王茂飛　卜　京　侯　洋

（南京理工大學自動化學院，南京　210094）

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基于Root-MUSIC頻率估計的改進加窗插值FFT相位測量算法研究

王茂飛卜京侯洋

（南京理工大學自動化學院，南京210094）

在微電網(wǎng)高精度相位測量領(lǐng)域中，為了克服間諧波對加窗插值FFT中的插值多項式擬合算法的精度影響而使相位測量精度明顯下降的問題，本文提出了一種加窗插值快速傅里葉改進算法，即采用Root-MUSIC算法準確頻率估計，修正Blackman窗三譜線插值FFT頻率公式，得到多項式兩個變量準確值，修正了之前加窗插值FFT算法由于間諧波等擾動的長范圍及短范圍頻譜泄露造成的變量不準確問題，在得到修正后變量基礎(chǔ)上修正相位表達式，從而得到準確地相位值。仿真表明，本算法在存在間諧波擾動的情況下可以很好地估計頻率，具有很高的相位測量精度，同時抗噪聲干擾能力較強。

間諧波；加窗插值FFT；Root-MUSIC；頻率估計；相位測量

微網(wǎng)內(nèi)存在大量的電力電子設(shè)備和非線性負荷，如風機、光伏電池、燃料電池、燃氣輪機等分布式電源和儲能元件都需要通過電力電子變流器才能與系統(tǒng)相連接。這些電力電子變流裝置擔負著負荷的投切和電量的傳遞等重要任務(wù)，但對其進行操作會引起電網(wǎng)電壓、電流波形畸變，導(dǎo)致電網(wǎng)的諧波和間諧波污染［1］。隨著微網(wǎng)的不斷推廣和應(yīng)用，如風力發(fā)電機組的波動性，以及交直交、交交變頻器在DG中的大量應(yīng)用，都為微網(wǎng)帶來大量的間諧波。

加窗插值FFT算法被廣泛的應(yīng)用在電力系統(tǒng)相位測量領(lǐng)域，文獻［2-3］提出了一種加Blackman窗的三譜線插值傅里葉算法，雖然Blackman窗能一定程度上抑制長范圍的頻譜泄露，三譜線插值算法也能有效抑制短范圍的頻譜泄露，但在微電網(wǎng)平臺應(yīng)用過程中，由于微電網(wǎng)間諧波的波動性，會造成插值多項式的變量估計不準確，從而直接導(dǎo)致短范圍頻譜泄露抑制不明顯，相位測量精度不夠。文獻［4］中提出了一種加窗頻移算法，在非同步采樣的情況下，可以采用該算法進行諧波測量，該算法一定程度改善了在頻率波動下的測量精度問題，但該算法仍依賴于頻率估計的準確性。文獻［5］采用了插值FFT算法與MUSIC算法相結(jié)合的思路進行諧波分析，利用了MUSIC算法本身具有分析數(shù)據(jù)窗短，抗干擾能力強，能夠區(qū)分相鄰較近的不同諧波量的優(yōu)點，但未考慮在間諧波擾動情況下，插值FFT算法的不準確性問題，導(dǎo)致相位測量的精度不高。文獻［6］提出了拉格朗日時域同步插值算法。有效抑制了采樣非同步程度較大，采樣窗口較長時，理想插值點有可能不落在插值區(qū)間里，且插值運算量較大的不良影響，但所需數(shù)據(jù)窗較長，實時性不夠。在準確區(qū)分相鄰譜線方面，由于FFT算法本身的局限性，不少學者采用了子空間分解的方法，文獻［7-11］分別提出了基于參數(shù)模型的 Prony算法、基于非參數(shù)模型的MUSIC算法和Root-MUSIC算法、ESPRIT和三線性等算法進行頻率估計，對上述方法進行總結(jié)，可以發(fā)現(xiàn)，基于現(xiàn)代譜估計算法是基于信號自相關(guān)性理論及子空間理論，在相對比較短的時間窗內(nèi)具有很高的頻率分辨率。

本文在綜合比較加窗插值 FFT算法和Root-MUSIC算法的優(yōu)點和缺點的基礎(chǔ)上，加窗插值FFT算法在分析無噪聲擾動和無間諧波擾動時，相位測量的精度比較高，但在擾動情況下，插值多項式系數(shù)擬合不準確，測量精度會降低，Root-MUSIC算法可以在比較短的時間窗情況下很好的區(qū)分相鄰的信號分量，測量的頻率精度比較高，同時抗擾動能力強［12］，但計算相位幅值方面計算量比較大。本文將加窗插值FFT算法和Root-MUSIC算法綜合運用，在存在間諧波擾動時，修正了由于短范圍頻譜泄露造成原有插值算法參量不準確的問題，仿真表明，本文所提出改進加窗插值FFT算法能夠在間諧波擾動情況下，準確估計基波相位。

1　改進加窗插值FFT算法數(shù)學模型

1.1Root-MUSIC算法頻率測量實現(xiàn)過程

實際采集的交流電壓或電流為實值周期信號，且滿足狄里赫利條件，故根據(jù)傅里葉級數(shù)理論，可將離散諧波信號表示為p個實正弦信號與噪聲信號的疊加，即

式中，p為諧波次數(shù)；P為最高諧波次數(shù)；Ap、fp、p?分別第p次諧波的幅值、頻率和初相位；N為采樣點數(shù)；采樣率fs，e（n）是與x（n）不相關(guān)的零均值且方差為σ2的高斯噪聲。

為分析方便，將連續(xù)M個（M＞2P）采集量及噪聲量分別表示為觀測矢量x（n）和噪聲矢量e（n），即

式（2）可以簡潔的矢量形式表示為

接下來對式（3）建立的數(shù)學模型所描述的實值周期信號進行偽譜分析，進而估計其諧波分量的頻率分布。

觀測矢量x（n）的自相關(guān)矩陣Rx也可表示為其外積的期望函數(shù)，同時考慮到e（n）與x（n）互不相關(guān)，故可得

矩陣Rx的特征值分解可表示為

式中：λk和 uk分別是Rx第k個特征值及其對應(yīng)的特征矢量，且；US由Rx前2P特征矢量構(gòu)成，其張成Rx的信號子空間；UN由Rx的后M?2P特征矢量構(gòu)成，其張成Rx的噪聲子空間［3］。

1.2Blackman窗三譜線插值FFT算法

為了減少FFT算法應(yīng)用過程的頻譜泄露，可以選用典型的余弦窗函數(shù)。余弦窗的一般表達式為

用采樣頻率fs對信號x（t）進行均勻采樣，得到如式（1）的離散信號。

加窗后得到下列信號：

由于柵欄效應(yīng)，頻譜泄露到整個頻帶，峰值點k附近幅值最大譜線kα，其左右兩邊譜線分別為kα?1、kα+1，顯然。

三條譜線的幅值可以確定為y0、y1和y2

令α=（y2?y0），δ=k?kα，δ∈［?0.5，0.5］。即

當N較大時，式（12）一般可以簡化為α=g（δ），其反函數(shù)記為δ=g?1（α）。當窗函數(shù)w（n）為實系數(shù)時，其幅頻響應(yīng)W（2πf）是偶對稱的，因而函數(shù)g（?）及其反函數(shù)g?1（α）都是奇函數(shù)。

通過多項式擬合，可以得到Blackman窗三譜線插值FFT算法的擬合多項式：

頻率修正公式如下：

相位修正公式：

在仿真過程中，施加微網(wǎng)信號進行加Blackman窗三譜線插值FFT算法校驗時，發(fā)現(xiàn)如下兩個問題：

1）在間諧波波動情況下，插值多項式所得到的頻率修正式（13）里的變量δ存在誤差增大的問題。

2）間諧波的引入，雖然不會對FFT算法準確估計最大譜線kα產(chǎn)生影響，但會對原有的信號相位譜產(chǎn)生影響，從而式（15）中的這個相位譜會產(chǎn)生不同程度的誤差，進而影響真實相位測量的精度。

2　改進加窗插值傅里葉算法實現(xiàn)過程

本文針對加Blackman窗三譜線插值FFT算法的改進主要考慮在間諧波擾動下，加窗后插值多項式參數(shù)變量產(chǎn)生誤差后參數(shù)修正的問題，從頻率修正多項式作為著力點，采用子空間分解的 Root-MUSIC算法準確估計實際的基波頻率，從而得到了真實譜線與相鄰最大譜線之間的誤差δ′，此處得到的誤差δ′是經(jīng)過修正的，代入到信號加窗后的多項式里，可以得到修正后相位譜，代入到相位修正式（15）中，就可以得到準確的基波相位。

具體實現(xiàn)過程如下：

1）為了從前文中建立的信號模型中的特征矢量獲各信號參數(shù)信息，實值求根MUSIC多項式可用式（16）表示：

對上述的多項式求根，所得到的解是鏡像對稱的，每對根都是共軛的。在其中，共有4p個根，它們的幅值是最大的，同時分布在單位圓上，可解得上述根，即

2）通過實值Root-MUSIC準確估計信號頻率，即使在噪聲環(huán)境復(fù)雜的情況下，也能準確地估計出信號的基波頻率，將估計出的基波頻率1f代入Blackman窗三譜線插值的頻率修正式（14），可以求得修正之后的誤差δ′。

此處誤差δ′就是考慮呢間諧波擾動對相位譜的影響，從而對關(guān)鍵變量誤差δ′進行修正。

求解出修正的誤差δ′之后，將之代入式（13）中，可得到修正之后的真實譜線值，如式（20）所示：

將修正之后的真實譜線代入式（15）中，便可得到了修正之后的基次諧波的相位值，如式（21）所示：

此處修正之后的加窗插值函數(shù)關(guān)系式，考慮了間諧波引入對多項式變量的影響，彌補了原有加窗插值FFT算法對間諧波引入時因誤差δ不準而造成相位譜不準造成相位測量不準確。具體算法流程如圖1所示。

圖1　改進加窗插值FFT算法流程圖

3　改進加窗插值FFT算法仿真驗證

為驗證本文所提算法的性能，采用Matlab軟件，對加Blackman窗的三譜線插值FFT算法在有無實值Root-MUSIC頻率估計下，不同信號特性下的相位精度進行仿真分析。電網(wǎng)中干擾噪聲的幅值一般為基波幅值的0～1%，在仿真計算中加入不同信噪比的高斯白噪聲［8-9］。

1）算例1：設(shè)基波和間諧波信號為

仿真條件設(shè)為：采樣點數(shù)N為500，采樣頻率為4kHz，f1為間諧波頻率，f1在0～80Hz波動波動，選取三種典型窗函數(shù)在三譜線插值FFT算法下，觀察三種算法的相位測量精度波動情況。

圖2　三種典型窗函數(shù)三譜線插值FFT算法

從圖2中可以看出，三種窗函數(shù)三譜線插值FFT算法在間諧波波動時，譜線誤差是存在波動的，前面已經(jīng)敘述，加窗插值的譜線誤差是與信號分量無關(guān)的，而仿真過程中，卻發(fā)現(xiàn)譜線誤差δ 是變化的，那么可以進一步分析，由此造成的相位譜也是變化的，而原有的加窗插值并未考慮到間諧波的擾動會對相位譜產(chǎn)生變化，從而對相位估計會產(chǎn)生比較大的。

從圖3中可以看出，三種窗函數(shù)三譜線插值FFT算法相位估計，在間諧波幅值固定情況下，間諧波頻率在50Hz附近時，相位估計誤差比較顯著。

圖3　三種典型窗函數(shù)三譜線插值FFT算法

2）算例2：仿真驗證實值Root-MUSIC算法的頻率估計準確性。

經(jīng)過Matlab進行MUSIC頻率估計仿真，如圖4所示。

圖4　實值MUSIC譜分析的頻率估計圖

圖4可以看出，在加入 30dB的白色噪聲后，MUSIC頻率估計的精度仍然是比較好的，見表1。相比而言，不經(jīng)過實值Root-MUSIC頻率估計的加窗插值FFT算法在噪聲的影響下，特別是30dB以下。

3）算例3：仿真驗證本文提出的改進FFT算法的正確性。

考慮到相位測量誤差的主要產(chǎn)生原因，下面主要對兩種算法在不同信噪比白噪聲干擾、不同頻率段間諧波和基波頻率波動這三種情況下的估計精度進行仿真，仿真結(jié)果見表2、表3和表4。

表1　基于實值求根MUSIC頻率估計精度

表2　不同算法在不同信噪比白噪聲干擾下的相位精度

表3　在間諧波頻率波動時不同算法的相位精度

表4　在基波頻率波動時不同算法的相位精度

通過比較表2、表3和表4，可以發(fā)現(xiàn)，本文所選取的方法在信噪比比較小、間諧波在0～80Hz頻率段波動，基波頻率在2.5±Hz范圍波動的情況下，相比未進行基波頻率預(yù)估計的加窗插值FFT方法，相位估計的精度有效地改善。

4　結(jié)論

1）仿真表明，本文所提出的基于實值 Root-MUSIC改進加窗插值FFT算法在白噪聲擾動下，可以很好地估計頻率，進而精確估計相位。

2）本文所提算法有效地改善了加窗插值 FFT算法在間諧波擾動情況下相位估計誤差問題。

3）本文所提算法雖然計算量比較大，但估計精度還是比較好的，兩種算法的結(jié)合，可以并行運算，達到了互補的效果。

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Windows and Interpolated FFT Algorithm for Precision Phase Measurement Method Research based on Frequency Estimation with the Method of Root-MUSIC

Wang MaofeiBu JingHou Yang
（Institute of Automation，Nanjing University of Science & Technology，Nanjing210094）

When the high precision phase measurement is made for the field of micro grid，the accuracy of the interpolation polynomial fitting formula formed by the use of the Windows and Interpolation FFT algorithm decreases significantly under the interference of the inter-harmonic，which will decrease the accuracy of phase measurement. In order to solve the problem above，an improved Windows and Interpolation FFT algorithm is proposed in this paper. To obtain the precise frequency of the fundamental harmonic by the use of the Root-MUSIC algorithm，getting the two corrected variables，and the wrong variables in the fitting formula above caused by long range and short range spectrum leakage is fixed. Based on the corrected variables above，the variable in phase correction formula is fixed meanwhile and the precise phase measurement can be achieved. The simulation results show that the algorithm can precisely estimate the frequency of the harmonic under the inter-harmonic disturbance，which has a high accuracy of phase measurement，and anti-noise interference ability of the proposed algorithm is strong.

inter harmonic； windows and interpolated FFT； Root-MUSIC； frequency estimation；phase measurement

王茂飛（1991-），男，南京理工大學在讀碩士研究生，研究方向為智能電網(wǎng)及智能變電站。