李小華，嚴　慰

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051)

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一類廣義時滯擴展大系統(tǒng)H魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定

李小華，嚴慰

(遼寧科技大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，遼寧 鞍山 114051)

研究一類具有狀態(tài)時滯的廣義互聯(lián)大系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)擴展時的分散狀態(tài)反饋H控制問題.該問題要求在不改變原廣義大系統(tǒng)H分散控制律的基礎(chǔ)上設(shè)計新加入子系統(tǒng)的H魯棒分散關(guān)聯(lián)控制律，使新子系統(tǒng)及擴展后的廣義大系統(tǒng)都具有魯棒關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性.首先給出擴展結(jié)構(gòu)的廣義時滯大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，然后利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式(linear matrix inequality,簡稱LMI)的方法，在廣義大系統(tǒng)容許性的基礎(chǔ)上，給出了廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的充分條件及狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法，且該控制器滿足給定的H性能.

廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)；魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定；狀態(tài)反饋控制；線性矩陣不等式

在實際控制系統(tǒng)中，由于元器件的老化、靈敏度不夠以及信息傳遞的延遲等原因，時滯的現(xiàn)象不可避免.而廣義時滯系統(tǒng)是比正常時滯系統(tǒng)更加廣泛的一類系統(tǒng)，所以，對廣義時滯系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和實用價值.近年來，對廣義時滯系統(tǒng)穩(wěn)定性與魯棒控制的研究已取得許多的成果[1-5],特別是對廣義時滯大系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和分散魯棒控制問題也已有一些研究.針對時滯關(guān)聯(lián)不確定廣義大系統(tǒng)，有：基于Lyapunov方法研究其廣義輸出反饋的時滯相關(guān)分散魯棒鎮(zhèn)定問題[6]；基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality,簡稱LMI)和Lyapunov方法研究一類不確定性關(guān)聯(lián)時滯廣義大系統(tǒng)的分散鎮(zhèn)定問題[7-8]；利用Lyapunov方法，研究狀態(tài)時滯離散廣義大系統(tǒng)的線性情形和非線性情形的穩(wěn)定性問題[9]；基于狀態(tài)時滯Lyapunov-Krasovskii泛函的方法和大系統(tǒng)分散控制理論研究一類模糊時滯廣義大系統(tǒng)H分散控制問題[10].這些文獻都沒有考慮廣義時滯大系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性，更沒有考慮廣義時滯大系統(tǒng)發(fā)生結(jié)構(gòu)擴展時系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定問題.因為在當(dāng)今社會的飛速發(fā)展中，大系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)擴展是十分常見的,如電力系統(tǒng)的在線擴容、交通系統(tǒng)控制區(qū)域的擴大等.這種結(jié)構(gòu)變化會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，相關(guān)文獻早已注意到這個問題[11]，并采用頻域法對此類大系統(tǒng)進行了關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的研究，且獲得一些針對該問題的研究成果[12-13].然而，對于廣義大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)擴展方面的研究及廣義時滯大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定方面的研究尚未見報道.

作者利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI研究一類狀態(tài)時滯廣義互聯(lián)大系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)擴展時的分散H狀態(tài)反饋控制問題，建立了此類廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，給出了系統(tǒng)魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的充分條件，并給出了新加入子系統(tǒng)關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法.該控制器可使新子系統(tǒng)及擴展后的閉環(huán)大系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，且滿足給定的H性能指標.

1　廣義互聯(lián)大系統(tǒng)模型及預(yù)備知識

考慮一類由N個子系統(tǒng)構(gòu)成的廣義時滯互聯(lián)大系統(tǒng)SN，其數(shù)學(xué)描述為

(1)

(2)

其中

各子系統(tǒng)間的關(guān)聯(lián)矩陣可表示為

(3)

當(dāng)結(jié)構(gòu)擴展時，有新子系統(tǒng)加入大系統(tǒng)，可用圖1的形式明確表示出結(jié)構(gòu)擴展的情況.

圖1　廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)Fig.1　The basic structure of the large-scale descriptor time-delay systems with expanding construction

新加入的子系統(tǒng)SN+1的數(shù)學(xué)描述為

(5)

(6)

將式(5)寫成如下閉環(huán)形式

(7)

(6)和(7)式可進一步寫為

(8)

其中

(8)式表示出廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)的閉環(huán)模型.

定義1[14]若存在s∈C，使得det(sE-A-Ade-sτ)≠0，則稱廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)(8)是正則的.

定義2[14]如果廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)(8)正則、穩(wěn)定、無脈沖，則稱該系統(tǒng)是容許的.

(9)

則稱系統(tǒng)(8)是漸進穩(wěn)定的，且具有H性能.

引理1[16]設(shè)X和Y是具有適當(dāng)維數(shù)的向量或矩陣，則?ε>0，有

(10)

2　主要結(jié)果及證明

假設(shè)1原結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)已具有魯棒H分散關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律，且正則、無脈沖、關(guān)聯(lián)穩(wěn)定.

假設(shè)2新加子系統(tǒng)SN+1同樣滿足正則無脈沖條件.

下面考慮擴展結(jié)構(gòu)廣義時滯互聯(lián)大系統(tǒng)在具有不確定外界擾動時的H魯棒分散控制問題.對這樣的擴展結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進行控制設(shè)計，基本出發(fā)點是在不改變原結(jié)構(gòu)的分散控制律的基礎(chǔ)上，設(shè)計新加入子系統(tǒng)的H魯棒分散控制律，使得新子系統(tǒng)及擴展后的大系統(tǒng)均具有關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性并且具有H性能.

定理對于給定的廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)(8)，如果存在正定矩陣PN，PN+1，RN，RN+1和矩陣LN+1,MN+1，以及正實數(shù)β,γN,γN+1和常數(shù)δ，滿足下面的不等式

(11)

(12)

其中

則系統(tǒng)(8)可魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定且具有給定的H性能指標.其新加入的子系統(tǒng)的魯棒分散鎮(zhèn)定控制律可由求出.

證明由文獻[18]可知，若要保證廣義擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)(8)正則無脈沖即容許性的條件，則必須滿足

(13)

(14)

其中：β取任意小的正常數(shù).這樣等式的形式轉(zhuǎn)變成了線性矩陣不等式的形式，展開后可以得到定理中的(11)式.

選擇Lyapunov函數(shù)

(15)

其中

式(15)對時間的導(dǎo)數(shù)為

(16)

由引理1，(16)式得

(17)

設(shè)λmax(QTQ)=η，λmax(QTQ)表示QTQ的最大特征值.根據(jù)假設(shè)3,有

(18)

再令α2η=δ2，則有hTh≤δ2xT(t)x(t).針對系統(tǒng)(8)，當(dāng)ω(t)=0，有

(19)

其中

(20)

如果Φ<0成立，則系統(tǒng)(8)是漸進穩(wěn)定的.(20)式中，有

(21)

將(21)式帶入到(20)式并展開得

(22)

其中

下面考慮H性能，即證明‖‖,?T>0成立，假設(shè)系統(tǒng)滿足零初始條件，考慮泛函指標

(23)

對(23)式變形得

(24)

由于在系統(tǒng)的零初始條件下V(x(T))≥0，故有

(25)

其中

(26)

對(26)式用Schur補引理可得

(27)

將(27)式改寫成(28)式的分塊矩陣的形式

(28)

其中：(28)式中的Φ即為(20)式.設(shè)ek為單位陣的第k列，如果Γ<0成立，則

故擴展后的廣義時滯大系統(tǒng)也滿足H條件，即系統(tǒng)(8)是漸進穩(wěn)定的且具有給定的H范數(shù)界γ.將Γ<0展開并且兩邊同乘,I,I,I,I,I,I,I,I).設(shè)，利用Schur補引理,Γ<0可以等價為

(29)

由于表示結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的Fij從1變?yōu)?或從0變?yōu)?時, 系統(tǒng)互聯(lián)的變化仍在互聯(lián)項所約束限制的范圍內(nèi), 故控制律KN+1可以使廣義時滯擴展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)關(guān)聯(lián)穩(wěn)定并且具有給定的H性能.

3　結(jié)束語

論文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和LMI方法研究了一類廣義時滯大系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)擴展時的狀態(tài)反饋系統(tǒng)H魯棒分散控制問題，給出了這類系統(tǒng)漸進穩(wěn)定的充分條件以及相應(yīng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計方法.該方法可在不改變原系統(tǒng)分散控制律的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計新加入子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律，使新加入的子系統(tǒng)及擴展后的廣義時滯大系統(tǒng)均是穩(wěn)定且關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的,同時還保證了廣義時滯大系統(tǒng)正則和無脈沖.

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(責(zé)任編輯朱夜明)

Robust decentralized H-infinity connective stabilization for a class of large-scale descriptor time-delay systems with expanding construction

LI Xiaohua , YAN Wei

(School of Electronic and Information Engineering, University of Science and Technology Liaoning，Anshan 114051,China)

Robust decentralizedH-infinity control problem base on state feedback for a class of state time-delay large-scale descriptor systems with expanding construction was studied in this paper. So-called expanding construction was that there was a new subsystem to be added in the original system which was running. Firstly, the mathematical description of large-scale descriptor time-delay systems was given. Then, based on admissibility of the descriptor large-scale systems, the sufficient conditions of robust decentralized connective stabilization were obtained for the descriptor large-scale system with expanding construction by using Lyapunov theory and LMI approach. And the design approach satisfyingH-infinity performance for the state feedback controllers was presented.

large-scale descriptor time-delay systems with expanding construction; decentralized connective stabilization; state feedbackH-infinity control; LMI

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.02.001

2015-05-31

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項目(61403177)

李小華 (1964-)，女，河南鄭州人，遼寧科技大學(xué)教授，博士.

TP273

A

1000-2162(2016)02-0001-08