基于nested陣列的高分辨DOA估計(jì)*

劉魯濤， 韓　麗， 張　明， 張　航

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

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基于nested陣列的高分辨DOA估計(jì)*

劉魯濤， 韓麗， 張明， 張航

(哈爾濱工程大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

針對(duì)nested陣列對(duì)鄰近信號(hào)的分辨力受信噪比和快拍數(shù)等因素限制的問題，提出了基于nested陣列的加權(quán)子空間平滑MUSIC算法.該算法對(duì)協(xié)方差矩陣向量化以提高整個(gè)陣列的自由度，使用空間平滑恢復(fù)新接收數(shù)據(jù)矢量陣的秩，采用校正的噪聲特征值對(duì)噪聲子空間進(jìn)行加權(quán)，并對(duì)信號(hào)子空間進(jìn)行空間譜合成，得到新算法的空間譜函數(shù).通過搜索空間譜函數(shù)極大值實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì).結(jié)果表明，該算法在低信噪比及小快拍數(shù)條件下，對(duì)間隔較近的信號(hào)具有高分辨力.

nested陣列； 協(xié)方差矩陣； 向量化； 自由度； 空間平滑； 加權(quán)； DOA估計(jì)； 高分辨力

波達(dá)方向(direction-of-arrival，DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲源定位和通信等領(lǐng)域[1-3].子空間類算法[4-7]已經(jīng)成為DOA估計(jì)中最常用和最經(jīng)典的算法，尤其以多重信號(hào)分類[8-10](multiple signal classification，MUSIC)為典型代表的算法隨著信噪比的提高可以突破瑞利限，但其缺點(diǎn)是自由度不高，估計(jì)目標(biāo)數(shù)最多為N-1(N為陣元數(shù)目).為了提高陣列的自由度，文獻(xiàn)[11]使用最小冗余陣列通過構(gòu)建增強(qiáng)協(xié)方差矩陣來增加陣列的自由度，但在實(shí)際應(yīng)用中，這種陣列的最優(yōu)陣元位置受限于計(jì)算機(jī)建模以及迭代算法的復(fù)雜程度；文獻(xiàn)[12]基于高階累計(jì)量的DOA估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)陣列擴(kuò)展，增加虛擬陣元，但是其缺點(diǎn)是需要很大運(yùn)算量來計(jì)算信號(hào)的高階累積量，需要較多的快拍數(shù)才能準(zhǔn)確地估計(jì)出目標(biāo)信號(hào)參數(shù)，且不能用于處理高斯信號(hào)的DOA估計(jì)；文獻(xiàn)[13]針對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的特性提出了一種Khatrio-Rao子空間估計(jì)算法，實(shí)現(xiàn)了在陣元數(shù)少于信號(hào)源數(shù)目情況下對(duì)準(zhǔn)平穩(wěn)信號(hào)的DOA估計(jì)，但其測(cè)角精度不高，且也不適用于平穩(wěn)信號(hào)；在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[14]利用Khatrio-Rao(KR)積的性質(zhì)提出了一種新的陣列構(gòu)造方式，即nested陣列，使得陣列的自由度大大增加，對(duì)于M個(gè)物理陣元的陣列可以獲得O(M2)個(gè)自由度，并提出了相應(yīng)的基于空間平滑多重信號(hào)分類(spatial smoothing MUSIC，SS MUSIC)的DOA估計(jì)方法.雖然nested陣列可以提高陣列的自由度，解決了在信源數(shù)多于物理陣元數(shù)情況下對(duì)平穩(wěn)信號(hào)的DOA估計(jì)，但是其在低信噪比及小快拍數(shù)的條件下，并沒有提高對(duì)鄰近入射信號(hào)的分辨率.

本文將噪聲子空間與信號(hào)特征值倒數(shù)加權(quán)的信號(hào)子空間相結(jié)合，得到加權(quán)子空間平滑MUSIC(weighted subspace of spatial smoothing，WSSS MUSIC)算法的譜函數(shù)，充分利用了信號(hào)的信息，降低了噪聲的影響，提高了nested陣列鄰近信號(hào)的分辨力.

1　數(shù)據(jù)模型和陣列結(jié)構(gòu)模型

1.1數(shù)據(jù)模型

假設(shè)L個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到M個(gè)陣元的線陣上，信源入射角度分別為θ1，θ2，…，θL，入射信號(hào)彼此相互獨(dú)立.噪聲是高斯白噪聲與信號(hào)相互獨(dú)立，則陣列接收數(shù)據(jù)矢量形式為

X(t)=AS(t)+N(t)

(1)

式中：X(t)為陣列的M×1維陣列接收數(shù)據(jù)矢量；S(t)為空間信號(hào)的L×1維矢量；N(t)為M×1維的噪聲矢量；A=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θL)]為M×L維的陣列流型，其中

a(θk)=[exp(-j2πd1sinθk/λ)，

exp(-j2πd2sinθk/λ)，…，

exp(-j2πdMsinθk/λ)]T

(2)

式中：di為第i個(gè)陣元相對(duì)陣列參考點(diǎn)的位置；λ為波長(zhǎng)，則陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

(3)

(4)

Khatri-Rao積的定義：用符號(hào)“⊙”表示Khatri-Rao(KR)積，兩個(gè)矩陣A(N×K)和B(M×K)具有相同的列數(shù)，它們的KR積[13]為A⊙B=[a1?b1，a2?b2，…，aK?bK]=

(5)

式中：ak，bk分別為矩陣A和B的第k列；vec(·)為將矩陣的每一列元素排成一列，形成一個(gè)新的列向量.

KR積具有如下性質(zhì)：

若A∈CN×K，B∈CM×K和D=diag(d)，且d∈CK×1，則

vec(ADBH)=(B*⊙A)d

(6)

式中，*為復(fù)共軛.

利用上述性質(zhì)，且假設(shè)信號(hào)是相互獨(dú)立的，則式(3)可化簡(jiǎn)為

z=vec(RXX)=

(7)

(8)

式中，

(i=1，2，…，M；j=1，2，…，M)

(9)

由式(9)可看出，此陣列流型類似于多輸入多輸出(multiple input multiple output，MIMO)雷達(dá)[15]，此陣列的陣元位置由集合{di-dj，1≤i，j≤M}(di，dj分別為第i個(gè)和第j個(gè)陣元的位置)中相異的值來決定，其相異值遠(yuǎn)大于物理陣元數(shù)M，因此增大了陣列的自由度.

1.2二階nested陣列的陣列結(jié)構(gòu)

在陣元數(shù)固定的前提下，為了使相異值最多(自由度最大)，文獻(xiàn)[11]提出了一種基于KR積的陣列構(gòu)造方式，稱其為nested陣列.一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二階nested陣列是由兩個(gè)相鄰的均勻線陣(uniform linear arrays，ULA)串聯(lián)構(gòu)成的，內(nèi)層的ULA有M1個(gè)陣元，陣元間距為d1，外層的ULA有M2個(gè)陣元，其陣元間距為d2=(M1+1)d1，則第1個(gè)ULA的陣元位置為S1={nd1，n=1，2，…，M1}，第2個(gè)ULA的陣元位置為S2={m(M1+1)d1，m=1，2，…，M2}，一個(gè)二階nested陣列陣元總數(shù)為M=M1+M2，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示.

圖1　二階nested陣列的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1　Schematic structure of second-order nested array

一個(gè)陣元總數(shù)為M的nested陣列，由KR積可產(chǎn)生(M2-2)/2+M個(gè)虛擬陣元，此虛擬陣列為陣元間距d1的ULA，其陣元位置集合為

S={ld1，l=-N，-(N-1)，…，N；

N=M2(M1+1)-1}

(10)

這樣便增加了nested陣列的自由度，為實(shí)現(xiàn)信號(hào)源數(shù)目多于物理陣元總數(shù)的DOA估計(jì)提供了可能.

2　波達(dá)方向估計(jì)

上文對(duì)陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣進(jìn)行了向量化，使得到的新接收數(shù)據(jù)矢量z的秩變?yōu)?，并且由KR積產(chǎn)生的虛擬陣列為ULA，用類似空間平滑算法[16]恢復(fù)矩陣z的秩.首先，從構(gòu)造的新陣列流型(A*⊙A)∈CM2×L中移除相同的行，然后對(duì)其排序，使第i行的元素對(duì)應(yīng)于虛擬陣列的陣元位置為(-M2/4-M/2+i)d1，得到矩陣A1∈C((M2-2)/2+M)×L，這個(gè)操作類似移除矩陣z中相應(yīng)的行，排序得到新的矩陣為

(11)

式中，e0∈C((M2-2)/2+M)×1，為除了第(M2/4+M/2)個(gè)元素是1，其余元素均為0的列向量.最后把矩陣z1分成(M2/4+M/2)個(gè)重疊的子陣，其中，每個(gè)子陣有(M2/4+M/2)個(gè)元素，第i個(gè)子陣的陣元位置為

(12)

第i個(gè)子陣對(duì)應(yīng)的陣列接收數(shù)據(jù)矢量為

(13)

式中，矩陣A1i為(M2/4+M/2)×L維，其包含矩陣A1中從第(M2/4+M/2-i+1)行到第((M2-2)/2+M-i+1)行的元素.

由上面的分析容易得到

(14)

式中，

Φ=diag(exp(-jφ1)，exp(-jφ2)，…，exp(-jφL))

其中，φk=2πd1sinθk/λ.令

Ri

(15)

對(duì)Ri進(jìn)行平均，可得到平滑后的新接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

RSS

(16)

平滑后的ULA子陣陣元數(shù)MSS=M2/4+M/2，且平滑后的陣列流型為

ASS=[aSS(θ1)，aSS(θ2)，…，aSS(θL)]

(17)

式中，

(18)

由此可看出，此陣列流型同有MSS個(gè)陣元的ULA陣列流型相同.于是可以構(gòu)造如下SS MUSIC算法的空間譜函數(shù)

(19)

式中，EN為最小特征值對(duì)應(yīng)的噪聲子空間.

3　WSSS MUSIC算法

(20)

利用校正后的噪聲特征值對(duì)噪聲子空間進(jìn)行加權(quán)處理，可以提高噪聲特征值信息量的利用率，而且校正值μ不影響信號(hào)特征值，可以保證目標(biāo)信號(hào)的波達(dá)方向估計(jì)穩(wěn)定且準(zhǔn)確.由式(20)可知，校正值μ的選取會(huì)對(duì)算法的估計(jì)性能產(chǎn)生很大的影響，若μ值選取的過小，會(huì)使得對(duì)噪聲的抑制作用不明顯；若μ值選取的過大，會(huì)使信號(hào)特征值與噪聲特征值的差別太小，降低了目標(biāo)信號(hào)波達(dá)方向估計(jì)的準(zhǔn)確率，因此選擇一個(gè)最優(yōu)的校正值μ十分重要.從實(shí)際的大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，噪聲特征值中的最大值與其最小值之比小于2，即

λL+1/λMSS<2

(21)

將式(20)代入式(21)可得

(22)

(23)

(24)

將式(24)代入式(19)中得到校正后的噪聲子空間的譜函數(shù)為

(25)

在非理想環(huán)境下，通過校正值μ可以使噪聲特征值的發(fā)散程度受到抑制，可以在一定程度上抑制噪聲的影響，提高算法的分辨率.對(duì)噪聲子空間進(jìn)行加權(quán)也只是利用了噪聲子空間的信息，卻沒有充分利用信號(hào)子空間的信息.由于特征分解協(xié)方差矩陣得到的信號(hào)子空間受噪聲起伏的影響相對(duì)較小，對(duì)非理想環(huán)境下引起的誤差不敏感，因此，為了充分利用新接收數(shù)據(jù)的信號(hào)子空間所包含的信息，可以利用主特征值的倒數(shù)對(duì)信號(hào)子空間進(jìn)行加權(quán)，得到的譜函數(shù)表達(dá)式為

(26)

WSSS MUSIC算法不僅降低了噪聲的影響，而且有效地利用了新接收數(shù)據(jù)信號(hào)子空間的信息，使得算法在低信噪比和少快拍數(shù)的非理想情況下，對(duì)鄰近信號(hào)具有較高的分辨率，其空間譜函數(shù)為

(27)

算法的具體步驟如下：

1) 計(jì)算快拍數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣RXX，將其向量化，移除相同的行并排序，得到新的陣列接收數(shù)據(jù)矢量z；

2) 用空間平滑技術(shù)恢復(fù)矢量陣z的秩，并求得協(xié)方差矩陣RSS；

3) 對(duì)RSS進(jìn)行特征值分解，將最大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的子空間定義為信號(hào)子空間ES=[v1，v2，…，vL]，最小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的子空間定義為噪聲子空間EN=[vL+1，vL+2，…，vMSS]；

4) 根據(jù)式(27)求出WSSS MUSIC算法的空間譜函數(shù)進(jìn)行譜峰搜索.

4　仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1考慮兩個(gè)非相干的等強(qiáng)信號(hào)入射二階nested陣列，入射方向分別是10°和12°，信噪比為2 dB，快拍數(shù)為200，本文算法和SS MUSIC算法的空間譜圖比較如圖2所示.

圖2　兩種算法的空間譜比較Fig.2　Comparison in spatial spectra of two algorithms

由圖2可以看出，在低信噪比和小快拍數(shù)條件下，本文方法能夠準(zhǔn)確檢測(cè)出兩個(gè)非常鄰近的信號(hào)(10°，12°)，而SS MUSIC算法的兩個(gè)鄰近信號(hào)的譜峰在空間譜上混疊成一個(gè)譜峰，算法失效.

實(shí)驗(yàn)2考慮兩個(gè)非相干等強(qiáng)信號(hào)入射二階nested陣列，入射角分別為θ1=10°，θ2=θ1+Δθ，其中，Δθ∈[1°，8°]，信噪比為0 dB，快拍數(shù)為200，本文方法和SS MUSIC算法的分辨概率隨角度間隔變化的曲線如圖3所示.

圖3　分辨概率隨角度間隔的變化曲線Fig.3　Change curves of resolution probability with angle interval

由圖3可以看出，在低信噪比及小快拍數(shù)條件下，在角度間隔(小于5°)相同時(shí)，本文算法的分辨概率要比SS MUSIC算法高.而在識(shí)別成功率為1的前提下，本文算法有著更好的角度分辨率(角度間隔為4°).

實(shí)驗(yàn)3兩個(gè)非相干等強(qiáng)信號(hào)源入射方向分別為10°和12°，在使用快拍數(shù)為200的條件下，設(shè)置信噪比從-4 dB按步長(zhǎng)1 dB的間隔增加到10 dB時(shí)，進(jìn)行1 000次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn).對(duì)本文算法、SS MUSIC算法以及12個(gè)陣元ULA的MUSIC算法成功分辨概率進(jìn)行比較如圖4所示.

圖4　三種算法成功分辨概率隨信噪比的變化曲線Fig.4　Change curves of success resolution probability with SNR for three algorithms

由圖4可以看出，在快拍數(shù)一定的條件下，隨著信噪比的增加，三種算法鄰近信號(hào)成功分辨率均隨之增大.但在小信噪比的時(shí)候，本文算法相對(duì)兩個(gè)鄰近信號(hào)分辨的成功概率最高.而SS MUSIC算法由于受信噪比及快拍數(shù)的限制無法使兩個(gè)鄰近信號(hào)(10°和12°)的成功分辨概率達(dá)到1，進(jìn)一步說明了本文算法的分辨性能.

實(shí)驗(yàn)4信源入射信號(hào)度不變，信噪比為5 dB，設(shè)置快拍數(shù)從1按步長(zhǎng)40增加到601，進(jìn)行1 000次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn).本文算法、SS MUSIC算法及12個(gè)陣元ULA的MUSIC算法鄰近信號(hào)成功分辨概率隨快拍數(shù)變化曲線如圖5所示.

圖5　三種算法成功分辨概率隨快拍數(shù)的變化曲線Fig.5　Change curves of success resolution probability with number of snapshots for three algorithms

由圖5可以看出，在信噪比一定的條件下，三種算法對(duì)鄰近信號(hào)的成功分辨概率均隨著快拍數(shù)的增加而增大.而在快拍數(shù)較少時(shí)，WSSS MUSIC算法對(duì)兩個(gè)鄰近信號(hào)的成功分辨概率明顯優(yōu)于其他兩種算法，在快拍數(shù)較大時(shí)，WSSS MUSIC算法的成功分辨概率幾乎和12個(gè)陣元ULA的MUSIC算法同時(shí)達(dá)到1.

5　結(jié)　論

本文提出了一種WSSS MUSIC算法，該方法通過對(duì)協(xié)方差矩陣向量化產(chǎn)生新接收數(shù)據(jù)，并將噪聲特征值加權(quán)子空間與加權(quán)信號(hào)子空間相結(jié)合，充分利用新接收數(shù)據(jù)協(xié)方差的特征值信息.仿真結(jié)果表明，在低信噪比和小快拍數(shù)條件下，WSSS MUSIC算法對(duì)鄰近信號(hào)的分辨性能優(yōu)于SS MUSIC算法和具有相同物理孔徑的12陣元ULA的MUSIC算法，在實(shí)際應(yīng)用中節(jié)省了陣元數(shù)，降低了硬件成本.

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(責(zé)任編輯：景勇英文審校：尹淑英)

DOA estimation with high resolution based on nested array

LIU Lu-tao, HAN Li, ZHANG Ming, ZHANG Hang

(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

In order to solve the problem that the resolution of nested array for adjacent signals is limited by such factors as signal to noise ratio (SNR) and number of snapshots, a weighted subspace smoothing MUSIC algorithm was proposed based on the nested array. The covariance matrix was vectorized in the algorithm to improve the degrees of freedom of whole array. The spatial smoothing was used to recovery the rank of newly received data vector matrix, and the corrected noise eigenvalues were adopted to weight the noise subspace. In addition, the spatial spectrum of signal subspace was synthesized, and the spatial spectrum function of new algorithm was obtained. Through searching the maximum value of spatial spectrum function, the DOA estimation was realized. The results show that under the condition of low SNR and small number of snapshots, the algorithm has high resolution of signals with relatively close interval.

nested array; covariance matrix; vectorization; degrees of freedom; spatial smoothing; weighting; DOA estimation; high resolution

2015-10-15.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61202410).

劉魯濤(1977-)，男，黑龍江哈爾濱人，副教授，博士，主要從事寬帶信號(hào)處理、檢測(cè)與識(shí)別等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2016.05.10

TN 911.6

A

1000-1646(2016)05-0531-06

*本文已于2016-05-12 13∶56在中國(guó)知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20160512.1356.008.html