□王克峰
解絕對值問題“四策略”
□王克峰
絕對值不僅是有理數(shù)這一章的重點內(nèi)容,也是學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ).下面介紹幾種解絕對值問題的策略,愿對同學(xué)們有所幫助.
解析:本題中a,b,c地位對等,需要分4種情況討論:
(1)a,b,c都大于0時,
原式=1+1+1=3;
(2)a,b,c兩正一負時,
原式=1+1-1=1;
(3)a,b,c兩負一正時,
原式=1-1-1=-1;
(4)a,b,c都小于0時,
原式=-1-1-1=-3.
|a|的幾何意義是:數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離.當(dāng)問題涉及距離或大小比較時,使用數(shù)形結(jié)合的策略可使問題更直觀.
例2已知兩個有理數(shù)a,b,a>0,b<0,且|a|>|b|,試比較a,-a,b,-b的大小.
解析:因為|a|>|b|,根據(jù)絕對值的幾何意義可知,表示數(shù)a的點比表示數(shù)b的點到原點的距離遠.又a>0,b<0,a,-a到原點的距離相等,b,-b到原點的距離相等,可在數(shù)軸上標出這4個點的大致位置,如下圖所示,故-a<b<-b<a.
在涉及有關(guān)含絕對值的字母求值問題時,可從絕對值的非負性著手,運用方程的思想求解.
例3已知|2x+y|與|1-y|互為相反數(shù),則x=______,y=______.
解析:因為|2x+y|與|1-y|互為相反數(shù),所以|2x+y|+|1-y|=0.又因為|2x+y|≥0,|1-y|≥0,所以|2x+y|=0,|1-y|=0,得x=-0.5,y=1.
在遇到有關(guān)絕對值的判斷題和選擇題時,為了使解題過程更簡捷,可使用“0的絕對值是0”“0既不是正數(shù)也不是負數(shù)”的特殊性,檢驗問題的正確性.
例4下列說法中正確的是().
A.有理數(shù)的絕對值一定是正數(shù).
B.一個數(shù)的絕對值等于它本身,則這個數(shù)一定是正數(shù).
C.沒有最新的有理數(shù),也沒有絕對值最小的有理數(shù).
解析:A、B、C是錯誤的.理由如下:因為0也是有理數(shù),而0的絕對值是0,0不是正數(shù),所以A是錯誤的;因為0的絕對值等于它本身,而0既不是正數(shù)也不是負數(shù),所以B是錯誤的;因為正數(shù)的絕對值是正數(shù),負數(shù)的絕對值也是正數(shù),0的絕對值是0,0小于一切正數(shù),所以絕對值最小的數(shù)是0,所以C是錯誤的;而因為a為分母,而分母不能為0,所以a≠0.又一個數(shù)的絕對值和它本身的比是1,所以這個數(shù)只能是正數(shù),故D是正確的.