多普勒效應(yīng)與觀察者相對(duì)聲源位置的關(guān)系

黃雙印，郭振平

（延邊大學(xué)理學(xué)院物理系，吉林延吉 133002）

大學(xué)生園地

多普勒效應(yīng)與觀察者相對(duì)聲源位置的關(guān)系

黃雙印，郭振平

（延邊大學(xué)理學(xué)院物理系，吉林延吉 133002）

在時(shí)空?qǐng)D中，描繪出靜止聲源相位運(yùn)動(dòng)時(shí)空線和觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)空線，用二條時(shí)空線的相交表示觀察者對(duì)聲信號(hào)的接收，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及數(shù)學(xué)解析的方法推導(dǎo)出多普勒效應(yīng)的公式，公式表明多普勒效應(yīng)不僅與觀察者相對(duì)聲源的速度有關(guān)，還與觀察者相對(duì)聲源的位置有關(guān).

多普勒效應(yīng)；相對(duì)位置；不共線；時(shí)空?qǐng)D

由于聲源或觀察者的運(yùn)動(dòng)而出現(xiàn)觀測(cè)頻率與波源頻率不同的現(xiàn)象，稱(chēng)為多普勒效應(yīng)［1-3］.目前，多普勒效應(yīng)已在車(chē)速監(jiān)測(cè)、醫(yī)療診斷和工程技術(shù)等各方面有著十分廣泛的應(yīng)用.然而，生活中物體的運(yùn)動(dòng)是復(fù)雜的，在實(shí)踐中會(huì)發(fā)現(xiàn)若干新的問(wèn)題，促使人們對(duì)多普勒效應(yīng)不斷進(jìn)行著廣泛的研究［4-15］.

文獻(xiàn)［5-12］考慮了波的傳播方向、波源速度、觀察者速度三者不共線的一般情況，得到了適用范圍較廣的多普勒效應(yīng)的普遍公式，揭示了多普勒效應(yīng)既決定于觀察者相對(duì)于介質(zhì)的速度，又決定于聲源相對(duì)于介質(zhì)的速度.文獻(xiàn)［13，14］通過(guò)分析計(jì)算發(fā)現(xiàn)：聲波的多普勒效應(yīng)不僅與速度有關(guān)，還與聲源和觀察者的相對(duì)位置有關(guān).受此啟發(fā)，本文將采用文獻(xiàn)［15］給出的聲源相位運(yùn)動(dòng)和觀察者運(yùn)動(dòng)的時(shí)空線的描述方法，通過(guò)直觀的幾何認(rèn)識(shí)再到簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)解析來(lái)對(duì)多普勒效應(yīng)進(jìn)行分析.

為了便于討論，我們只考慮聲源靜止而觀察者相對(duì)聲源的運(yùn)動(dòng)情況.

1 觀察者沿聲波方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)

如圖1所示，觀察者相對(duì)靜止聲源勻速運(yùn)動(dòng).S是聲源，O是觀察者，觀察者與聲源的初始距離為l，觀察者的速度為u，聲速為v.波動(dòng)是振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播現(xiàn)象.對(duì)于聲波，可認(rèn)為每一個(gè)周期發(fā)出一個(gè)同相位信號(hào).一系列的同心圓表示聲源在每一個(gè)周期T內(nèi)的等相位面.聲信號(hào)的相位在靜止空氣中的傳播和觀察者的運(yùn)動(dòng)在時(shí)空?qǐng)D中的描述如圖2所示.以聲源S的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，橫軸x表示觀察者離聲源的距離，縱軸t表示時(shí)間.射線S0、S1、S2、…表示聲源在0、1T、2T、…時(shí)刻發(fā)出的信號(hào)在靜止空氣中的傳播，其中T表示聲源振動(dòng)所發(fā)出的聲波周期.射線OA′表示觀察者在時(shí)空中的運(yùn)動(dòng)，A點(diǎn)表示觀察者接收到聲源發(fā)出聲信號(hào)的第一個(gè)相位，B點(diǎn)表示觀察者接收到聲源發(fā)出聲信號(hào)的第二個(gè)相位，則觀察者接收到聲信號(hào)的周期T′=tB-tA，觀察者接收到聲信號(hào)的頻率v′=1/T′.

圖1 觀察者相對(duì)靜止聲源勻速運(yùn)動(dòng)

圖2 用時(shí)空?qǐng)D描述聲信號(hào)的傳播和觀察者的運(yùn)動(dòng)

從圖2中的一系列交點(diǎn)可以看到T′不隨位置和時(shí)間的改變而改變，只和直線的斜率有關(guān)，也就是說(shuō)T′只和觀察者相對(duì)聲源的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān).令直線SA的斜率為k0，射線OA′的斜率為k，這兩類(lèi)直線可分別稱(chēng)為聲源相位運(yùn)動(dòng)時(shí)空線和觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)空線［15］，它們的斜率分別表征了聲波的速度的倒數(shù)和觀察者運(yùn)動(dòng)速度的倒數(shù).圖2中線段AD為AB在Ox軸上的投影.連接BD與聲源相位運(yùn)動(dòng)時(shí)空線SA交于C點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作AD的平行線與AB相交于E點(diǎn).顯然，BC=T，BD=T′，根據(jù)兩個(gè)三角形ΔADC與ΔADB之間的幾何關(guān)系不難看出：

式（3）就是一般文獻(xiàn)中所討論的觀察者沿聲波傳播方向遠(yuǎn)離聲源運(yùn)動(dòng)時(shí)的多普勒效應(yīng)公式.要求u＜v，且靠近聲源時(shí)u為負(fù)值，遠(yuǎn)離聲源時(shí)u為正值.式中ν=1/T為聲源的振動(dòng)頻率.

2 觀察者不沿聲波方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)的多普勒效應(yīng)

生活中，當(dāng)觀察者接收聲源發(fā)出的聲信號(hào)時(shí)，觀察者的運(yùn)動(dòng)并不一定恰好沿聲波傳播方向，而是與聲波方向成一定角度θ，如圖3所示.設(shè)觀察者的運(yùn)動(dòng)方向所在直線與聲源的垂直距離為d，x表示任意時(shí)刻觀察者與聲源的距離，u表示觀察者運(yùn)動(dòng)的速度（u＜v且靠近聲源時(shí)u為負(fù)值，遠(yuǎn)離聲源時(shí)u為正值），l表示在運(yùn)動(dòng)方向上離聲源的初始距離.由幾何關(guān)系得出：（當(dāng)觀察者靠近聲源時(shí)，t∈［0，l/u］；當(dāng)觀察者遠(yuǎn)離聲源時(shí)，t∈［0，∞］）.

圖3 觀察者與聲源成一定角度運(yùn)動(dòng)

此時(shí)，聲信號(hào)的相位在靜止空氣中的傳播和觀察者的運(yùn)動(dòng)在時(shí)空?qǐng)D中的描述如圖4所示.從圖4的一系列交點(diǎn)可以看到T′隨著位置和時(shí)間的改變而改變，即觀察者不沿聲波方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，所接受到的頻率或周期隨觀察者相對(duì)聲源的位置的變化而變化.下面，分別從聲源的振動(dòng)周期比較小和聲源的振動(dòng)周期比較大的兩種情況進(jìn)行探討.

圖4 觀察者不沿聲源方向做勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)空?qǐng)D描述

2.1 當(dāng)聲源的振動(dòng)周期較小時(shí)的多普勒效應(yīng)

當(dāng)聲源的振動(dòng)周期比較小的時(shí)候，聲源相位運(yùn)動(dòng)時(shí)空線比較密，圖4中兩個(gè)交點(diǎn)之間的斜率k1、k2、k3、…、kn、…可近似看成觀察者的運(yùn)動(dòng)曲線的時(shí)間t對(duì)距離x的導(dǎo)數(shù)，即

當(dāng)d＜＜x或θ很小時(shí)，可用kn代替式（1）的k，下式近似成立：

由此得

即

或

式（5）表明：在聲源的振動(dòng)周期和觀察者的運(yùn)動(dòng)傾角θ比較小的情況下，多普勒效應(yīng)公式（3）中的觀察者的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)替換為觀察者的運(yùn)動(dòng)速度在觀察者與聲源連線方向上的分量.然而，這個(gè)方向是隨時(shí)在變化的，即角θ是變量.可見(jiàn)多普勒效應(yīng)與觀察者的位置有關(guān).

2.2 當(dāng)聲源的振動(dòng)周期較大時(shí)的多普勒效應(yīng)

當(dāng)聲源的振動(dòng)周期比較大的時(shí)候，觀察者時(shí)空線的斜率kn不能用代替.考慮觀察者時(shí)空線和聲波時(shí)空線的交點(diǎn)恰為接收同相位信號(hào)的時(shí)刻和空間位置，可由直線系的交點(diǎn)法確定T′.由于相鄰的聲波時(shí)空線的時(shí)間間隔為T(mén)，射線S0、S1、S2、…可寫(xiě)成直線系方程：

觀察者的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

聯(lián)立式（6）和式（7），求解一元二次方程可以解出

相鄰的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻之差即為觀察者接收到聲信號(hào)的周期，即

（式中n=0，1，2，3，…，u＜v且靠近聲源時(shí)u為負(fù)值，遠(yuǎn)離聲源時(shí)u為正值）

考慮T很大，滿(mǎn)足nuT+l＞＞d，可對(duì)式（8）的平方根作級(jí)數(shù)展開(kāi)，取一級(jí)近似得出

再考慮u＜v，上式中最后一項(xiàng)的值遠(yuǎn)小于1，可近似得出觀察者接收到聲信號(hào)的頻率為

當(dāng)取d=0時(shí)，式（9）過(guò)渡到觀察者沿聲波方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的多普勒效應(yīng)公式式（3）.可見(jiàn)，當(dāng)d≠0時(shí)，即觀察者不沿聲源方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接收聲信號(hào)的周期和頻率不僅取決于波速和觀察者的運(yùn)動(dòng)速度，而且與觀察者的相對(duì)位置有關(guān)，并非將觀察者的運(yùn)動(dòng)速度在觀察者與聲源連線方向投影即可.

3 結(jié)論

通過(guò)運(yùn)用數(shù)學(xué)解析的方法，求解靜止聲源相位運(yùn)動(dòng)時(shí)空線和觀察者運(yùn)動(dòng)時(shí)空線的一系列交點(diǎn)，得出當(dāng)觀察者沿著聲源方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，多普勒效應(yīng)與二者的相對(duì)速度有關(guān)；當(dāng)觀察者不沿著聲波方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，多普勒效應(yīng)不僅與二者的相對(duì)速度有關(guān)，還與二者的相對(duì)位置有關(guān).

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Relationship between the Doppler effects and the position of observer to sound source

HUANG Shuang-yin，GUO Zhen-ping
（Department of Physics，College of Science，Yanbian University，Yanji，Jilin 133002，China）

In the space-time diagram，use the space-time lines to describe the movement of the static sound phase and the observer，and the intersection of two lines means the observer receives the sound signal.Combining mathematical graph，we analysis to deduce that formulas of the Doppler effects，those are not only associated with the speed of the observer to the sound source，but also related to the position of the observer to the sound source.

Doppler effects；position of observer to sound source；non-collinear；space-time diagram

O 412.1

A

1000-0712（2016）05-0046-04

2015-08-26；

2015-11-17

高等學(xué)校力學(xué)課程教學(xué)研究項(xiàng)目（JZW-15-LX-14）、吉林省高等教育學(xué)會(huì)重點(diǎn)課題（JGJX2015B7）、吉林省教育科學(xué)規(guī)劃課題（GH150040）、延邊大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（ydbksky2015385）資助

黃雙?。?993—），男，江蘇淮安人，延邊大學(xué)物理系2012級(jí)本科生.

郭振平，E-mail：gzpllwl@ybu.edu.cn