吳明珠， 王　洋， 李興民*

( 1．廣州商學(xué)院信息技術(shù)與工程學(xué)院，廣州 511363；2．華南師范大學(xué)計算機學(xué)院，廣州 510631)

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二維錢方法的改進及其在圖像去噪中的應(yīng)用

吳明珠1， 王洋2， 李興民2*

( 1．廣州商學(xué)院信息技術(shù)與工程學(xué)院，廣州 511363；2．華南師范大學(xué)計算機學(xué)院，廣州 510631)

針對目前二維錢方法運行時間緩慢的問題，提出了二維錢方法的快速優(yōu)化方案，并將其首次應(yīng)用于圖像去噪：將二維錢方法的內(nèi)積計算進行優(yōu)化，通過2個一維積分來計算其二維積分，然后將內(nèi)積的計算過程放置到GPU的計算單元中，使用CPU和GPU并行計算的方法，明顯提高了運行速度；對于因使用錢方法對圖像分解重構(gòu)后圖像產(chǎn)生條形波紋的現(xiàn)象，使用了擴展圖像邊界的方法來消除波紋，改善了圖像的質(zhì)量；將二維錢方法應(yīng)用于圖像去噪中． 研究結(jié)果表明，文中提出的二維錢方法的改進方案運行速度明顯提升，尤其是在步長為0.5時可以達到實時運用，使得廣泛應(yīng)用二維錢方法理論來解決實際問題成為可能；該去噪算法步驟簡單且能夠獲得良好的視覺效果，在濾除噪聲和保留圖像細節(jié)上進行均衡，去噪效果理想．

二維錢方法； 快速實現(xiàn)； 并行計算； 圖像去噪

Keywords：two-dimensionalQianmethod;fastimplementation;parallelcomputing;imagedenoising

1998年,HUANG等[1]提出了一種新型的非線性非穩(wěn)態(tài)信號處理方法, 稱為希爾伯特-黃變換(HHT),其特點在于：它是基于信號局部特征的，能夠?qū)π盘栠M行自適應(yīng)的高效分解，且特別適用于分析非線性非平穩(wěn)信號[2-3]． 然而，HHT在數(shù)學(xué)理論上是有缺陷的[4]． 針對此問題，QIAN等[5]提出自適應(yīng)傅里葉分解(AFD)方法, 現(xiàn)稱之為錢方法．

錢方法在數(shù)學(xué)理論上十分完美，一維錢方法在計算機上也得到了快捷實現(xiàn)[6-9]． 但二維錢方法在計算機上的實現(xiàn)卻構(gòu)成難題． 2014年，武偉[10]在計算機上實現(xiàn)了二維錢方法，并成功將錢方法應(yīng)用于圖像壓縮中． 遺憾的是，其實現(xiàn)方法運行耗時較長． 另外，在重構(gòu)圖像的過程中，我們發(fā)現(xiàn)其圖像邊界上有明顯的條形波紋，當對圖像分塊使用錢方法時，條形波紋明顯影響了圖像重構(gòu)的質(zhì)量．

本文針對二維錢方法運行時間緩慢的問題，提出了一種快速實現(xiàn)方案． 另外，通過延拓圖像的邊界，消除了文獻[10]使用錢方法分解重構(gòu)后圖像邊界上出現(xiàn)的條紋，并將改進后的二維錢方法應(yīng)用于圖像去噪中．

1　改進的二維錢方法

1.1二維錢方法

單位圓盤 D 的邊界用 T 表示，L2(T2)表示能量有限的復(fù)值函數(shù)空間，其中能量通過內(nèi)積確定． 定義如下：

(1)

(3)

其中，Dn( f )有2n-1項，極大選擇原則為在復(fù)數(shù)單位圓中選擇{a1,a2,…,an}和{b1,b2,…,bn}使得‖Dn( f )‖2最大：

(4)

對于任何給定的fH2(T2)，從任意k0開始，通過極大選擇原則得到的ak0, bk0, ak0+1, bk0+1,…，有

根據(jù)上節(jié)敘述可以看出，要遍歷單位圓中所有離散點，從單位圓中尋找合適的a、b點使‖Dn( f )‖達到最大,從而計算二維錢方法的各個分量． 離散點越多，得到的最值越精確，當然算法要花費的運算時間也越長． 將式(1)代入式(4)，得到二維錢方法的內(nèi)積計算公式：

(6)

(7)

其中m、n表示圖像尺寸． 1.2.2并行計算方法整個程序分為CPU和GPU兩部分運行過程進行，具體步驟如下：

(1)將單位圓進行細分并存儲所有點于Ca和Cb；

(5)把步驟(4)得出的各個S值傳至CPU中;

(6)求出S的最大值及其相應(yīng)的an和bn值;

(7)把an和bn代入式(4)，得到當前的分量;

(8)重復(fù)步驟(2)～(7)，直到完成所有分量的計算． 1.2.3改進算法實驗結(jié)果實驗將一幅256像素×256像素的圖像分解成100張分量． 算法優(yōu)化前后運行時間上的對比見表1． 可以看出使用上述優(yōu)化方案后，算法的運算速度明顯提升． 使用二維錢方法與本文改進算法對圖1進行各個步長重構(gòu)，效果圖見圖2、圖3． 為了客觀評價圖像重構(gòu)的效果，采用峰值信噪比(PSNR)作為客觀量評價指標(表2) ．

表1　優(yōu)化前后運行時間的對比

圖1　原圖

圖2　原二維錢方法各步長重構(gòu)圖像效果圖

圖3　改進的二維錢方法各步長重構(gòu)圖像效果圖

方法步長0.500.250.100.08原二維錢方法25.34227.33530.11236.322改進的二維錢方法38.32238.65439.87440.334

由表1和表2可以看出，步長為0.5時，改進的二維錢方法不僅速度快，而且分解重構(gòu)后的圖像效果也很好． 所以本文對圖像進行錢方法分解重構(gòu)時，均取步長為0.5． 另外，在相同步長的情況下，由表2可以看出，改進的二維錢方法圖像分解重構(gòu)的效果比原二維錢方法要好，圖像質(zhì)量優(yōu)化的主要原因是改進的二維錢方法消除了原二維錢方法中進行錢方法分解后的合成過程中產(chǎn)生的條形波紋，具體實現(xiàn)過程見下節(jié)．

1.3消除條形波紋

在對圖像進行錢方法分解之后，合成的圖像邊緣明顯帶有條狀邊框線(圖4A)． 如果將圖像分塊后，各自進行錢方法變換后再合成，這些邊界將嚴重影響合成圖(圖4B)．

圖4　邊界條紋

圖像邊界中條紋的產(chǎn)生，是因為錢方法假設(shè)信號J是一個周期性的解析函數(shù)[5]． 而圖像并不是周期性的． 仔細觀察圖4A，發(fā)現(xiàn)圖像的中心部分并沒有邊界上產(chǎn)生的條紋. 于是，我們將邊界往外擴展，在錢方法重構(gòu)后，條紋只產(chǎn)生在邊界區(qū)域，即擴展后的區(qū)域． 然后再將擴展后的區(qū)域剪裁，就得到?jīng)]有邊界條紋的圖像了． 基于這個思想，本文提出一種可以適用于非周期性圖像錢方法分解的預(yù)處理方法．

1.3.1算法過程給定原圖像I，其大小為m×n， 擴展長度參數(shù)e．

(1)創(chuàng)建擴展圖像Ie，其大小為(m+2×e)×(n+2×e)，Ie的值如下：

Ie(e+1→e+m,e+1→e+n)=I(1→m,1→n),

Ie(1→e,e+1→e+n)=I(e+1→2,1→n),

Ie(e+m+1→2*e+m,e+1→e+n)=

I(m-1→m-e-1,1→n),

Ie(1→e,e+1→e+n)=I(1→m,n+1→2),

Ie(e+m+1→e+m,e+1→e+n)=I(1→m,n-e-1→n-1),

Ie(1→e,1→e)=I(e+1→2,e+1→2),

Ie(1→e,e+n+1→2*e+n)=I(2→e+1,n-1→n-e-1),

Ie(e+m+1→2*e+m,1→e)=I(m-1→m-e-1,1→e),

Ie(e+m+1→2*e+m,e+n+1→2*e+n)=

I(m-1→m-e-1,n-1→n-e-1).

(2)對擴展圖像Ie進行錢方法分解，得到分量Dni(i=1,2,…,N)，它們的大小為(2×e+m, 2×e+n)．

(3)將所有分量Dni進行裁剪，將擴展長為e的邊界去除． 裁剪后大小變回(m,n)．

1.3.2實驗結(jié)果在原圖5A進行錢方法分解之前，對圖像的邊界使用對稱復(fù)制的方法來擴展邊界，如圖5B． 然后對該圖進行重構(gòu)，得到圖5C． 可以看到重構(gòu)后的條紋只產(chǎn)生在邊界上，而原來的擴展前的邊界并沒有條紋． 將擴展區(qū)域剪裁，只留下原圖像的區(qū)域(圖5D)． 可見邊界上的條紋已去除． 由圖6B可見，使用本方法后的分塊進行錢方法分解后合成的圖像已消除連接處的邊界． 由圖5和圖6知，本文提出的消除波紋的方法簡單有效．

圖5　圖像的擴展與剪裁效果圖

圖6　是否使用擴展的圖像合成效果比較圖

Figure6Comparisonofimagesynthesiseffectwithofwithoutimageexpansion

2　改進的二維錢方法在圖像去噪的應(yīng)用

由于二維錢方法是嶄新的數(shù)學(xué)理論，除文獻[10]在圖像壓縮方面做過嘗試外，在二維錢方法的應(yīng)用方面還沒有任何可以借鑒的文獻． 運行速度的提高，使得廣泛應(yīng)用錢方法解決實際問題成為可能． 本文嘗試將二維錢方法應(yīng)用于圖像去噪中． 傳統(tǒng)的去噪方法包含空間域去噪和變換域去噪． 空間域去噪的方法有：均值濾波器去噪[12]、中值濾波器去噪[13]等． 變換域的去噪方法有：低通濾波器去噪[14]、維納濾波器去噪[15]和小波閾值法去噪[16]等．

與低通濾波去噪原理一樣，噪聲分布在高頻段． 錢方法分解后的分量是從低頻到高頻分布的，能量呈遞減趨勢，頻率呈遞增趨勢． 低頻分量表示圖像的平滑區(qū)域，而高頻分量描述圖像的細節(jié)． 去除部分高頻分量，對重構(gòu)后的圖像影響不大(圖7)．

圖7　部分分量重建的效果圖

如何在有效濾除高頻噪聲的同時更大限度地保留圖像的細節(jié)信息，從而提高圖像質(zhì)量也是我們需要考慮的問題． 所以，我們綜合采用噪聲檢測算法[14]和二維錢方法進行圖像去噪.本文的去噪算法具體步驟如下：

(1)運用噪聲檢測方法[14](即分數(shù)階微分梯度算法)來檢測噪聲圖像J中的隨機噪聲點的位置圖g；

(2)對噪聲圖像J和噪聲位置圖g分別運用本文改進的錢方法分解成100個分量，得到各自的分量圖J1,J2,…,J100和g1,g2,…,g100；

(3)對2組分量圖后面30個高頻分量進行匹配，當2組對應(yīng)的分量圖Ji和gi相似則去除相應(yīng)的分量圖Ji；

(4)最后重構(gòu)噪聲圖像J剩余分量圖． 圖8B是對圖8A添加標準差σ=25的高斯白噪聲的噪聲圖． 圖9A～F則是分別采取了6種不同的去噪算法對圖8B的噪聲圖像進行去噪的實驗效果圖，可以看到運用本文算法進行去噪可以達到理想的去噪效果． 為了客觀評價圖像去噪的效果，本文同時采用峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)[17]來作為去噪的客觀量評價指標，結(jié)果見表3．

圖8　原圖及噪聲圖

圖9　不同算法的去噪效果圖

評價指標均值濾波中值濾波維納濾波小波閾值文獻[14]本文算法PSNR26.633226.794127.119928.388433.821334.3456SSIM0.61320.63650.70160.77600.89960.9022

本文提出的去噪算法在濾除噪聲和保留圖像細節(jié)上進行均衡，因為通過二維錢方法分解后發(fā)現(xiàn)后面的高頻分量主要包含了圖像的部分紋理細節(jié)和噪聲． 因此，為了避免圖像的細節(jié)被丟失，先將噪聲點檢測出來，然后在去除高頻分量的時候?qū)Ρ仍肼朁c的位置信息，盡可能保留了圖像的細節(jié)． 由表3可以看出，與傳統(tǒng)的幾類去噪算法進行對比，本文提出的利用二維錢方法進行圖像去噪算法步驟簡單，實驗效果理想． 當然，錢方法在解決圖像處理相關(guān)問題中的優(yōu)勢還有更多地方值得我們?nèi)グl(fā)掘，下一步將考慮改進的二維錢方法在圖像壓縮等其他方面的應(yīng)用．

3　結(jié)論

本文提出的二維錢方法的快速實現(xiàn)方案不僅大大縮減程序運行時間，使廣泛應(yīng)用二維錢方法成為可能，并且成功應(yīng)用在圖像去噪方面． 當然，錢方法分解后的各個分量，除了能量遞減這一特性之外，其他特征還有待研究． 如果能提取出每個分量中的特征，將有助于更好地利用錢方法． 同時，對于實時性的應(yīng)用，如實現(xiàn)車載攝像頭中的去霧功能，以減少道路擁堵狀況，13s的運行時間還太長． 如何進一步優(yōu)化二維錢方法的運算速度，以達到實時這一級別，將是我們進一步研究的問題．

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【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

An Improved Two Dimensional Qian Method and Its Application of Image Denoising

WUMingzhu1，WANGYang2，LIXingmin2*

(1.SchoolofInformationTechnologyandEngineering,GuangzhouCollegeofCommerce,Guangzhou511363,China;2.SchoolofComputerScience,SouthChinaNormalUniversity,Guangzhou510631,China)

ToalleviatetheproblemofcurrenttwodimensionalQianmethod’sslowrunningtime,afastimplementationoftwodimensionalQianmethod’sisproposed.Anditisappliedtoimagedenoisingforthefirsttime.First,theinnerproductcalculationofthetwodimensionalQianmethodisoptimizedbyusingtwoone-dimensionalintegraltocalculatethetwo-dimensionalintegral.ThentheinnerproductcalculationprocessisplacedintotheGPUcomputingunit.CPUandGPUparallelcomputingisusedtoimproverunningspeed.ForthestriprippleswhicharegeneratedafterthedecompositionandreconstructionoftheimagebyusingQianmethod,themethodofextendingtheimageboundaryisusedtoimprovethequalityoftheimage.Finally,twodimensionalQianmethodtoimagedenoisingisapplied.Experimentalresultsshowthat,therunningtimeoftheimprovedschemeoftwodimensionalQianmethodproposedinthispaperissignificantlyimproved.Especiallywhenthestepsizeis0.5,itcanbeusedinrealtime.SoitispossibletosolvethepracticalproblemsbyusingthetheoryoftwodimensionalQianmethod.AnditcanbeseenintheexperimentalresultsofimagedenoisingintwodimensionalQianmethod,thedenoisingalgorithmissimpleandcanobtainagoodvisualeffect.Andthedenoisedimagecouldgetabettereffectofremovingthenoiseandpreserveimagedetailsatthesametime.Theeffectofdenoisingisideal.

2016-03-14 《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863 計劃，2012AA021105)；廣東省創(chuàng)新強校工程教學(xué)改革項目(GDJG2016001);廣州商學(xué)院應(yīng)用型人才培養(yǎng)示范基地項目(zlgc2015005)； 廣州商學(xué)院2014年校級教學(xué)成果培育項目(JXCG201406)

李興民，教授，Email:wmz419@163.com.

TP391

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1000-5463(2016)04-0119-06