何心芳

《義務教育數(shù)學課程標準》（2011年版）中指出：“數(shù)學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎之上”。這說明教師必須充分了解學生的知識體系和活動經(jīng)驗后才能組織教學，否則教師的教學就只是一廂情愿。

一、教學片段再現(xiàn)

【課堂實錄】

師：同學們還記得三角形內(nèi)角和的結論嗎？

生：記得，180°。

師：還有同學記得是怎么得到這個結論的嗎？

（沉默了好大一會兒，終于有幾個學生想到了）

生：把3個角拼在一起。

師：老師這里有一個三角形。你給大家演示一下吧！

（學生上講臺操作）

師：很好。但拼圖畢竟是有誤差的。我們今天將用幾何推理的方法來說明三角形內(nèi)角和為180°的原因。請同學們看這種拼圖方法：如圖①，我們可以看出圖②中，除了∠3的位置沒有變化以外，∠A、∠B的位置都發(fā)生了變化，你能發(fā)現(xiàn)變化后的∠A、∠B（即∠1、∠2）與原來位置的關系嗎？

生：∠A和∠1是內(nèi)錯角，∠B和∠2是同位角。

師：很好?！螦和∠1是相等的，所以AB//CD。從而我們就尋找到解決問題的方法。即過點C作CD//AB……

【產(chǎn)生困惑】這節(jié)課看似是在教師的引導下得出了證明結論的方法，但存在幾個問題：學生對于這個結論是相當熟悉的，而對于它的說明方法已經(jīng)忘記了。初中教材的要求是讓學生通過拼圖來體會圖形的變換，從而找到說明該結論正確的理論依據(jù)。那么這樣的設計達到教學要求了嗎？學生上講臺演示的拼圖方法應該不止一種。為什么老師只選擇了這一張？對于初學幾何語言的學生來說，輔助線如何添加真的能理解嗎？

【分析原因】學生的學習起點可分為邏輯起點和現(xiàn)實起點。其中邏輯起點是指學生按教材、文本、課標的規(guī)定，應該具有的知識、能力基礎，而現(xiàn)實起點是指學生在多種學習資源的共同作用下，已實際具有的知識能力、情感態(tài)度基礎。教材在編排上十分注意對知識、能力的邏輯銜接，這是從學生學習的邏輯起點來設計教學內(nèi)容的，它有效地防止了教學中的隨意性。而我認為在實際教學中教師更需要了解學生的現(xiàn)實起點，充分利用學生所熟悉的、簡明的、合理的知識，將學生已有的學習起點對接到我們的教學起點上，方能引向知識的本質(zhì)，達到教學的最終目的。

二、我們可以這樣做

1.分析教學內(nèi)容是否前后有關聯(lián)，找到新舊知識的對接點

數(shù)學教學必須建立在學生已有的知識經(jīng)驗和認知能力的基礎上，這就要求把握好學生的學習起點。對于每一節(jié)教學內(nèi)容，要在新舊知識的銜接點上思考學生已掌握了哪些知識，已具備哪些活動經(jīng)驗，并在此基礎上設計教學起點，確定本節(jié)課的生長點，產(chǎn)生知識的遷移。

【案例1】分式的加減（1）

師：同學們還記得同分母的分數(shù)如何加減嗎？你能舉例說明嗎？

（學生思考一小會兒，有個別學生舉手）

生：分母不變，分子相加減……

師：你認為同分母的分式應該如何加減？

生：分母不變，分子相加減。

師：類比同分母分數(shù)相加減，我們可以得出同分母的分式相加減的法則……（板書法則）

師：我們用法則嘗試計算下列幾個算式。

【案例修改】

師：同學們會計算下列算式嗎？

目的：喚起學生對于分數(shù)計算的回憶。第（1）小題主要是復習同分母分數(shù)加減的法則；第（2）小題意在提醒學生分數(shù)的結果要化成最簡分數(shù)，即約分。

師：下面的算式你會計算嗎？

反饋：第（1）小題沒有任何問題；第（2）小題個別同學忘記約分。

師：你能看出這兩個算式的特點嗎？

生：都是兩個分式在做加減運算。它們的分母是一樣的。

歸納：同分母分式的加減法法則。

師：老師覺得 好難??！怎么分母不一樣?。?/p>

【案例反思】雖然最后一個題目學生遇到的困難比較多，如分母的變形、結果的約分，但在這個過程中學生對于同分母分式的加減運算記憶是深刻的。因為分式和分數(shù)本身長得就比較像，通過比較教學，達到知識的遷移是可行的。而且這樣的教學起點是對接在學生已有的知識基礎上的，是在學生認知規(guī)律上的遷移，形成一個層層遞進、由簡到難的教學過程，取得的教學效果也是不錯的。

2.觀察教學內(nèi)容是否和生活有聯(lián)系，找到便于學生理解的對接點

在教材上經(jīng)常會出現(xiàn)“上述圖片中有你熟悉的圖形嗎”“……，生活中還有類似的例子嗎”等提問?？梢娪行┙虒W內(nèi)容比較抽象，學生不易馬上理解和想象。此時我們可以充分挖掘學生身邊和生活中的實例，來幫助學生學習。

【案例2】圖形的旋轉主要是考查學生對圖形變換的空間想象能力。要讓一個圖形運動起來，就必須要知道導致它運動的元素以及運動的方式。平時學生看到的書本上的幾何圖形都是平面的、靜止的。而生活中的物體卻有旋轉的，所以我就從生活中旋轉的物體導入開始理解什么是旋轉?？梢允菍嵨?，如電扇、車輪、鐘擺等；也可以是圖片，如摩天輪、秋千、雨刮器等。首先在學生的腦海里構建旋轉現(xiàn)象，挖掘這些物體在旋轉時的共同點，從而找到旋轉的兩個要素，即旋轉中心和旋轉方向。

這樣的教學起點就是建立在學生的生活經(jīng)驗基礎之上，讓學生既感受到生活中隱藏著數(shù)學問題，又能利用數(shù)學知識解釋生活現(xiàn)象。找到抽象的教學內(nèi)容和學生的現(xiàn)實生活經(jīng)驗的對接點，讓學生的數(shù)學學習經(jīng)歷能夠貼近生活。雖然在學生的學習起點和教師的教學之間建立紐帶要費些時間，但這樣的時間是有價值的。

3.思考教學內(nèi)容是否對于學生是全新的，找到教學方式和手段的對接點

為了能用更多的方法解決一些數(shù)學問題，有時需要格外補充一些以前不曾接觸的教學內(nèi)容。對于這種情況，我們可以充分利用現(xiàn)代化的教學設備或小組合作交流等方式來組織教學。

【案例3】在進行《勾股定理》教學時，教師先問了一下學生是否聽說過“勾股”，結果學生在提醒下想起了勾3股4弦5。而作為數(shù)學史上的重要定理之一，教師不僅要讓學生知道勾股定理，會用勾股定理，還要讓學生了解和實踐這一定理的成長和證明過程。對于這樣一個全新的數(shù)學知識，僅用簡單告知是無法達到目的的，所以我在上新課前布置了一項作業(yè)：充分利用網(wǎng)絡資源，搜集勾股定理的歷史和科學家們在驗證該定理時的奇思妙想。

師：同學們，今天我們這節(jié)課主要研究勾股定理。有誰知道什么是“勾”“股”？它是怎么來的？

學生從古代的《周髀算經(jīng)》說到趙爽弦圖，再到2002年世界數(shù)學家會會標……

師：到目前為止，有多少種驗證方法？

學生認為下列3種方法還可以理解，其他的有難度。

師：請同學來當一回數(shù)學家，演示驗證的過程。

像這樣以學生自主學習，交流學習、體會作為教學的起點，不僅能促使學生感受數(shù)學文化的內(nèi)涵，提高他們的動手實踐能力，還可以使其感受數(shù)學學習的魅力，感嘆數(shù)學思維的靈活。

三、我們還可以做得更多

由于學生個體的差異性和學習資源的多樣性，學生的學習起點也就各不相同，那么課堂教學的起點還可以如何尋找呢？除了常規(guī)的方法，如問卷法、聊天法、測試法外，我們還可以嘗試問題交流法。

【案例4】中位線的內(nèi)容結束后，學生提出了中線和中位線是否有關系的問題。我的做法是：利用學生提供的圖形（圖1）分解出兩幅圖（圖2和圖3）。先理清概念，再利用圖2結合三角形的變化，回顧等腰三角形底邊上的中線和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)（數(shù)量關系），利用圖3復習三角形中位線的性質(zhì)（數(shù)量關系和位置關系）。然后研究中線和中位線分原三角形所得的小三角形和原三角形的面積關系。最后利用圖3延伸出中點三角形及相關性質(zhì)。

總之，我們要直面學生的數(shù)學現(xiàn)實，站在學生的角度尋找學生的學習起點和教師的教學起點的對接點。無論這兩點之間是直線、曲線還是折線，它都將是一幅最美的幾何圖形，蘊含著師生的共鳴和智慧。