許雪

(湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430062)

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繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的強收斂性

許雪

(湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北 武漢 430062)

研究繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的極限定理，得到繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強收斂性成立的一系列充分條件.

隨機環(huán)境;繞積馬氏鏈;加權(quán)和;強收斂性

0　引言

20世紀80年代初，R.Cogburn等人開始研究隨機環(huán)境中馬氏鏈的一般理論，取得了一系列深刻的結(jié)果[1-3].S.Orey[4]在R.Cogburn等人的研究基礎(chǔ)上對隨機環(huán)境中馬氏鏈進行了深入的研究，并提出了一系列的問題，引起了眾多概率論學者的廣泛關(guān)注，使得隨機環(huán)境 中馬氏鏈一般理論的研究成為國際上又一新的研究方向.國內(nèi)學者對這一領(lǐng)域也進行了深 入的研究[5-8].大家知道，隨機變量加權(quán)和的強收斂性的研究一直是經(jīng)典極限理論研究中的熱門課題，取得的 結(jié)果已十分深入.這種研究不僅僅是受到大數(shù)定律研究的推動，而且在考慮線性模型最小二乘估計的相容性時就要討論隨機變量加權(quán)和的強收斂性，因此這種研究無疑是非常重要的.據(jù)筆者所知，對隨機環(huán)境情形， 馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強收斂性的研究結(jié)果并不多見.本文中研究了繞積馬氏鏈函數(shù)的強極限定理，得到了繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和強收斂性成立的一系列充分條件.本文中約定：C總表示正常數(shù)， 且在不同的地方可以表示不同的值.集合A的示性函數(shù)記為IA.

如果對任意A∈A,n≥0有

(1)

設(shè){Xn,n≥0}是隨機變量序列，V為一非負隨機變量，C>0為常數(shù)， 若對任意的x>0，n≥0,都有P(|Xn|>x)≤CP(V>x)， 則稱{Xn,n≥0}尾概率一致有界于V，并記為{Xn}

1　引理及主要結(jié)論

引理1設(shè)Y為隨機變量，且對任意的x>0，都有P(|Y|>x)≤CP(V>x)，其中V為非負隨機變量，C>0為常數(shù)，則對任意的x>0，q>0有

E|Y|qI{|Y|≤x}≤CxqP(V>x)+CEVqI{V≤x}.

下面我們研究繞積馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的強收斂性.

(i)EN(V)<∞;

則對任意的k≥1，有

(2)

及

(3)

這里我們約定：對任意的k≥1,X-k≡0.

(i)EN(V)<∞;

則對任意的k≥1，有(2)，(3)式成立.

定理3在定理1或定理2的條件下，若

(4)

則對任意的N≥1，有

其中

定理4在定理3的條件下，若

(5)

則

(6)

2　主要結(jié)論的證明

引理2的證明甚易，故略去.

由于

(7)

(8)

從而

(9)

故

(10)

(11)

由引理2知(Zn,σn,n≥0)是鞅差序列， 再由鞅差序列的正交性及引理1知，對任意的1≤p≤2,

(12)

而

(13)

上式最后一個不等式成立基于下列事實：

(14)

綜合(10)，(11)及(14)式知(2)式對k=1的情形成立，又由Kronecker引理知(3)式對k=1的情形也成立.

從而

亦即(2)式對k>1成立，又由Kronecker引理知式對k>1也成立.

定理2的證明沿用定理1證明中的記號，并采用同樣的證明方法，我們只需證

定理3的證明由定理1或定理2可知對任意的N≥1和k=1,2,…,N，有

注意到

從而有

而

(15)

其中

于是有

(16)

(17)

類似于(11)式的證明有

從而

(18)

由(12)式，完全類似地可以證明

再由H?lder不等式

及

知

(19)

(20)

定理4的證明由于

由定理3，欲證(6)式成立，只需證

(21)

而

從而由(5)式知(21)式成立，繼而(6)式成立.

[1] Cogburn R.The ergodic theory of Markov chains in random environments[J].Z Wahrsch Verw Gebiete， 1993， 66(2)：109-128.

[2] Cogburn R.Markov chains in random environments：the case of Markovian environment[J].Ann Prob， 1980， 8(3)：908-916.

[3] Cogburn R.On the central limit theorem for Markov chains in random environments[J].Ann Prob， 1991， 19(2)：587-604.

[4] Orey S.Markov chains with stochastically stationary transition probabilities[J].Ann Prob， 1999， 19(4)：907-928.

[5] 王漢興，戴永隆.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Poisson極限律[J].數(shù)學學報，1997， 40(2)：265-270.

[6] 方大凡.馬氏環(huán)境中馬氏鏈的Shannon-McMillan-Breiman定理[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2000， 16(3)：295-298.

[7] 李應(yīng)求.雙無限隨機環(huán)境中Markov鏈的常返性與不變測度[J].中國科學(A輯)，2001， 31(8)：702-707.

[8] 郭明樂.雙無限隨機環(huán)境中馬氏鏈的強大數(shù)定律[J].應(yīng)用數(shù)學，2005， 18(1)：174-180.

[9] 萬成高.隨機環(huán)境中馬氏鏈函數(shù)加權(quán)和的極限定理[J].數(shù)學物理學報，2015，35A(1)：163-171應(yīng)用數(shù)學，2016， 29(1)：31-39.

(責任編輯趙燕)

Strong convergence for weighted sums of skew product Markov chains

XU Xue

(Faculty of Mathematics and Statistics， Hubei University， Wuhan 430062，China)

We studied the limit theorems for the weighted sums of skew product Markov chains， and obtained some sufficient conditions for the strong convergence of the weighted sums.

random environments; skew product Markov chains; weighted sums; strong convergence

2016-02-17

許雪(1992-)，女，碩士生

1000-2375(2016)05-0390-06

O211.62

A

10.3969/j.issn.1000-2375.2016.05.002