2016高考立體幾何分析暨2017復(fù)習(xí)備考指南

廣州市第六中學(xué)（510260） 曹永生

?

2016高考立體幾何分析暨2017復(fù)習(xí)備考指南

廣州市第六中學(xué)（510260） 曹永生

承載著考查空間想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力于一體的立體幾何試題，在新課程實(shí)施的大背景下，作為中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的主題內(nèi)容之一，在高考命題中普遍受到極度關(guān)注.2016年全國高考數(shù)學(xué)乙卷立體幾何部分的命題有以下三個(gè)特征：

一、穩(wěn)定，體現(xiàn)在題量、分值、內(nèi)容都與往年基本相同，兩道小題一道大題，共計(jì)22分，主要考查空間線線、線面、面面的位置關(guān)系以及空間角、空間幾何體的面積、體積.

（1）文科和理科都繼續(xù)考查三視圖，且不忘“球”緣，放于第（6）題的位置，題目難度不大.三視圖是“新課標(biāo)”的新增內(nèi)容，對(duì)進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)起到一定的作用，屬于每年必考內(nèi)容.

圖1　

A.17πB.18πC.20πD.28π

（2）繼續(xù)考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，也就是我們平時(shí)簡稱的八大基本定理，即空間直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；空間平面和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；空間直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，空間平面和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理.以理科為例：

（2016理18）（本小題滿分12分）如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90?，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60?.

圖2　

（I）證明：平面ABEF⊥平面EFDC.

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

此題的證明

·用到了線面平行的判定定理：由正方形ABEF中，AB//EF得到AB//平面EFDC；

·用到了線面平行的性質(zhì)定理：由AB//平面EFDC得到AB//CD，進(jìn)而得CD//EF，這也是絕大多數(shù)考生忽視的地方；

·用到了線面垂直的判定定理：證AF⊥平面EFDC；

·用到了線面垂直的性質(zhì)定理：AF⊥平面EFDC，AF//BE，得BE⊥平面EFDC，因此BE⊥EF，BE⊥EC

·用到了面面垂直的判定定理：由AF⊥平面EFDC得到平面ABEF⊥平面EFDC；

·用到了面面垂直的性質(zhì)定理：過D作DO⊥EF，進(jìn)而有DO⊥平面EFAB.

面面平行的判定和性質(zhì)在選擇題（11）中考查

（11）平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，面α∩平面ABB1A1=n，則m,n所成角的正弦值為（）.

一份試卷涵蓋了空間直線和平面平行的全部判定定理和性質(zhì)定理，可見命題者用心良苦.

空間角的計(jì)算問題，即異面直線所成的角，直線與平面所成的角，平面與平面所成的二面角，這類試題有一定的難度和需要一定的解題技巧，文理科都在（11）考查異面直線所成的角，難度較大.繼續(xù)沿襲文科解答題第（2）問求積，理科解答題第（2）問求角的規(guī)律.

二、回歸書本而高于書本，更加符合“素質(zhì)教育”的基調(diào)，突出了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的鍛煉的重要性，有利于引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)回歸正常軌道.以理科18題為例，所示幾何體不僅課本多次出現(xiàn)，歷年的立體幾何大題也是此種圖形.在人教A版必修2的P.3，P.28，P.51都出現(xiàn)了這種圖形.

2014、2013連續(xù)2年全國I卷也是這種形狀的幾何體.

2014理科 19（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C.

圖3　

（I）證明：AC=AB1；

（II）若AC⊥AB1，∠CBB1= 60

?，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

2013理科18（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1= 60?.

圖4　

（I）證明AB⊥A1C；

（II）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值.

對(duì)于橫放著的三棱柱，全國I卷中已是多次考查，今年的創(chuàng)新之處是把橫放著的直三棱柱切掉兩部分，考查學(xué)生的空間想象能力.

文科18題也是大家非常熟悉且在課本中多次出現(xiàn)的熟悉的風(fēng)景，在人教A版必修2的P.67，P.73都出現(xiàn)了這種圖形.

三、重視通性通法和基本數(shù)學(xué)能力的考查，加強(qiáng)了“一題多解”和“數(shù)題同法”的探究，提升了學(xué)生的思維能力和歸納總結(jié)能力.

文科18題 已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.

（1）證明：G是AB的中點(diǎn)；

（2）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

圖5　

圖6　

本小題主要考查線線垂直和線面垂直，三角形相似，四面體的體積計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本的邏輯推理論證和計(jì)算能力.

（1）解法一 因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD.

所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.

又由已知可得，PA=PB.從而G是AB的中點(diǎn).

圖7　

圖8　

（1）解法二連結(jié)DA，DB，AE，BE.因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D為正三角形ABC的重心，從而DA=DB.

因?yàn)镈在平面PAB的正投影為E，所以DE⊥AE，DE⊥BE，可得EA=EB.

因?yàn)镻A=PB，所以PE是AB的垂直平分線，

因?yàn)镻E的延長線交AB于點(diǎn)G.所以G是AB的中點(diǎn).

（1）解法三 連結(jié)CG，因?yàn)檎忮FP-ABC的側(cè)面是直角三角形，所以PC⊥面PAB.

因?yàn)镈在平面PAB的正投影為E，所以DE⊥面PAB.所以DE//PC.

由于P,E,G,C共面，所以G,D,C三點(diǎn)共線.

對(duì)于外界的聲音，比如說我太狠了等等。我不在乎這些說法，我承認(rèn)確實(shí)我很狠，但我沒有原則性的錯(cuò)誤，所以我不在意他們的說法。

由于P在平面ABC內(nèi)的正投影D是△ABC中心，所以G是AB的中點(diǎn).

圖9　

圖10　

（2）在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面APC內(nèi)的投影，如圖6.

理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF//PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC.

因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.

連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，

所以D是正三角形ABC的中心，

由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，

在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2.

圖11　

圖12　

也可以采用空間直角坐標(biāo)法求解

（1）以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA,PC,PB所在直線分別為X軸，Y軸，Z軸，建立如圖7的平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)镻A=6，所以P（0,0,0），A（6,0,0），B（0,0,6），C（0,6,0）.

因?yàn)辄c(diǎn)P在面ABC的正投影為D點(diǎn)，所以正三棱錐P-ABC中，D為正三角形ABC的中心，所以D（2,2,2）.

設(shè)E為（x,0,z）.因?yàn)镈在面PAB的投影為E，所以DE⊥面PAB.由已知可得PC⊥面PAB，可得DE//PC.

因?yàn)镻A=PB，所以G為AB中點(diǎn).

圖13　

圖14　

（2）在平面PAB內(nèi)，過點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面ABC內(nèi)的投影，如圖8.

理由如下：以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA,PC,PB所在直線分別為X軸，Y軸，Z軸，建立如圖7的平面直角坐標(biāo)系.由（1）知E（2,0,2）.

理科18題如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90?且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60?.

圖15　

（I）證明：平面ABEF⊥平面EFDC.

（II）求二面角E-BC-A的余弦值.

第一問解法一 由已知可得AF⊥DF，AF⊥EF，所以AF⊥平面EFDC.又AF?平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.

圖16　

圖17　

圖18　

第二問解法一過D作DG⊥EF，垂足為G，由（1）知DG⊥平面ABEF.以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，GF的方向?yàn)閤軸正方向，為|GF|單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系G-XY Z.

圖19　

圖20　

圖21　

第二問解法四（等體積法一）∠DFE=∠CEF=60?，

圖22　

第二問解法五（等體積法二）∠DFE=∠CEF=60?，

圖23　

第二問解法六（三垂線法）過B作BI⊥DC交其延長線于 I，連接 EI，過E作EH⊥BC于H，則EH⊥平面ABCD.過H作HG⊥BC于G，連接EG，則EG⊥BC（三垂線定理），所以∠EGH的補(bǔ)角為所求二面角的平面角.

圖24　

注補(bǔ)形的部分也就是湖北2015年立體幾何出現(xiàn)過的鱉臑.用鱉臑來學(xué)習(xí)二面角，那就更不得了了.鱉臑中一共有6個(gè)二面角，其中三個(gè)是直二面角，2個(gè)二面角的平面角已經(jīng)有了，鱉臑中只有一個(gè)二面角的平面角需要作，一般高考中的難度不會(huì)超過這里，今年的高考就是這樣.

第二問解法七（空間向量幾何法）作AM⊥BC于 M，EN⊥BC于N，則與所成的角等于所求二面角的平面角.設(shè)

圖25　

第二問解法八（異面直線法）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AF=4作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，則與所成的角等于所求二面角的平面角.E（0,0,0），A（4,4,0），B（0,4,0），

圖26　

今年考生立體幾何解答題的典型錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)如下：

理科第18題典型錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)

文科第18題典型錯(cuò)誤統(tǒng)計(jì)

從以上兩個(gè)統(tǒng)計(jì)表不難看出學(xué)生的主要問題一是空間思維能力薄弱，文18題立體幾何考核的投影問題，不是我們平時(shí)模擬練習(xí)的平行垂直的證明，但是只要知道投影的本質(zhì)是線面垂直，我們通過線面垂直的判斷和正棱錐的定義即可得證；理18是一個(gè)直三棱柱切掉了兩個(gè)三棱錐（鱉臑）.二是基本定理沒有牢固掌握，模棱兩可，似是而非.據(jù)此我們提出2017復(fù)習(xí)備課建議：

縱觀近五年內(nèi)高考的立體幾何試題，以考查傳統(tǒng)幾何為主，傳統(tǒng)內(nèi)容的考查也滲透到其他新型的題目中如幾何體的切、接、折疊等這類新形式中，但是萬變不離其宗，我們?cè)诮忸}的過程中不要被它華麗的糖衣所嚇倒，我們要有探尋其本質(zhì)的勇氣與信心，因此首先我們?cè)趯W(xué)習(xí)立體幾何時(shí)必須得將基本知識(shí)學(xué)得深與徹.為此結(jié)合近五年的高考卷中的立體幾何試題的分析與歸納，我們提出如下建議：

1.熟知高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中立體幾何的考綱要求，準(zhǔn)確把握考綱要求.大綱要求是高考命題的準(zhǔn)則，理清要求的內(nèi)涵和外延，狠抓重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，注重題型教學(xué)，做到疏而不漏，這樣才能幫助學(xué)生起飛.

2.加強(qiáng)學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng).為此可以從以下三個(gè)方面來入手：首先重視看圖能力的培養(yǎng).對(duì)于一個(gè)幾何體，同學(xué)們可以從不同的角度去觀察，包括俯視、仰視、側(cè)視、斜視，體會(huì)不同的感覺，可以開拓我們的空間視野，培養(yǎng)空間感.讓學(xué)生體會(huì)到當(dāng)從一個(gè)角度去觀察幾何圖形而不能解決問題時(shí)，可以換一個(gè)觀察角度，即學(xué)會(huì)多角度觀察圖形.再者應(yīng)加強(qiáng)畫圖能力的培養(yǎng)，要求掌握一些基本圖形的畫法，如異面直線的幾種畫法、二面角的幾種畫法等等；對(duì)線面的位置關(guān)系，所成的角，所有的定理、公理都能畫出其圖形，而且要畫出較強(qiáng)的立體感；同時(shí)要根據(jù)做題的方便來畫草圖，畫哪一個(gè)面在水平面上會(huì)產(chǎn)生不同的視覺，往往從一個(gè)方向上看不清的圖形從另一方向卻可以一目了然.最后還應(yīng)加強(qiáng)認(rèn)圖能力的培養(yǎng)，既要能從復(fù)雜的幾何圖形看出其基本圖形，如點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系又要從點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系聯(lián)想到復(fù)雜的幾何圖形，同時(shí)既要看到所畫出的圖形，又要想到未畫出的部分，若能實(shí)現(xiàn)這一些，則可使有些問題一眼看穿.

3.應(yīng)注重掌握解題方法中的通法通則，特別是轉(zhuǎn)化化歸思想，向量代數(shù)法以及構(gòu)造法等.在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該弄透徹，我們不僅理解深刻，而且能切實(shí)掌握.如線面和面面關(guān)系的轉(zhuǎn)化、三棱錐等積法要熟練掌握；面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可再轉(zhuǎn)化為線線平行來處理.再如，點(diǎn)到面距離可轉(zhuǎn)化為線到面距離，又可轉(zhuǎn)化為面面距離；證明兩線平行，可轉(zhuǎn)化為兩直線同時(shí)垂直于一個(gè)平面的證明.又如，求二面角的向量代數(shù)法、定義法，求點(diǎn)到面的距離的向量代數(shù)法和等體積法等這一些都是立體幾何中的通法.對(duì)于探索型試題以及折疊問題等我們也應(yīng)該抓住其中的重點(diǎn)，這樣才能夠幫助學(xué)生更好的理解立體幾何知識(shí)之間的各種聯(lián)系形成一個(gè)完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

4.在學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，尤其是在復(fù)習(xí)時(shí)，必須將它與高中的其他知識(shí)相結(jié)合，綜合來復(fù)習(xí)，因?yàn)橐粤Ⅲw幾何為載體結(jié)合解析幾何，組合概率以及結(jié)合特殊不等式的內(nèi)容已越來越多，所以我們首先必須學(xué)好各個(gè)模塊，再者在復(fù)習(xí)的過程中必須滲透函數(shù)，不等式，以及運(yùn)動(dòng)等觀點(diǎn)，這樣才能更好的拿下高考中的立體幾何.

總之，在立體幾何的復(fù)習(xí)過程中，我們必須首先弄清楚基本知識(shí)，同時(shí)還應(yīng)該適當(dāng)貫穿轉(zhuǎn)化的思想，以及函數(shù)，不等式，構(gòu)造等思想.在復(fù)習(xí)的過程中針對(duì)性，尤其是點(diǎn)的軌跡，折疊問題以及探索型試題等也有所涉及，這樣才能輕松全面拿下高考中的立體幾何，無論是基本題還是壓軸題，我們都可以游刃有余.