江忠偉

（蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)，甘肅　蘭州　730020）

用似然比法則導(dǎo)出威爾克斯分布

江忠偉

（蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué)，甘肅蘭州730020）

在多元統(tǒng)計(jì)分析中需要一些性質(zhì)優(yōu)良的抽樣分布來(lái)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.本文首先從不同角度研究多元正態(tài)分布，在多元統(tǒng)計(jì)分析中，我們以多元方差分析為背景，通過(guò)對(duì)一元方差分析所構(gòu)建的F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推廣，引出我們想要研究的統(tǒng)計(jì)量.

多元正態(tài)分布；似然比統(tǒng)計(jì)量；多元方差分析；威爾克斯分布

1　背景

多維隨機(jī)現(xiàn)象是十分復(fù)雜的，必須使用科學(xué)的方法進(jìn)行研究.一個(gè)很自然的想法是以多元正態(tài)分布為基礎(chǔ)衍生出類似一元統(tǒng)計(jì)分析中的似的三大分布，我們以三大分布為基石進(jìn)行更加細(xì)致的研究，解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.很多經(jīng)典多元統(tǒng)計(jì)分析的教材中都介紹由多元正態(tài)分布衍生出的三大分布，但是介紹得不夠詳細(xì)，沒(méi)有給出具體的背景，僅僅給出一個(gè)定義，這對(duì)我們理解它們以及進(jìn)行更深入的研究是不利的.本文首先從不同角度定義多元正態(tài)分布，接著介紹矩陣正態(tài)分布，最后由一元方差分析推廣到多元方差分析為背景，引出了威爾克斯分布.

2　多元正態(tài)分布的三種定義

2.1橫向推廣法

一元正態(tài)分布中，若Y～N（0，1），則X=μ+δY～N*μ，δ2）.利用這種思想我們可以定義多元正態(tài)分布.

設(shè)y=（y1，…yq），y1，…yq獨(dú)立同分布N（0，1），μ為p維常數(shù)向量，A為p行q列的常數(shù)矩陣，則稱x=μ+A'y的分布為多元正太分布.

2.2特征函數(shù)法

上面的定義僅僅描述了多元正態(tài)分布，我們需要研究多元正太分布的相關(guān)性質(zhì).需要像一元正態(tài)分布那樣給出具體的密度函數(shù).由獨(dú)立同分布的性質(zhì)及2.1得：

由y=（A'）-1（x-μ）、（1）式、雅可比變換可得：

其中∑=A'A，這里我們要求∑＞0.為了把多元正態(tài)分布推廣到更一般的情形，即推廣到協(xié)方差矩陣∑是非負(fù)定的情形∑≥0，可以用特征函數(shù)代替分布函數(shù).

設(shè)Y～N（0，1），Y的特征函數(shù)g（t）為：

若X=μ+δY～N（μ，δ2），則相應(yīng)的特征函數(shù)為：

同理，多元正態(tài)分布的特征函數(shù)也可以做類似的推廣. 設(shè)y=（y1，…，yq），y1，…yq獨(dú)立并且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.對(duì)任意的向量t=（t1，…，tq），由獨(dú)立同分布的性質(zhì)知：

平行推廣，若x=μ+A'y，μ為p維常數(shù)向量，A為p行q列的常數(shù)矩陣.則：

綜上，得出了多元正態(tài)分布的特征函數(shù)，顯然（2）式只與μ、A'A有關(guān)，可以令A(yù)'A=∑，用x～Np（μ，∑）表示滿足（2）的x服從多元正態(tài)分布.

2.3線性組合法

設(shè)x是p維隨機(jī)向量，若x的任一線性組合a'x（a∈Rp）都是一元正態(tài)分布，則我們可以說(shuō)x服從多元正太分布.下面證明這一結(jié)論.

證明a'x（a∈Rp）服從一元正態(tài)分布，則它的各階矩都存在.令μ=ε（x），∑=D（x），于是：E（a'x）=a'μ，V AR（a'x）=a'∑a，

又因?yàn)閍'x～N（a'μ，a'∑a），a'x的特征函數(shù)為：

取θ=1，則

（3）式的右邊恰好與上面2.2的（2）的右邊一樣，所以2.2與2.3可以看成是等價(jià)的.即x～Np（μ，∑）.

3　多元正態(tài)分布似然函數(shù)的極值問(wèn)題

3.1矩陣正態(tài)分布

若矩陣的各個(gè)元素均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，稱該矩陣為矩陣正態(tài)分布.類似的，我們可以采取上面多元正態(tài)分布定義2.1將矩陣正態(tài)分布推廣到一般的情形.

若BB'＞0，AA'＞0，W=BB'，V=AA'則有密度函數(shù)：

3.2多元正態(tài)分布似然函數(shù)的極值問(wèn)題

若我們從Np（μ，∑）抽取n個(gè)獨(dú)立樣本.這n個(gè)樣本可以組成矩陣X，X服從矩陣正態(tài)分布.我們求多元正態(tài)分布似然函數(shù)的極值問(wèn)題，轉(zhuǎn)換成求矩陣正態(tài)分布密度函數(shù)的極大值）.由上面的（4）知X的密度函數(shù)為，

于是，

當(dāng)且僅當(dāng)μ=x，等式成立.所以，

當(dāng)n＞P時(shí)，P（A＞0）=1，此時(shí)有非退化隨機(jī)陣C，使A=CC'.

最終得出極大值為：

4　威爾克斯分布

若正態(tài)總體是多元正態(tài)總體，設(shè)有k個(gè)總體G1，…，Gk，從這k個(gè)總體獨(dú)立抽取樣本為：

xjα，α=1，…，k；j=1，…，nα相互對(duì)立，要檢驗(yàn)：

H0:μ1=…=μk，H1:存在i≠j，使μi≠μj.

多元方差分析需要構(gòu)建什么樣的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，一個(gè)很自然的想法是將一元方差分析中的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推廣.F統(tǒng)計(jì)量的組間方差、組內(nèi)方差推廣后成為組間離差陣、組內(nèi)離差陣.我們需要解決兩個(gè)問(wèn)題，第一，怎樣導(dǎo)出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量；第二，推廣后的統(tǒng)計(jì)量服從什么分布.

首先，解決第一個(gè)問(wèn)題.這里采取似然比法則導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量.組間離差矩陣、組內(nèi)離差矩陣、組內(nèi)離差矩陣分別為：

易見(jiàn)T=B+E.似然比統(tǒng)計(jì)量為：

前面介紹過(guò)多元正態(tài)分布似然函數(shù)的極值問(wèn)題，

類似上式（5），可以求得極大值：

因此似然比統(tǒng)計(jì)量：

接下來(lái)，回答第二個(gè)問(wèn)題.我們稱形如（6）統(tǒng)計(jì)量成為威爾克斯統(tǒng)計(jì)量.下面給出更一般的定義：設(shè)A～Wp（n，∑）和B～Wp（m，∑）相互獨(dú)立，n＞p，m＞p則稱：服從威爾克斯分布，記作：Λ～Λp，n，m.

5　總結(jié)

5.1進(jìn)行多元方差分析時(shí)，需要導(dǎo)出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，由一元方差分析的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量推廣到多元，研究推廣后的統(tǒng)計(jì)量，得出該統(tǒng)計(jì)量服從威爾克斯分布.

5.2威爾克斯分布同F(xiàn)分布一樣要求分子分母是獨(dú)立的，證明方法很多.我們可以構(gòu)建投影陣，利用推廣后的科克朗定理很容易證明E和T是獨(dú)立的.

5.3從多元正態(tài)分布中抽取樣本時(shí)，要求樣本容量n大于p，如果n小于p，我們?nèi)绾慰朔@個(gè)問(wèn)題？

〔1〕傅德印，張旭東.EXCFL與多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.北京：中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，2007.

〔2〕方開(kāi)泰.實(shí)用多元統(tǒng)計(jì)分析［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，1989.

〔3〕茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2006.

O212.1

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