胥傳翠

摘 要：借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。然而“半成品”式的輔助學(xué)習(xí)卻存在著很大的隱患，不利于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真審題的習(xí)慣和畫(huà)圖技能的形成，在教學(xué)用畫(huà)圖的策略解決問(wèn)題單元時(shí)，落腳點(diǎn)是感受畫(huà)圖策略的價(jià)值，尋求解題思路，著力點(diǎn)則應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)圖的能力。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；畫(huà)圖策略；單元教學(xué)

2011版課標(biāo)強(qiáng)調(diào)要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題，借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。

縱觀小學(xué)數(shù)學(xué)教材，幾何直觀的滲透和編排，經(jīng)歷了從直觀的實(shí)物情境圖——抽象線段圖的認(rèn)知過(guò)程，教學(xué)方式由半扶半放逐步向獨(dú)立構(gòu)圖過(guò)渡，這樣的編排符合學(xué)生從直觀到抽象的認(rèn)知特點(diǎn)。為了讓學(xué)生體會(huì)到畫(huà)圖策略的價(jià)值，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中學(xué)會(huì)畫(huà)圖、借助直觀圖示分析數(shù)量關(guān)系，正確解答實(shí)際問(wèn)題，積累解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)為了六年級(jí)用畫(huà)圖的策略解決較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題，蘇教版在四年級(jí)下冊(cè)系統(tǒng)編排了“用畫(huà)圖的策略解決實(shí)際問(wèn)題”單元。

本單元的兩道例題和練一練中提供的“半成品”圖形，包括練習(xí)八中的部分習(xí)題，顯示教材在編排時(shí)采用的是半扶半放的形式，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，絕大部分教師沿著教材的思路組織教學(xué)，先呈現(xiàn)不完整的圖，然后在“你能根據(jù)題意把線段圖或示意圖填寫(xiě)完整嗎”的啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生把題中的信息和問(wèn)題補(bǔ)充完整，課堂教學(xué)非常順利，效果比較好，然而在課后的練習(xí)中卻出現(xiàn)了各種各樣的問(wèn)題。

在這道實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)于“小春比小寧多12枚，兩人一共72枚”，大部分學(xué)生不知該如何在圖中表示出來(lái)，如上面的圖①、圖②和圖③；圖④、圖⑤、圖⑥三幅圖雖均能將信息和問(wèn)題正確地表達(dá)出來(lái)，但從分析的角度看，圖④和圖⑤更便于清楚地看出數(shù)量關(guān)系，確定解題思路。這六幅圖清楚地反映了學(xué)生原生態(tài)的思維狀態(tài)，可以看出，部分學(xué)生還不能正確地用線段圖表示信息，即便能正確表示，對(duì)于畫(huà)幾條線段和先畫(huà)哪個(gè)量也比較模糊（就和差問(wèn)題而言，先畫(huà)哪個(gè)數(shù)量似乎并不影響學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分析，但數(shù)學(xué)教學(xué)要瞻前顧后，三年級(jí)所學(xué)的和倍問(wèn)題以及六年級(jí)將要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題，都是先畫(huà)參照物，即1份的量或單位“1”的量，教學(xué)前后統(tǒng)一、相互關(guān)照，方能使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)逐步深入，故筆者認(rèn)為此處理應(yīng)強(qiáng)調(diào)先畫(huà)小寧的郵票枚數(shù)）。如果采取教材半扶半放“半成品”式的輔助學(xué)習(xí)方式，學(xué)生的這些問(wèn)題都將被掩蓋，學(xué)生對(duì)于為什么畫(huà)兩條線段以及先畫(huà)哪個(gè)數(shù)量等問(wèn)題沒(méi)有深刻的體會(huì)和認(rèn)識(shí)，必將為以后獨(dú)立構(gòu)圖埋下隱患。

問(wèn)題二：不能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，精致表征實(shí)際問(wèn)題的細(xì)節(jié)。

小建和小西買(mǎi)同樣的筆記本，小建買(mǎi)了3本，小西買(mǎi)了5本，小建比小西少花12元。筆記本的單價(jià)是每本多少元？（先畫(huà)出線段圖，再解答）（四年級(jí)下冊(cè)練習(xí)八第4題）

90%的學(xué)生都是圖1這樣沒(méi)有問(wèn)題的不完整的圖，并不是他們忘記標(biāo)出問(wèn)題，而是他們不知道問(wèn)題該標(biāo)在哪里。由此可以看出，學(xué)生對(duì)于線段圖還處于模糊的認(rèn)識(shí)之中，只能大概表示出信息的輪廓，卻不能精細(xì)乃至精致地表示出實(shí)際問(wèn)題的細(xì)節(jié)。

問(wèn)題三：缺乏洞察問(wèn)題本質(zhì)的能力，不能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造合適的圖。

學(xué)生遇到有關(guān)長(zhǎng)方形或正方形的問(wèn)題時(shí)統(tǒng)一畫(huà)示意圖，如下面兩題：

（1）梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8米。在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3米，這樣面積就增加了18平方米。原來(lái)花圃的面積是多少平方米？（例2）

（2）一個(gè)長(zhǎng)方形菜園的周長(zhǎng)是56米，長(zhǎng)比寬多4米，這個(gè)菜園的面積是多少平方米？（《補(bǔ)充習(xí)題》）

由于例題是通過(guò)長(zhǎng)方形的示意圖分析數(shù)量關(guān)系，許多學(xué)生受其影響，第（2）題也同樣用長(zhǎng)方形來(lái)描述題意且所畫(huà)的圖中，長(zhǎng)比寬多4米的表達(dá)不準(zhǔn)確的占80%。這兩道解決問(wèn)題的關(guān)鍵都是要求出長(zhǎng)方形中未知寬的長(zhǎng)度，第（1）題畫(huà)長(zhǎng)方形示意圖可以清楚地看出原來(lái)的寬=“增加的面積÷增加的長(zhǎng)”，而第（2）題其實(shí)是和差問(wèn)題的變式，用線段圖更容易清楚地看出求寬的數(shù)量關(guān)系。

與2001版的實(shí)驗(yàn)教科書(shū)相比，2013版教材在原來(lái)畫(huà)長(zhǎng)方形或正方形表示面積變化的示意圖基礎(chǔ)上增加了線段圖和點(diǎn)子圖，且在練習(xí)中安排了許多富有變化、新穎的、具有挑戰(zhàn)性問(wèn)題的實(shí)際問(wèn)題，其意圖之一是使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中能對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行甄別，合理選擇圖形（點(diǎn)子圖、線段圖、示意圖）揭示條件和問(wèn)題之間的數(shù)量關(guān)系。但這種“半成品”式的輔助學(xué)習(xí)卻存在著很大的隱患，從學(xué)生的錯(cuò)例可以看出，未真正經(jīng)歷思考、辨析，僅僅是在教材的暗示牽引下畫(huà)圖，那么當(dāng)問(wèn)題發(fā)生變化時(shí)，學(xué)生就會(huì)束手無(wú)策，只能簡(jiǎn)單套用，機(jī)械模仿，長(zhǎng)此下去不僅不利于學(xué)生畫(huà)圖技能的形成，而且更難實(shí)現(xiàn)感受畫(huà)圖價(jià)值、發(fā)展幾何直觀、提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的目標(biāo)。筆者認(rèn)為本單元教學(xué)的落腳點(diǎn)是感受畫(huà)圖策略的價(jià)值，尋求解題思路，著力點(diǎn)則應(yīng)是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立構(gòu)圖的能力。

第一，儲(chǔ)備是獨(dú)立構(gòu)圖的認(rèn)知基礎(chǔ)

奧蘇伯爾說(shuō)：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)的重要因素是他的先備知識(shí)?！比昙?jí)倍的認(rèn)識(shí)與和倍問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)歷了“直觀的實(shí)物圖——抽象的線段圖”的認(rèn)知過(guò)程，特別是和倍問(wèn)題的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)積累了一些畫(huà)圖的經(jīng)驗(yàn)，如和倍問(wèn)題中的兩個(gè)量用兩條線段表示，先畫(huà)一倍的量（參照物），再畫(huà)幾倍的量，每份線段要一樣長(zhǎng)；短的畫(huà)短一點(diǎn)，長(zhǎng)的畫(huà)長(zhǎng)一點(diǎn)等，這些儲(chǔ)備都為學(xué)生獨(dú)立構(gòu)圖提供了認(rèn)知基礎(chǔ)。

第二，經(jīng)歷是合理構(gòu)圖的必經(jīng)之路

著名數(shù)學(xué)家陳省身指出：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來(lái)，用自己的見(jiàn)解和別人的見(jiàn)解交換，會(huì)有很好的效果。但是，思考數(shù)學(xué)問(wèn)題需要很長(zhǎng)的時(shí)間?！睂W(xué)生的每一項(xiàng)技能的形成包括畫(huà)圖，都是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷提升的過(guò)程，都是不斷從模糊走向清晰的過(guò)程。學(xué)生在用畫(huà)圖的策略解決問(wèn)題結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題思路等多方面變化的實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，只有經(jīng)歷不斷地思考分析、比較優(yōu)化，充分的體驗(yàn)、感悟，才能逐步積累畫(huà)圖的經(jīng)驗(yàn)，也才能構(gòu)造出合適的示意圖，進(jìn)而幫助學(xué)生正確理解題意，分析數(shù)量之間的聯(lián)系，形成解題思路。如和差問(wèn)題例題的教學(xué)，學(xué)生在獨(dú)立構(gòu)圖的過(guò)程中出現(xiàn)了一條線段、兩條線段等合理或不合理、正確或不正確的六種情況，只有在討論交流中去辨析感悟，學(xué)生對(duì)“為什么畫(huà)兩條線段是合適的”的認(rèn)識(shí)才能逐步從模糊走向清晰。

第三，合理構(gòu)圖是正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵

畫(huà)圖最直接的目的是利用圖形將抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀地表示出來(lái)，進(jìn)而使條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系形象、生動(dòng)地呈現(xiàn)出來(lái)，這樣才能幫助分析數(shù)量關(guān)系，正確解決問(wèn)題，但如果所構(gòu)的圖形不正確或不合理，就很難理清數(shù)量之間的關(guān)系（如上述例1中的圖⑥），甚至?xí)?dǎo)致錯(cuò)誤的理解（如上述例1中的圖①、圖②、圖③）。再如：張寧和王曉星一共有畫(huà)片86張。王曉星給張寧8張后，兩人畫(huà)片的張數(shù)同樣多。兩人原來(lái)各有畫(huà)片多少?gòu)垼浚ㄋ哪昙?jí)下冊(cè)練習(xí)八第10題）如果學(xué)生不能準(zhǔn)確地將“王曉星給張寧8張后，兩人畫(huà)片的張數(shù)同樣多”在圖中表示出來(lái)，就很難正確地解決這道實(shí)際問(wèn)題。

第四，獨(dú)立構(gòu)圖是學(xué)生獨(dú)特見(jiàn)解的體現(xiàn)

獨(dú)立構(gòu)圖，最重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)性解題能力，是學(xué)生獨(dú)特見(jiàn)解的體現(xiàn)。相同的問(wèn)題，學(xué)生因思維發(fā)展的個(gè)性差異而描述表征的方式會(huì)有所不同，如前面提到的“一個(gè)長(zhǎng)方形菜園的周長(zhǎng)是56米，長(zhǎng)比寬多4米，這個(gè)菜園的面積是多少平方米？”學(xué)生可能會(huì)用以下不同的方法描述問(wèn)題：

由于“半成品”式的輔助學(xué)習(xí)存在著一定的暗示性，學(xué)生遇到貌似相同的問(wèn)題會(huì)受其影響，不假思索地畫(huà)出相類(lèi)似的圖形。只有將認(rèn)真審題、分析思考、獨(dú)立構(gòu)圖作為教學(xué)的著力點(diǎn)，學(xué)生才能從貌似相同的問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)的不同，進(jìn)而富有個(gè)性地去解決，出現(xiàn)如圖所示的三種不同的情況，盡管所構(gòu)圖形不同，但都是學(xué)生真實(shí)思維的體現(xiàn)，獨(dú)立思考的結(jié)晶，都可以據(jù)此分析出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的數(shù)量關(guān)系，從而求出長(zhǎng)方形的面積。

《課標(biāo)》指出：“學(xué)生教科書(shū)，僅僅是學(xué)生可以利用的教學(xué)資源之一”，葉圣陶先生也曾說(shuō)過(guò)“教材無(wú)非是個(gè)例子”，在培養(yǎng)學(xué)生理性思維和創(chuàng)新能力的今天，教師必須樹(shù)立正確的教材觀，從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，把握好用教材教的“度”，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，從而為學(xué)生的終身發(fā)展奠基。