高維波動方程與熱傳導方程非齊次邊界條件的一般處理

林瓊桂

（中山大學物理學院，廣東廣州 510275）

教學研究

高維波動方程與熱傳導方程非齊次邊界條件的一般處理

林瓊桂

（中山大學物理學院，廣東廣州 510275）

對于具有非齊次邊界條件的高維（二維或三維）波動方程或熱傳導方程定解問題，構(gòu)造了輔助定解問題，借助其解可以將原問題的邊界條件齊次化.該方法具有普遍性和可操作性.用該方法求解了兩個實例.

波動方程；熱傳導方程；非齊次邊界條件；輔助定解問題

在數(shù)理方程的定解問題中，常常出現(xiàn)非齊次的邊界條件.對于規(guī)則的區(qū)域，通?？梢圆捎梅蛛x變量法求解，但需要先將邊界條件齊次化.齊次化的思路是將原來的未知函數(shù)u分解為u=v+w，其中w是滿足非齊次邊界條件的簡單輔助函數(shù)，而v滿足齊次邊界條件.w的構(gòu)造并無一般規(guī)則，通常采用觀察和嘗試的方式.對于一維波動方程或熱傳導方程，一般取w為空間變量x的一次函數(shù)（只當兩端均為第二類邊界條件時需要取為二次函數(shù)）即可滿足要求.常見的教科書中處理的就是此類情形［1-7］.雖然期刊文獻上也有不少相關(guān)討論，但也多限于一維問題，比如本刊發(fā)表過的一些工作［8，9］.對于高維（二維或三維）波動方程或熱傳導方程，如何將非齊次的邊界條件齊次化，則未見文獻上有詳細的論述.文獻［10］上雖有少數(shù)實例，但由于邊界條件不復雜，采用的仍然是觀察和嘗試的思路.對于比較復雜的情況，采用這種方法構(gòu)造w就需要更多的技巧，也面臨如何構(gòu)造才更加恰當或方便的問題.以簡單的長方體區(qū)域為例，假設只有一組相對的邊界面上具有非齊次邊界條件，現(xiàn)欲將其齊次化，同時保持另外兩組邊界面上的齊次邊界條件.我們可以用滿足兩組邊界面上齊次邊界條件的完備函數(shù)組來展開w，通過選擇展開系數(shù)以滿足另一組邊界面上的非齊次邊界條件.但是，這里有幾個問題需要考慮.第一，如何尋找這樣的完備函數(shù)組？對于長方體這是容易的，但對于更復雜的區(qū)域則不然.第二，事實上存在多種（原則上是無窮多）這樣的完備函數(shù)組，如何選擇？第三，這里的展開系數(shù)實際上是一元函數(shù)，適當選取其端點值即可滿足所給的非齊次邊界條件，那么區(qū)間內(nèi)的函數(shù)形式如何選擇？如果選擇了不合適的完備函數(shù)組或展開系數(shù)，可能導致v的定解問題太復雜而難以求解.因此，我們需要有章可循的方法.

對于具有非齊次邊界條件的高維（二維或三維）波動方程或熱傳導方程定解問題，本文的思路是構(gòu)造一個輔助定解問題，它由拉普拉斯方程（或泊松方程）和原問題的非齊次邊界條件構(gòu)成，借助其解可以將原問題的邊界條件齊次化.由于輔助定解問題與原定解問題具有同樣的求解區(qū)域，如果具有齊次邊界條件的原問題可以解析求解，則輔助問題亦可解析求解.這樣就克服了非齊次邊界條件引起的額外困難.這一方法具有普遍性和可操作性.

1 一般處理

在以下的敘述中，我們以三維熱傳導方程為例，對于波動方程，方法是完全一樣的.如果是二維問題，也只需將敘述中的一些細節(jié)略作改動.考慮三維空間有界區(qū)域D上的定解問題

其中?D是區(qū)域D的邊界面.這里我們以第一類邊界條件為例，對于第三類邊界條件或混合邊界條件，方法是完全類似的.如果是第二類邊界條件，則需要略作修正，這將在后面討論.

為了將邊界條件齊次化，我們定義函數(shù)w（r，t）滿足以下輔助定解問題：

這是一個瞬時的拉普拉斯方程定解問題.盡管形式上含有時間，但求解時無需理會其物理意義，只需將其當作一個參數(shù)即可.然后令

則v（r，t）滿足以下具有齊次邊界條件的定解問題：

由于邊界條件已經(jīng)齊次化，這一定解問題就可以用本征函數(shù)展開法求解.

如果區(qū)域D是規(guī)則的，使得原問題在方程和邊界條件都是齊次的情況可以解析求解，那么輔助定解問題也就可以解析求解，結(jié)合本征函數(shù)展開法，原定解問題就可以徹底解決.這一方法具有普遍性.

2 討論

本節(jié)對上述方法的細節(jié)做一些討論和補充.

1）如果u滿足的是波動方程的定解問題，那么w的定解問題仍由式（2）定義.

2）前面的討論中，我們以三維熱傳導方程為例，對于二維的波動方程或熱傳導方程，上述方法仍然適用，只需將敘述中的一些細節(jié)略作改動（比如邊界面改為邊界線）.這在前面已經(jīng)有所提及.

3）如果f（r，t）=f（r），F(xiàn)（r，t）=F（r）均與t無關(guān)，那么還可以定義輔助函數(shù)w（r）滿足以下輔助定解問題：

然后令u（r，t）=v（r，t）+w（r），則v（r，t）的定解問題具有齊次方程和齊次邊界條件：

這樣一來，v（r，t）較易求解，但w（r）滿足非齊次的泊松方程，則較難求解，總的工作量并不一定減少，因此這一改變未必有利.另一方面，即使在一般情況下，我們也可以使用滿足泊松方程的輔助定解問題，即將式（2a）改為Δ2w（r，t）=-f（r，t）/a2，但此時v（r，t）的方程仍然是非齊次的，因為式（4a）右邊的第二項仍然存在，于是兩個定解問題都是非齊次方程，這當然不可取.可見一般只需采用輔助定解問題（2）.

4）對于第三類邊界條件或混合邊界條件（邊界面的不同部分有不同類型的邊界條件），輔助定解問題只需作很小的改動，即將w（r，t）的邊界條件取為原問題的邊界條件，后續(xù)的處理完全類似.但如果整個邊界面都是第二類邊界條件，則w（r，t）的方程也需要作一些修正.設有下述定解問題：

其中?u/?n是沿邊界面外法向方向的方向?qū)?shù).這時我們必須定義輔助函數(shù)w（r，t）滿足以下定解問題：

其中

而dσ是面積元，V是區(qū)域D的體積.然后作式（6）的變換，則v（r，t）滿足以下具有齊次邊界條件的定解問題：式（18）右邊的非齊次項是為了方程與邊界條件自洽.如果采用齊次方程，則由高斯定理容易發(fā)現(xiàn)方程與邊界條件一般是自相矛盾的，除非Q（t）=0.

5）最后指出，對于一維波動方程或熱傳導方程，用于齊次化的輔助函數(shù)w取為x的一次函數(shù)，其實正是一維拉普拉斯方程的解，系數(shù)則由邊界條件決定，這與上面用于高維問題的方法正好是一致的.對于兩端都是第二類邊界條件的情況，則一次函數(shù)不能奏效，因為此時必須用泊松方程的解，這也與高維情況類似.

3 實例

本節(jié)用前面提出的方法求解兩個實例.由于非齊次方程與非齊次初始條件的處理都是熟知的（事實上，它們可以用另一個具有齊次邊界條件的定解問題來處理），為了集中力量關(guān)注非齊次邊界條件的處理，以下考慮的問題都具有齊次的方程和齊次的初始條件.本節(jié)仍以熱傳導問題為例，因為其物理意義比較清晰.

例1. 考慮半徑為R的半圓形薄板的熱傳導問題，板面絕熱，取平面極坐標系，溫度分布為u（r，t）=u（ρ，φ，t），定解問題如下：

如果兩條半徑上有非齊次邊界條件，也可以求解，只是計算更復雜而已.按前面的思路，作式（3）的分解，其中w（r，t）滿足輔助定解問題

用分離變量法可以求得

其中

這可以用本征函數(shù)展開法求解.設xmn是貝塞爾函數(shù)Jm-1/2（x）的第n個正零點，而

為滿足邊界條件，應該展開

其中Tmn（t）是待定函數(shù).為了代入方程（15a）和初始條件（15c）確定Tmn（t），需要將w（r，t）作類似的展開，計算可得

這個表式只用于求解Tmn（t）.作為最后結(jié)果的一部分，我們當然還是使用式（13）的形式.不難求得Tmn（t）滿足以下微分方程和初始條件：

解之得

對方括號中第二項分部積分可以消去f′m（τ），但上述表式更方便.將上述結(jié)果代入式（35）即得v（r，t），結(jié)合式（29）所得的w（r，t），一起代入式（6）即得最后結(jié)果.

討論幾種特殊情況：1）如果f（φ，t）=0，則易得u（r，t）=0，如所期望.2）如果f（φ，t）=f（φ）與時間無關(guān)，則fm（t）=fm亦與時間無關(guān)，于是有Tmn（t）=-cmnfmexp（-λmna2t）.當t→∞，易得v（r，t）→0，最后得到穩(wěn)定溫度分布w（r）.3）如果f（φ，t）= f（t）sin（M-1/2）φ（其中是M是正整數(shù)），此時w（r，t）只有一項，而v（r，t）只含對n的一重求和.為節(jié)省篇幅，細節(jié)從略.我們也可以一開始就討論這種情況，然后通過線性疊加得出一般f（φ，t）的相應結(jié)果.

例2. 考慮半徑為R的半球的熱傳導問題，取球坐標系，溫度分布為u（r，t）=u（r，θ，φ，t），定解問題如下：

如果底面有非齊次邊界條件，也可以求解，只是計算更復雜而已.按前面的思路，作式（6）的分解，其中w（r，t）滿足輔助定解問題：

用分離變量法可以求得

其中

它們在半球面上是正交歸一的，即滿足

注意ylm（θ，φ）不是標準的球諧函數(shù)，所以記號也有所不同.式（23）中的系數(shù)

是函數(shù)f（θ，φ，t）用本征函數(shù)族｛ylm（θ，φ）｝展開的展開系數(shù).v（r，t）的定解問題是

這可以用本征函數(shù)展開法求解.設xln是球貝塞爾函數(shù)jl（x）的第n個正零點，而

為滿足邊界條件，應該展開

其中Tlmn（t）是待定函數(shù).為了代入方程（27a）和初始條件（27c）確定Tlmn（t），需要將w（r，t）作類似的展開，計算可得

這個表式只用于求解Tlmn（t）.作為最后結(jié)果的一部分，我們當然還是使用式（23）的形式.不難求得Tlmn（t）滿足以下微分方程和初始條件：

將這一結(jié)果代入式（29）即得v（r，t），結(jié)合式（23）所得的w（r，t），一起代入式（3）即得最后結(jié)果.

討論幾種特殊情況：1）如果f（θ，φ，t）=0，則易得u（r，t）=0，如所期望.2）如果f（θ，φ，t）=f（θ，φ）與時間無關(guān)，則flm（t）=flm亦與時間無關(guān)，于是有Tlmn（t）=-clnflmexp（-λlna2t）.當t→∞，易得v（r，t）→0，最后得到穩(wěn)定溫度分布w（r）.3）如果f（θ，φ，t）=f（t）yLM（θ，φ）（其中L和M是正整數(shù)），此時w（r，t）只有一項，而v（r，t）只含對n的一重求和.為節(jié)省篇幅，細節(jié)從略.我們也可以一開始就討論這種情況，然后通過線性疊加得出一般f（θ，φ，t）的相應結(jié)果.

［1］梁昆淼.數(shù)學物理方法［M］.3版.劉法，繆國慶，修訂.北京：高等教育出版社，1998.

［2］郭敦仁.數(shù)學物理方法［M］.2版.北京：高等教育出版社，1991.

［3］胡嗣柱，倪光炯.數(shù)學物理方法［M］.2版.北京：高等教育出版社，2002.

［4］吳崇試.數(shù)學物理方法［M］.2版.北京：北京大學出版社，2003.

［5］姚端正，梁家寶.數(shù)學物理方法［M］.3版.北京：科學出版社，2010.

［6］邵惠民.數(shù)學物理方法［M］.2版.北京：科學出版社，2010.

［7］楊孔慶.數(shù)學物理方法［M］.北京：高等教育出版社，2012.

［8］石文善.線性偏微分方程非齊次定解問題的待定函數(shù)法［J］.大學物理，1992，11（2）：12-14.

［9］姚端正.一種實現(xiàn)邊界條件與方程均齊次化的方法［J］.大學物理，2013，32（3）：53-58.

［10］周治寧，吳崇試，鐘毓澍.數(shù)學物理方法習題指導［M］.北京：北京大學出版社，2004.

General treatment of inhomogeneous boundary conditions for equations of wave motion or heat conduction in higher dimensions

LIN Qiong-gui
（School of Physics，Sun Yat-Sen University，Guangzhou，Guangdong 510275，China）

For any well-posed problem of the equation of wave motion or heat conduction with inhomogeneous boundary conditions in higher（two or three）dimensions，an auxiliary problem is proposed.Using the solution of the latter，the original problem is transformed to one with homogeneous boundary conditions.This method for solving problems with inhomogeneous boundary conditions is widely applicable and easy to follow.Solutions for two examples are presented.

equation of wave motion；equation of heat conduction；inhomogeneous boundary conditions；auxiliary problem

O 411.1

A

1000-0712（2016）05-0001-04

2015-12-15；

2016-01-21

國家自然科學基金項目（11175268）資助

林瓊桂（1963—），男，廣東潮陽人，中山大學物理科學與工程技術(shù)學院教授，博士生導師，主要從事理論物理學的教學和研究工作.