?cái)?shù)p滿足pn+1|/|G|。如果(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1，那么G是p-冪零的。

引理4[7]假設(shè)H在G中s-擬正規(guī)，P是H的Sylowp-子群，其中p為一素?cái)?shù)。如果HG=1，則P在G中s-擬正規(guī)。

引理5[7]設(shè)P是G的s-擬正規(guī)p-子群，其中p是|G|的素因子，則NG(P)≥Op(G)。

引理6[3]若p為一素?cái)?shù)，G為群滿足(|G|,p-1)=1。假設(shè)P是G的Sylowp-子群使得P的每一個(gè)極大子群在G中有p-冪零補(bǔ)充，則G是p-冪零的。

引理7[8]設(shè)F是一個(gè)子群閉的飽和群系,H是群G的一個(gè)子群，則Z∞(G)∩H≤Z∞(H)。

引理8[9]設(shè)P是一個(gè)包含在Op(G)中的p-子群，假設(shè)P在G中s-擬正規(guī)嵌入，則P在G中s-擬正規(guī)。

2　主要定理和推論

定理1設(shè)G是一個(gè)群，p是一素?cái)?shù)且對(duì)于某個(gè)不小于1的整數(shù)n，有(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1。如果G有一個(gè)Sylowp-子群P，使得P的每一個(gè)在G中沒有p-冪零補(bǔ)充的n-極大子群(如果存在)在G中E-可補(bǔ)，則G是p-冪零的。

證明：假設(shè)定理1不成立，并設(shè)G為極小階反例。由引理3知，pn+1||G|，由引理6知，P存在極大子群P1使得P1在G中沒有p-冪零補(bǔ)充，故存在P的非單位n-極大子群Pn使得Pn在G中沒有p-冪零補(bǔ)充。因此，由假設(shè)G有一個(gè)非p-冪零子群T使得G=PnT且Pn∩T=(Pn)eG。

a)G不是非交換單群。假設(shè)G為非交換單群，如果(Pn)eG=1，則|T|p=pn。由引理3知，T為p-冪零，矛盾。故假設(shè)(Pn)eG≠1，令U1,U2,…,Us是Pn的所有在G中s-擬正規(guī)嵌入的非單位子群。因此，對(duì)于每一個(gè)i∈{1,2,…,s}，存在G的s-擬正規(guī)子群Ki使得Ui是Ki的Sylowp-子群。通過假設(shè)得(Ki)G=1，由引理4知，Ui是G的s-擬正規(guī)子群。Ui,Ki均為G的s-擬正規(guī)子群，故可得Ui??G,Ki??G，從而得到1≤Ui??Ki??G，矛盾。

b)Op′(G)=1. 假設(shè)Op′(G)≠1，因P是G的Sylowp-子群，所以POp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的Sylowp-子群。令M/Op′(G)是POp′(G)/Op′(G)的n-極大子群，則M=PnOp′(G)，其中Pn為P的n-極大子群。如果Pn在G中有p-冪零補(bǔ)充K，則由引理2a)有M/Op′(G)在G/Op′(G)中有p-冪零補(bǔ)充KOp′(G)/Op′(G)。如果Pn在G中E-可補(bǔ)，則由引理1 c)有M/Op′(G)在G/Op′(G)中E-可補(bǔ)。因此，G/Op′(G)滿足定理1的所有條件。由G的極小性得G/Op′(G)是p-冪零的，故G是p-冪零的。

c)Op(G)≠1. 假設(shè)Op(G)=1，本文分兩種情況討論：如果(Ki)G=1，由a)知Ui是G的s-擬正規(guī)子群，故有(Pn)eG在G中s-擬正規(guī)，可知(Pn)eG次正規(guī)于G，故Pn∩T≤(Pn)eG≤Op′(G)=1，有|T|p=pn，由引理3知，T是p-冪零的，矛盾。如果(Ki)G≠1，則(Ki)G?Op′(G)，與b)Op′(G)=1矛盾。

d)G/L是p-冪零的，對(duì)于包含在Op(G)中的G的任意正規(guī)子群L。如果|G/L|≤pn，則由引理3可知G/L是p-冪零群。故假設(shè)|G/L|≥pn+1。令Mn/L是P/L的任意n-極大子群，顯然易得Mn=Pn。又Pn在G中E-可補(bǔ)，由引理1a)，Mn/L在G/L中E-可補(bǔ)。由G的極小性得G/L是p-冪零的。

e)N=Op(G)是包含在Op(G)中的G的唯一的極小正規(guī)子群，對(duì)于G的某極大子群M有G=NM且M是p-冪零的。設(shè)N是包含在Op(G)中的G的極小正規(guī)子群，顯然，N是初等交換p-群，N是包含在Op(G)中的G的唯一的極小正規(guī)子群且NΦ(G)。因此，存在G的極大子群M使得G=NM，從而M?G/N是p-冪零的且Op(G)=Op(G)∩NM=N(Op(G)∩M)。因?yàn)镹≤Op(G)≤F(G)≤CG(N)，所以O(shè)p(G)∩M在G中正規(guī)，從而Op(G)∩M=1，于是N=Op(G)。

f)P的每一個(gè)n-極大子群在G中有p-冪零補(bǔ)充。令Pn是P的任意n-極大子群，可得Pn在G中有p-冪零補(bǔ)充。否則，Pn在G中E-可補(bǔ)，故存在G的一個(gè)非冪零子群T使得G=PnT且Pn∩T=(Pn)eG。如果(Pn)eG=1，則|T|p=pn。由引理3知，T是p-冪零的，矛盾。故假設(shè)(Pn)eG≠1，令U1,U2,…,Us是Pn的所有在G中s-擬正規(guī)嵌入的非單位子群。因此，對(duì)于每一個(gè)i∈{1,2,…,s}，存在G的s-擬正規(guī)子群Ki使得Ui是Ki的Sylowp-子群。假設(shè)對(duì)于某個(gè)i∈{1,2,…,s}，有(Ki)G≠1，故由e)，N≤(Ki)G≤Ki，從而N≤Ui≤Pn且G=NM=PnM，這說(shuō)明Pn在G中有p-冪零補(bǔ)充M，矛盾。因此，對(duì)于每一個(gè)i∈{1,2,…,s}，有(Ki)G=1。由引理4知，Ui在G中s-擬正規(guī)，因此，(Pn)eG在G中s-擬正規(guī)。由引理5，有NG[(Pn)eG]≥Op(G)。因(Pn)eG次正規(guī)于G，故有Pn∩T≤(Pn)eG≤Op(G)=N，進(jìn)一步得(Pn)eG≤Pn∩N且1<(Pn)eG≤((Pn)eG)G=((Pn)eG)Op(G)P≤(Pn∩N)P=Pn∩N≤N。從而得((Pn)eG)G=Pn∩N=N，故N≤Pn，所以Pn在G中有p-冪零補(bǔ)充M，矛盾。

g) 最后的矛盾。由 d)，P的每一個(gè)極大子群在G中有p-冪零補(bǔ)充，由引理6，G是p-冪零群，矛盾，這表明極小反例不存在，定理結(jié)論成立。

定理2設(shè)G是一個(gè)群，p是一素?cái)?shù)且對(duì)于某個(gè)不小于1的整數(shù)n，有(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1，F(xiàn)是包含所有p-冪零群的飽和群系。則G∈F，當(dāng)且僅當(dāng)G有一個(gè)正規(guī)子群E使得G/E∈F且E有一個(gè)Sylowp-子群P使得P的每一個(gè)在G中沒有p-冪零補(bǔ)充的n-極大子群(如果存在)在G中E-可補(bǔ)。

證明：必要性是顯然的，這里僅給出充分性的證明。假設(shè)定理充分性不成立，并設(shè)G為極小階反例。由引理1 a)知,P的每一個(gè)在G中沒有p-冪零補(bǔ)充的n-極大子群在E中是E-可補(bǔ)的。因此由定理1得，E是p-冪零的。顯然，E≠G。令T是E的正規(guī)Hallp′-子群，則有：

a)T=1，進(jìn)一步得P=E?G。假設(shè)T≠1，由T是E的正規(guī)Hallp′-子群且E?G，可知T?G，故可斷言G/T(相對(duì)于E/T來(lái)說(shuō))滿足定理2的條件。實(shí)際上，(G/T)/(E/T)?G/E∈F且E/T是p-群。令Mn/T是PT/T的一個(gè)n-極大子群且Pn=Mn∩P，其中PT/T在G/T中沒有p-冪零補(bǔ)充，則Pn是P的n-極大子群且Mn=PnT。由假設(shè)，Pn在G中是E-可補(bǔ)。由引理1 a)知，Mn/T=PnT/T在G/T中是E-可補(bǔ)的。由G的極小性，G/T∈F。設(shè)fi(i=1,2)是飽和群系函數(shù)使得N=LF(f1),F=LF(f2)。因?yàn)門是G的正規(guī)p′-子群，所以對(duì)Ti+1≤T的每個(gè)G-主因子Ti+1/Ti和每個(gè)整除|Ti+1/Ti|的素?cái)?shù)q，有G/CG(Ti+1/Ti)∈f1(q)。由N∈F知，f1(q)?f2(q)，得G/CG(Ti+1/Ti)∈f2(q)。又G/T∈F，故G∈F，矛盾。即可知T=1，進(jìn)一步得到P=E?G。

b)設(shè)Q是G的Sylowq-子群，其中q是整除|G|素?cái)?shù)且滿足q≠p，則PQ=P×Q。 由 a)知，P=E?G，故PQ是G的一個(gè)子群。由引理1 a)知，P的每個(gè)在PQ中沒有p-冪零補(bǔ)充的n-極大子群在PQ中E-可補(bǔ)。故由定理1知，PQ是p-冪零的，從而得Q?PQ，故PQ=P×Q。

定理3設(shè)G是一個(gè)群，p是整除|G|的階的素因子。假設(shè)G的每個(gè)p階子群含于Z∞(G)中且G的所有階為4的循環(huán)子群〈x〉在G中E-可補(bǔ)，那么G為p-冪零群。

證明：假設(shè)論斷不成立，并設(shè)G為極小階反例。則：

a)G的每個(gè)真子群是p-冪零的。假設(shè)H是G的真子群并設(shè)〈x〉是G的p-階子群。由定理的條件，〈x〉?Z∞(G)，又由引理7，〈x〉≤Z∞(G)∩H≤Z∞(H)。令〈x〉是H的四階循環(huán)子群。由假設(shè)，〈x〉在G中是E-可補(bǔ)的，則再由引理1 a)知，〈x〉在H中是E-可補(bǔ)的，這樣H滿足定理的假設(shè)。由G的極小性知，H是p-冪零的。

b)G有一個(gè)正規(guī)Sylowp-子群滿足：(i)G=PQ，其中Q是G的Sylowq-子群；(ii)P/Φ(P)是G的主因子；(iii)exp(P)=4或者exp(P)=p。事實(shí)上，G是一個(gè)極小非p-冪零群。因此，由文獻(xiàn)[11]定理8.3.4 b)成立。

c) exp(P)=4. 假設(shè)exp(P)=p，則由定理?xiàng)l件，P≤Z∞(G)，從而G/Z∞(G)?(G/P)/(Z∞(G)/P)是p-冪零的，故G是p-冪零的，矛盾。

d)|x|=4,其中x∈P/Φ(P)。假設(shè)存在x∈PΦ(P)使得|x|=2。設(shè)T=〈x〉G，則T≤P且TΦ(P)/Φ(P)正規(guī)于G/Φ(P)。因?yàn)镻/Φ(P)是G的主因子，所以P=T，從而exp(P)=2，與c)矛盾。

e)最后的矛盾。令T是〈x〉在G中的任意補(bǔ)充，則G=〈x〉T且P=P∩G=P∩〈x〉T=〈x〉(P∩T)。又P/Φ(P)是交換群，有(P∩T)Φ(P)/Φ(P)?G/Φ(P)。然而P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規(guī)子群，故P∩T≤Φ(P)或P=P(P∩T)Φ(P)=P∩T。如果P∩T≤Φ(P)，則〈x〉=P?G，接著由文獻(xiàn)[12]定理10.1.9得G是p-冪零的，矛盾。故假設(shè)P=P∩T，對(duì)任意的補(bǔ)充T，則T=G是〈x〉在G中的唯一的補(bǔ)充。由假設(shè)及G的極小性知，T=G不是p-冪零的，故〈x〉在G中E-可補(bǔ)。由引理8得，〈x〉=〈x〉eG在G中s-擬正規(guī)的，則〈x〉Q是G的真子群且〈x〉Q=〈x〉×Q，從而得到G=P×Q，矛盾。

推論1設(shè)G是一個(gè)群，假設(shè)G的每一個(gè)極小子群含于Z∞(G)中且G的每個(gè)四階循環(huán)子群〈x〉在G中E-可補(bǔ)，則G是p-冪零的。

推論2(文獻(xiàn)[3] 定理3.2) 設(shè)P是G的Sylowp-子群，其中p是整除|G|的最小的素?cái)?shù)，如果P的每一個(gè)在G中沒有p-冪零補(bǔ)充的極大子群在G中E-可補(bǔ)，則G是p-冪零的。

推論3 (文獻(xiàn)[4]，定理3.1) 設(shè)G是一個(gè)群，p是一素?cái)?shù)且對(duì)于某個(gè)不小于1的整數(shù)n，有(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1。如果G有一個(gè)Sylowp-子群P使得P的每一個(gè)n-極大子群(如果存在)在G中或者存在p-冪零補(bǔ)充，或者弱s-可補(bǔ)，則G是p-冪零的。

推論4(文獻(xiàn)[13]，定理) 設(shè)G是一個(gè)群，p是一素?cái)?shù)且對(duì)于某個(gè)不小于1的整數(shù)n，有(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1。如果G有一個(gè)Sylowp-子群P使得P的每一個(gè)n-極大子群(如果存在)在G中或者存在p-冪零補(bǔ)充，或者弱s-可補(bǔ)，則G是p-冪零的。

3　結(jié)　語(yǔ)

群G的所有正規(guī)子群，c-正規(guī)子群、c-可補(bǔ)子群、s-置換子群、弱s-可補(bǔ)子群、s-擬正規(guī)嵌入子群都是G的E-可補(bǔ)子群。本文主要考慮當(dāng)有限群的階滿足(|G|,(p-1)(p2-1)…(pn-1))=1時(shí)，利用子群的E-可補(bǔ)充性研究有限群的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，得到有限群為冪零群以及更一般的屬于包含所有冪零群的飽和群系的條件。在后續(xù)研究中，討論將定理中群G的階的條件削弱為(|G|,p-1)=1時(shí)，群G的Sylow子群的極大子群的E-可補(bǔ)性與有限群的冪零性的關(guān)系。

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(責(zé)任編輯： 康鋒)

Some Primary SubgroupsE-supplemented of Finite Group

YANGXue,YIXiaolan

(School of Science, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

The authors investigated the influence ofE-supplemented subgroups on nilpotency of finite groups by using the method of minimal order counterexample. A series of necessary and sufficient conditions for a group to be nilpotent are obtained in formation by means of some groups ofG, such asn-the maxmal subgroups of the normal subgroup ofG,n-maxmal subgroups of the Sylow subgroup ofG,etc. Some of Skiba and Changwen Li’s results are generalized and improved.

finite group;s-quasi-normality;s-quasi-normalE-embedding;supplemente subgroup;p-nilpotency

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.03.026

2015-5-18

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11471055)

楊雪(1990-)，女，湖北荊門人，碩士研究生，主要從事代數(shù)學(xué)方面的研究。

O152.1

A

1673- 3851 (2016) 02- 0313- 04 引用頁(yè)碼： 030802