趙希梅， 馬志軍， 朱國(guó)昕

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 沈陽(yáng) 110870)

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永磁直線同步電機(jī)自適應(yīng)PD型迭代學(xué)習(xí)控制*

趙希梅， 馬志軍， 朱國(guó)昕

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 沈陽(yáng) 110870)

針對(duì)永磁直線同步電機(jī)伺服系統(tǒng)易受摩擦力、端部效應(yīng)和測(cè)量擾動(dòng)等不確定因素影響的問(wèn)題，提出一種自適應(yīng)PD型迭代學(xué)習(xí)控制方法.該控制方法根據(jù)誤差的大小在線智能地調(diào)整學(xué)習(xí)增益，從而抑制擾動(dòng)，并在控制器的微分系數(shù)上引入指數(shù)學(xué)習(xí)增益，實(shí)現(xiàn)收斂速度與跟蹤精度之間的折衷；從理論上證明了自適應(yīng)PD型ILC的收斂性，分析了該控制算法的優(yōu)越性.結(jié)果表明，與傳統(tǒng)PD型ILC相比，自適應(yīng)PD型ILC具有更快的收斂速度和更強(qiáng)的魯棒性，大大地減小了跟蹤誤差.

永磁直線同步電機(jī)； 擾動(dòng)； 自適應(yīng)PD型ILC； 學(xué)習(xí)增益； 跟蹤精度； 收斂速度； 魯棒性； 跟蹤誤差

永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)與傳統(tǒng)“旋轉(zhuǎn)電機(jī)+滾珠絲杠”的驅(qū)動(dòng)方式相比，采用了直接驅(qū)動(dòng)方式，其中間不需要任何的轉(zhuǎn)換環(huán)節(jié)，具有推力大、損耗低、響應(yīng)速度快、精度高等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域[1-3].但參數(shù)變化、摩擦力、端部效應(yīng)、測(cè)量擾動(dòng)和齒槽力等擾動(dòng)將毫無(wú)衰減地反映到電機(jī)動(dòng)子及控制器上，增加了控制的難度[4-6]，因此，需要設(shè)計(jì)一個(gè)具有強(qiáng)跟蹤性和強(qiáng)魯棒性的控制器.

由于PMLSM伺服系統(tǒng)存在不確定性擾動(dòng)，傳統(tǒng)的PID反饋控制很難對(duì)PMLSM進(jìn)行高精度跟蹤控制.魯棒控制雖然不需要系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，但很難對(duì)直線電機(jī)的非線性完全補(bǔ)償[7].文獻(xiàn)[8]采用預(yù)測(cè)函數(shù)控制提高系統(tǒng)跟蹤性能，具有較強(qiáng)的抗擾能力，但控制精度不高；文獻(xiàn)[9]利用減小增益迭代學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)一定區(qū)間內(nèi)直線電機(jī)位置完全跟蹤，但隨著迭代次數(shù)的增加，收斂速度降低；文獻(xiàn)[10]采用開環(huán)P型ILC補(bǔ)償測(cè)量誤差，但非重復(fù)性擾動(dòng)使電機(jī)位置的波動(dòng)較大.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出一種自適應(yīng)PD型ILC方法，根據(jù)誤差的大小在線調(diào)整控制器的學(xué)習(xí)增益，避免大的學(xué)習(xí)增益降低系統(tǒng)的跟蹤精度，同時(shí)將指數(shù)學(xué)習(xí)增益引入到控制器的微分系數(shù)中，加快了收斂速度，最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出控制方法的有效性.

1　PMLSM數(shù)學(xué)模型

PMLSM的電磁推力方程[11]為

(1)

式中：F為電磁推力；τ為極距；id、iq分別為動(dòng)子d、q軸電流；Ld、Lq分別為動(dòng)子d、q軸電感；λPM為定子永磁體產(chǎn)生的勵(lì)磁磁鏈.

對(duì)PMLSM進(jìn)行矢量控制，電流內(nèi)環(huán)采用磁場(chǎng)分量id=0 A的控制策略，使動(dòng)子電流矢量與定子永磁體磁場(chǎng)在空間上正交，則PMLSM的推力方程為

(2)

式中，KF為推力系數(shù).機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

式中：m為動(dòng)子質(zhì)量；v為動(dòng)子速度；B為粘滯摩擦系數(shù)；FL為負(fù)載阻力.PMLSM運(yùn)行時(shí)，負(fù)載阻力FL主要包括摩擦力、端部效應(yīng)和齒槽力，摩擦力可用LuGre模型[12]表示為

friction(v)=[fc+(fm-fc)e-(v/vs)2]sgn[v]

(4)

端部效應(yīng)和齒槽力的表達(dá)式為

Fend(y)=A1cos(2πy/τ+θ)

(5)

Fslot(y)=A2sin(2πy/τ)

(6)

式中：fc為庫(kù)侖摩擦力；fm為最大靜摩擦力；vs為潤(rùn)滑系數(shù)；Fend為端部效應(yīng)；Fslot為齒槽力；A1為端部效應(yīng)的幅值；A2為齒槽力的幅值；y為動(dòng)子輸出位置；θ為初始相位電角度.

若取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為y和v，并設(shè)狀態(tài)向量為x(t)=[y(t)，v(t)]T，由式(2)和式(3)可以推出PMLSM的狀態(tài)方程為

(7)

2　控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1PMLSM迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)

PMLSM的迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)框圖如圖1所示.ILC為自適應(yīng)PD型迭代學(xué)習(xí)控制器，P為被控對(duì)象PMLSM，uk為第k次迭代的PMLSM輸入控制信號(hào)，uk+1為第k+1次迭代的PMLSM輸入控制信號(hào)，yd為給定的期望位置信號(hào)，yk+1為第k+1次迭代的系統(tǒng)輸出位置信號(hào)，zk+1為第k+1次迭代的測(cè)量信號(hào)，ek+1為第k+1次迭代的位置誤差，ηk+1為測(cè)量擾動(dòng)信號(hào)，C為PD反饋控制器，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性和穩(wěn)定性.

圖1　永磁直線同步電機(jī)迭代學(xué)習(xí)控制系統(tǒng)框圖

2.2自適應(yīng)PD型迭代學(xué)習(xí)控制器

在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析前需要做出兩個(gè)定義，定義測(cè)量誤差為

ek(t)=yd(t)-zk(t)

(8)

由于迭代學(xué)習(xí)控制器的設(shè)計(jì)是為了提高跟蹤期望軌跡的能力，即減小跟蹤誤差，所以定義跟蹤誤差為

εk(t)=yd(t)-yk(t)

(9)

由圖1可以看出yk(t)=zk(t)-ηk(t)，結(jié)合式(8)和式(9)得出

ek(t)=εk(t)-ηk(t)

(10)

(11)

傳統(tǒng)的PD型ILC學(xué)習(xí)律為

(12)

式中，K1、K2為兩個(gè)恒定不變的學(xué)習(xí)增益.為了改善控制性能，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)增益在線調(diào)整的自適應(yīng)PD型ILC學(xué)習(xí)律為

uk+1(t)=uk(t)+f(ek+1(t))[K3ek+1(t)+

(13)

式中：eβt為指數(shù)變?cè)鲆婧瘮?shù)，在閉環(huán)PD型ILC中可提高系統(tǒng)的收斂速度；f()為與誤差邊界α相關(guān)并隨誤差大小變化的非線性函數(shù)，其表達(dá)式為

(14)

其變化曲線如圖2所示.

圖2　增益函數(shù)f(ek)

式(14)結(jié)合式(13)可以得知，當(dāng)誤差較大時(shí)，控制器為含有指數(shù)增益的PD型ILC；當(dāng)誤差較小但大于α?xí)r，為變?cè)鲆婵刂破?，此時(shí)減小了學(xué)習(xí)增益，可提高控制精度；當(dāng)誤差小于α?xí)r，由于uk+1-uk=0，停止學(xué)習(xí).由于測(cè)量擾動(dòng)信號(hào)一般集中在幅值較小的范圍，大的α使系統(tǒng)過(guò)濾掉過(guò)多有用的信號(hào)，因此，為了去掉擾動(dòng)信號(hào)的同時(shí)保留有用信號(hào)，α應(yīng)選擇為小于測(cè)量擾動(dòng)幅值并且小于誤差幅值的值.

2.3收斂性分析

由于負(fù)載阻力FL(t)是與位置和速度相關(guān)的函數(shù)，PMLSM第k次運(yùn)行的狀態(tài)方程可表示為

(15)

式中，g為與位置相關(guān)的非線性函數(shù).

引理假設(shè)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程滿足以下假設(shè)條件：

2) 每次運(yùn)行的初始誤差是一個(gè)收斂到0的序列；

3) 存在理想的控制信號(hào)ud(t)使系統(tǒng)狀態(tài)和輸出期望狀態(tài)為xd(t)、yd(t)；

4) D(t)和ηk(t)有界；

5) I+K4eβtf(ek(t))CD(t)存在逆矩陣.

證明：

令g1(t，x)=g(t，xd(t))-g(t，xd(t)-x)，

?x∈Rn

(16)

δuk(t)=ud(t)-uk(t)

(17)

δuk+1(t)=ud(t)-uk+1(t)

(18)

式(17)、(18)結(jié)合式(15)可以得到

δuk+1(t)=δuk(t)+uk(t)-uk+1(t)=

δuk(t)-(K3f(ek+1(t))ek+1(t)+

(19)

同時(shí)可以得到

εk(t)=yd(t)-yk(t)=Cδxk(t)

(20)

由式(20)和式(15)得

C[g(t，δxk+1(t))+D(t)δuk+1(t)]

(21)

式(21)結(jié)合式(11)可知

ηk+1(t)

(22)

故

δuk+1(t)=δuk(t)+uk(t)-uk+1(t)=

δuk(t)-K3f(ek+1(t))(Cδxk+1(t)-

ηk+1(t))-K4eβtf(ek+1(t))·

[C(g1(t，δxk+1(t))+D(t)δuk+1(t)-

ηk+1(t))]

(23)

由引理中的條件4)與式(23)可得

δuk+1(t)=(I+K4eβtCD(t))-1δuk(t)-

(I+K4eβtCD(t))-1(K3f(ek+1(t))·

(Cδxk+1(t)-ηk+1(t))+

K4eβtf(ek+1(t))[C(g1(t，δxk+1(t))-

ηk+1(t))]

(24)

令P(t)=(I+K4eβtCD(t))-1，則式(24)改寫成

δuk+1(t)=P(t)δuk(t)-P(t)(K3f(ek+1(t))·

(Cδxk+1(t)-ηk+1(t))+

K4eβtf(ek+1(t))[C(g1(t，δxk+1(t))-

ηk+1(t))]

(25)

由式(15)可知

(26)

結(jié)合引理中條件1)，則

(27)

由Bellman-Gronwell引理和條件2)可知

(28)

(29)

(30)

那么，存在與α和β相關(guān)的m2使

(31)

則式(24)可以寫成

δuk+1(t)=(P+Qk+1(δuk、t))=

(P+Qk+1)(P+Qk)…

(P+Q1(δu0、t))

(32)

因此，可以得到

(33)

(34)

當(dāng)誤差小于α?xí)r，由式(30)可知，擾動(dòng)和可用控制信號(hào)的系數(shù)都為0，因此達(dá)到高跟蹤精度時(shí)系統(tǒng)停止學(xué)習(xí)，在滿足收斂條件下，由式(30)和(33)可推出，存在與α和β相關(guān)的m4使

(35)

3　實(shí)驗(yàn)結(jié)果

基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)原理框圖如圖3所示，本實(shí)驗(yàn)采用TMS320LF2407ADSP為核心控制單元，驅(qū)動(dòng)電路采用IPM，動(dòng)子電流檢測(cè)單元采用霍爾傳感器，位置、速度檢測(cè)采用直線光柵尺.PMLSM采用派克公司的I-Force系列110-2，直線電機(jī)的參數(shù)為：m=0.66kg，B=0.2N·s/m，R=1Ω，τ=60.96mm，p=4，Ψ=0.16Wb，L=8.5mH.PMLSM伺服系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示.

圖3　PMLSM控制系統(tǒng)原理框圖

圖4　PMLSM控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置

為了驗(yàn)證所提出控制方案的有效性，對(duì)基于PD型ILC的PMLSM伺服系統(tǒng)和基于自適應(yīng)PD型ILC的PMLSM伺服系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比研究.實(shí)驗(yàn)中給定的期望位置為

yd(t)=0.05sin(0.012 1t5-0.150 8t4+

0.502 7t3)

(36)

對(duì)式(36)中的位置進(jìn)行跟蹤，把均方根誤差erms作為跟蹤精度指標(biāo)，其表達(dá)式為

(37)

式中：ε(j)為采樣點(diǎn)誤差；N為采樣點(diǎn)數(shù)量.通過(guò)反復(fù)調(diào)試選取最優(yōu)參數(shù)，PD型ILC的參數(shù)選擇為K1=1 050、K2=1.5，反饋控制器的參數(shù)為KP=1 800、KD=0.05.實(shí)驗(yàn)測(cè)得非重復(fù)性擾動(dòng)信號(hào)的幅值主要集中在20 μm以下，因此自適應(yīng)PD型ILC的參數(shù)選取為K3=1 050、K4=1.5，α=8×10-8、β=1.13，反饋控制器與PD型ILC相同.

圖5a為PD型ILC和自適應(yīng)PD型ILC的位置跟蹤曲線，圖5b為PD型ILC迭代7次后的位置誤差曲線，圖5c為自適應(yīng)PD型ILC迭代7次后的位置誤差曲線.由圖5b可知，傳統(tǒng)PD型ILC的最大位置誤差為18μm，從圖5c可以看出，自適應(yīng)PD型ILC的最大位置誤差為10.5μm，經(jīng)對(duì)比可知，最大位置誤差減小了約2/5.

圖5　PMLSM位置跟蹤結(jié)果

圖6為采用PD型ILC和自適應(yīng)PD型ILC位置跟蹤時(shí)均方根誤差erms隨迭代次數(shù)變化的曲線.由圖可以看出，自適應(yīng)PD型ILC迭代4次后的均方根誤差小于PD型ILC迭代7次后的均方根誤差，具有更快的收斂速度，減少了迭代次數(shù)，并且每次迭代的均方根誤差比PD型ILC小.

圖6　隨迭代次數(shù)變化的均方根誤差曲線

4　結(jié)　論

本文設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)PD型ILC對(duì)PMLSM伺服系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤控制研究，解決了一般控制方法要求精確的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及無(wú)法對(duì)非線性完全進(jìn)行補(bǔ)償?shù)葐?wèn)題，給出了系統(tǒng)收斂性的分析與證明.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的自適應(yīng)PD型ILC能有效地抑制擾動(dòng)，減弱擾動(dòng)在迭代過(guò)程中的積累，與傳統(tǒng)的PD型ILC相比，自適應(yīng)PD型ILC提高了控制精度，加快了收斂速度，具有很好的魯棒性.

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(責(zé)任編輯：景勇英文審校：尹淑英)

Adaptive PD-type iterative learning control for permanent magnet linear synchronous motor

ZHAO Xi-mei, MA Zhi-jun, ZHU Guo-xin

(School of Electrical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

In order to solve the problem that the servo system of permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM) is easily affected by such uncertainty factors as friction, end effect and measurement disturbance, an adaptive PD-type iterative learning control (ILC) method was proposed. According to the size of the error, the control method could intelligently adjust the learning gain so as to restrain the disturbance. Simultaneously, the exponential learning gain was introduced for the differential coefficient, which could achieve the compromise between both convergence rate and tracking precision. The convergence of adaptive PD-type ILC was theoretically proved, and the superiority of the proposed control algorithm was analyzed. The results indicate that compared with the traditional PD-type ILC, the adaptive PD-type ILC has faster convergence rate and stronger robustness, and can greatly reduce the tracking error.

permanent magnet linear synchronous motor (PMLSM); disturbance; adaptive PD-type ILC; learning gain; tracking precision; convergence rate; robustness; tracking error

2015-05-26.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175349)； 遼寧省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(L2013060)； 沈陽(yáng)市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(F12-277-1-70).

趙希梅(1979-)，女，吉林德惠人，副教授，主要從事直線伺服、數(shù)控技術(shù)及魯棒控制等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2016.01.02

TM 315

A

1000-1646(2016)01-0007-06

*本文已于2015-12-07 16∶16在中國(guó)知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版. 網(wǎng)絡(luò)出版地址： http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20151207.1616.010.html