帶非線性阻尼項(xiàng)n維歐拉方程組經(jīng)典解的爆破

朱旭生，趙康鑫，傅春燕，王　莉

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

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帶非線性阻尼項(xiàng)n維歐拉方程組經(jīng)典解的爆破

朱旭生，趙康鑫，傅春燕，王莉

(華東交通大學(xué) 理學(xué)院，江西 南昌 330013)

研究了n維空間帶非線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組初值問(wèn)題經(jīng)典解的爆破。當(dāng)初值條件有緊支集時(shí)，利用泛函方法，證明了如果非線性阻尼系數(shù)有界時(shí)，其初值問(wèn)題的經(jīng)典解必定會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

非線性阻尼；歐拉方程組；泛函方法；經(jīng)典解；爆破

0　引言

本文主要考慮如下n維等熵可壓縮歐拉方程組的初值問(wèn)題：

(1)

對(duì)應(yīng)的初始條件為：

(2)

對(duì)于歐拉方程組經(jīng)典解的研究有很多，主要集中在一維或三維空間中歐拉方程組整體解存在[1-4]以及經(jīng)典解的爆破[5-11]方面。文獻(xiàn)[1-3]分析了帶線性阻尼項(xiàng)的等熵歐拉方程組，當(dāng)初始數(shù)據(jù)是常狀態(tài)附近的小擾動(dòng)時(shí)，利用能量估計(jì)法，證明了經(jīng)典解的整體存在。文獻(xiàn)[5,7-8]研究了不帶阻尼項(xiàng)的可壓縮歐拉方程組經(jīng)典解的爆破。而對(duì)于帶非線性阻尼項(xiàng)的歐拉方程組的研究[4,6]卻很少。本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，將一維空間中的阻尼系數(shù)(α+f(u))推廣到n維空間的一般非線性函數(shù)α(ρ,u)。結(jié)合文獻(xiàn)[5]的方法，分別在m(0)≥0和m(0)<0這兩種條件下，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆汉?，得到了?dāng)初始數(shù)據(jù)較大時(shí)，經(jīng)典解不會(huì)整體存在的結(jié)論。

1　預(yù)備知識(shí)

定義

(3)

引理1[1]設(shè)(ρ,u)是初值問(wèn)題(1)和初始條件(2)在Rn×[0,T)的C1解，則：

(4)

引理2[5]設(shè)(ρ,u)是初值問(wèn)題(1)和初始條件(2)在Rn×[0,T)的C1解，則對(duì)所有的0≤t

m(t)=m(0)。

(5)

2　主要結(jié)論

定義：

F1(t)=∫Rnx·ρudx=∫B(t)x·ρudx；

(6)

(7)

當(dāng)m(0)≥0時(shí)，若F1(0)足夠大，可以證明初值問(wèn)題(1)和初始條件(2)的經(jīng)典解會(huì)爆破。

證明由于

F1(t)=∫Rnx·ρudx=∫B(t)x·ρudx，

所以

再由初值問(wèn)題(1)，通過(guò)分部積分得到：

(8)

其中：

可以采用H?lder不等式進(jìn)行證明：

由于

所以

(9)

另外，對(duì)于∫B(t)α(ρ,u)x·ρudx的處理，有：

采用Schwarz不等式和基本不等式，對(duì)上式作以下處理：

所以

(10)

將式(9)和式(10)代入式(8)就可以化為：

(11)

再由Schwarz不等式得：

(12)

綜合式(11)和式(12)得：

(13)

當(dāng)0≤t≤τ，式(13)可化為：

(14)

由定理1中條件可知：

所以式(14)可以改寫成：

(15)

然后對(duì)式(15)兩邊同時(shí)在[0,t]積分，就可得到：

(16)

注:一般情況下考慮0≤α(ρ,u)≤β，從定理1的證明過(guò)程中來(lái)看，當(dāng)α(ρ,u)為負(fù)值時(shí)也成立，稱之為反阻尼系數(shù)。適當(dāng)程度下，當(dāng)初始數(shù)據(jù)較大時(shí)，經(jīng)典解也必定會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)爆破。

當(dāng)m(0)<0時(shí)，若F1(0)足夠大，同樣可以證明初值問(wèn)題(1)和初始條件(2)的經(jīng)典解會(huì)爆破。

證明一方面，同定理1中式(8)，再利用式(10)，有：

(17)

p′(ρ)=Aγργ-1>0，p″(ρ)=Aγ(γ-1)ργ-2>0。

所以，根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)以及m(0)<0，可得：

(18)

將式(18)代入到式(17)就可以化為：

(19)

另一方面，定理1中式(12)仍然成立，即：

(20)

綜合式(19)和式(20)得：

(21)

當(dāng)0≤t≤τ，式(21)可化為：

(22)

再根據(jù)定理2假設(shè)條件可知：

所以式(22)可以改寫成：

(23)

定義：

(24)

(25)

定理3若(ρ,u)是初值問(wèn)題(1)和初始條件(2)在Rn×[0,T)的C1解，若對(duì)任意固定的時(shí)刻τ>0，滿足：

則T<τ。

證明先對(duì)F2(t)進(jìn)行求導(dǎo)，再由初值問(wèn)題(1)，通過(guò)分部積分得到：

(26)

其中：

(27)

(28)

將式(27)和式(28)代入式(26)可以化為：

(29)

然后有Schwarz不等式：

(30)

綜合式(29)和式(30)得：

(31)

當(dāng)0≤t≤τ， 再由定理3假設(shè)條件可知，式(31)可以化為：

(32)

注：從式(31)開始，也可作如下處理：

其余證明過(guò)程類似，不作贅述，同樣可得如下結(jié)論：

3　結(jié)束語(yǔ)

一般采用泛函方法來(lái)研究經(jīng)典解的爆破，即往往是在某些初始數(shù)據(jù)的泛函較大時(shí)證明解必定在有限時(shí)間內(nèi)爆破。當(dāng)然，根據(jù)所提的不同條件也產(chǎn)生了各種不同爆破的結(jié)果，其中有些結(jié)果還未得到進(jìn)一步的推廣。例如從不帶阻尼項(xiàng)到帶阻尼項(xiàng)情形的爆破結(jié)果還需要完善，尤其帶非線性阻尼項(xiàng)的研究成果較少。另外，在有界區(qū)域考慮經(jīng)典解的爆破現(xiàn)象還未建立相關(guān)的結(jié)論。正因?yàn)闅W拉方程組在流體力學(xué)中占有重要的地位，所以研究可壓縮歐拉方程組意義重大。本文通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆汉芯苛藥Х蔷€性阻尼項(xiàng)的可壓縮歐拉方程組初值問(wèn)題的經(jīng)典解，當(dāng)初始泛函較大時(shí)，證得了經(jīng)典解必定會(huì)在某一時(shí)刻前爆破。

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國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61472138,11561024);江西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20151BAB201017)

朱旭生(1968-),男,江西高安人,副教授,博士,主要研究方向?yàn)槠⒎址匠?

2016-03-08

1672-6871(2016)06-0085-06

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2016.06.018

O175.2

A