福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)（363100）　蘇藝偉

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一道高考解幾壓軸試題的賞析

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)（363100）蘇藝偉

試題（2016年全國I卷理科第20題）設(shè)圓x2+y2+ 2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合.l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.

（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn).過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn).求四邊形MPNQ的面積的取值范圍.

試題分析本道試題分為兩步，第一步考查用定義法求軌跡方程，較為基礎(chǔ)；第二步求對角線互相垂直的四邊形面積取值范圍，具有一定的難度.從知識層面講，融合了直線，圓，橢圓等高中階段重要的知識點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)知識的融匯貫通，交叉滲透；從能力立意的角度講，側(cè)重考查考生通過一系列的思維過程：畫圖分析（全國卷的解幾壓軸試題一般不給出圖形）—直觀感知—操作確認(rèn)—計(jì)算求解—推理論證，從而達(dá)到能力立意的高度，對考生的思維量，計(jì)算能力提出了較高的要求.從難易層面講，兩問具有梯度性，能夠讓不同的考生都有所收獲，讓優(yōu)秀的學(xué)生得到更高的分?jǐn)?shù)，具有區(qū)分度.可以說，本道試題延續(xù)了全國卷命題的一貫風(fēng)格，既注重基礎(chǔ)知識，又強(qiáng)調(diào)能力立意，不失為一道好題.

一.對第一步的賞析

圖1　

圖2　

圖3　

圖4　

圖5　

圖6　

1.1解法

1.2賞析

該小步的本質(zhì)是利用橢圓定義求出動點(diǎn)的軌跡方程.由于將背景設(shè)置在直線與圓當(dāng)中，增加了試題的迷惑性，復(fù)雜性.考生要能夠正確求解，必須建立在對圖形的準(zhǔn)確觀察以及簡單的推理論證基礎(chǔ)之上，然后結(jié)合橢圓定義求出動點(diǎn)E的軌跡方程.眾所周知，橢圓定義是高中階段一個非常重要的內(nèi)容，即動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和為定值（且該定值大于兩定點(diǎn)的距離）的點(diǎn)的集合：｛P||PA|+|PB|=2a,2a＞|AB|｝.這是學(xué)生都非常熟悉的，但是在實(shí)際考試當(dāng)中，試題往往不會直接給出這么明顯的條件，而是經(jīng)過一系列的包裝（經(jīng)常和圓結(jié)合，在圓中得到橢圓，本道試題其實(shí)給我們提供了一種從圓中得到橢圓的方法），這就要求我們要熟悉一些常見的從圓中得到橢圓的幾何模型.

1.如圖（2）所示，在平面直角坐標(biāo)系中，任作一個圓A，在直徑上任取一點(diǎn)B（該點(diǎn)在圓內(nèi)）.然后在圓上取一點(diǎn)D，連接DA，DB.作出DB的垂直平分線交DA于點(diǎn)P，則當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動時，點(diǎn)P的軌跡為橢圓.

2.如圖（3）所示，在平面直角坐標(biāo)系中，在圓x2+y2= a2（a＞0）上任取一點(diǎn)M，做MN⊥x軸，垂足為N.取MN中點(diǎn)P，則當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動時，點(diǎn)P的軌跡為橢圓.

4.如圖（5），（6）所示，一張紙上畫有半徑為R的圓O，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn).折疊紙片，使圓周上一點(diǎn)P剛好和F重合，這樣的每一種折法，都會留下一條折痕.當(dāng)點(diǎn)P取遍圓周上所有點(diǎn)時，折痕的輪廓線是以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓.

熟悉了上述幾種幾何模型，我們就能夠站在一個更高的高度來重新審視該題，即透過表現(xiàn)看到本質(zhì)，從圓中得到橢圓.總之，該小步的求解不僅需要對橢圓定義有一個全面的認(rèn)識，還要求能夠根據(jù)題目條件靈活運(yùn)用，真正做到了緣于基礎(chǔ)，又高于基礎(chǔ)，突出考查學(xué)生的理性思維，邏輯思維，對高考備考具有很好的導(dǎo)向作用.

二.對第二步的賞析

2.1解法

解法1從直線的斜率入手.如圖（7）所示，由于直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，故可設(shè)直線l方程為x=my+1，則直線PQ的方程為y=-m（x-1）.

圖7　

圖8　

因此四邊形MPNQ的面積

以下采用三種方法來求出f（m）的取值范圍.

方法1：求導(dǎo)

方法2：利用齊一次分式函數(shù)圖象和性質(zhì)

方法3：配湊

解法2從設(shè)角度入手.如圖（7）所示，設(shè)∠MBA=θ，由于直線l與x軸不重合，故θ∈（0,π）.

在△MAB中，由余弦定理有

結(jié)合|MA|+|MB|=4可得

在△NAB中，由余弦定理有

結(jié)合|NA|+|NB|=4可得

圓心A（-1,0）到直線PQ∶cosθ·x-sinθ·y-cosθ=0的距離為

則

因此四邊形MPNQ的面積

解法3從特殊情況入手.如圖（9），（10）所示.

圖9　

圖10　

假設(shè)直線l與x軸垂直，此時直線PQ與x軸重合.則MN為橢圓的通徑，|MN|=3，PQ為圓A的直徑，|PQ|=8.

觀察圖形可知，當(dāng)直線l繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)時，四邊形MPNQ的面積S介于這兩種特殊情況之間.由于題目條件直線l與x軸不重合，故

2.2賞析

該小步涉及到三個基本圖形：直線，圓，橢圓；四個基本點(diǎn)：M,P,N,Q（其中兩個點(diǎn)在圓上，兩個點(diǎn)在橢圓上）；一個四邊形：四邊形MPNQ.要求的是四邊形MPNQ的面積的取值范圍，前提條件是這個四邊形的兩條對角線互相垂直.涉及到的知識點(diǎn)有：點(diǎn)到直線的距離公式，圓中弦長公式，橢圓中弦長公式，對角線垂直的四邊形面積公式，函數(shù)值域的求法等等.該小步解法多樣，入口寬，著重突出考查考生的邏輯思維能力，推理論證能力，運(yùn)算求解能力，凸顯全國卷以能力立意的命題宗旨.

通過上述分析不難發(fā)現(xiàn)，本道試題的命制是建立在命題者對課本教材相關(guān)知識點(diǎn)挖掘的基礎(chǔ)之上，然后進(jìn)行一系列的融合，研磨.它與2013年全國I，II卷的圓錐曲線試題具有異曲同工之處.

2013年全國I卷理科第20題已知圓M ∶（x+1）2+ y2=1，圓N∶（x-1）2+y2=9，動圓P與圓M外切，并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|.

（1）求M的方程；

（2）C，D為M上的兩點(diǎn)，若四邊形ACBD的對角線CD⊥AB，求四邊形ACBD面積的最大值.

三.對本題的推廣

設(shè)圓A的圓心為A（-c,0），半徑為2a（0＜c＜a），直線l過點(diǎn)B（c,0）且與x軸不重合.l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.則有

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn).過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn).則四邊形MPNQ的面積S∈［4b2,4ab）.

因此四邊形MPNQ的面積

四.備考建議

1.重視對學(xué)生數(shù)學(xué)直覺的培養(yǎng)

史寧中教授這樣闡述道：任何一門學(xué)科都應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)科直覺作為一個根本的教育任務(wù).數(shù)學(xué)要培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀，數(shù)學(xué)的結(jié)論是看出來的，不是證出來的.因此培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀是很重要的，而直觀的培養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的積累，而不是老師說教的結(jié)果，所以要幫助學(xué)生培養(yǎng)基本活動經(jīng)驗(yàn).

對于本題第一步，直覺思維告訴我們，這是從圓中得到橢圓的一種方法.對于第二步，直覺思維提醒我們考慮特殊情況，進(jìn)而得到面積的取值范圍.由此可見，直覺思維在我們解題中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.

筆者認(rèn)為，所有的定理只有在直覺理解，想通領(lǐng)悟的前提下才能被學(xué)生真正接受.基于此，在備考中要為學(xué)生創(chuàng)造更多的有意義的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺.筆者認(rèn)為可以從以下兩方面入手.第一：引導(dǎo)學(xué)生理解概念的形成過程，在身臨其境中感悟概念，讓學(xué)生不僅知其然，還能知其所以然，并能運(yùn)用所學(xué)概念解決實(shí)際問題.第二：注重結(jié)論的推導(dǎo)過程，讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識推導(dǎo)新結(jié)論，提高學(xué)生的靈活運(yùn)用能力與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

2.加強(qiáng)解題后反思，進(jìn)一步發(fā)展思維和提升能力

南京師范大學(xué)的單墫教授認(rèn)為，同一個數(shù)學(xué)問題的不同解法，可以有美丑之分，簡潔明快是一種數(shù)學(xué)美.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生尋求更美的解題方法.應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)解題后反思.思考同一道題目是否有更好的解法？思考問題可否進(jìn)一步變換與引申，諸如題目條件不變，是否可以變換出新的結(jié)論；題目條件再加強(qiáng)一些，是否可以引申出新的結(jié)論等等.如此解題反思，對于調(diào)動解題積極性，培養(yǎng)發(fā)展思維，創(chuàng)造性品質(zhì)有著重要的意義.