雷　雨，蔡宏兵

(1. 中國科學(xué)院國家授時中心，陜西 西安　710600；2. 中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點實驗室，陜西 西安　710600；3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京　100049)

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顧及最小二乘擬合端點效應(yīng)的日長變化預(yù)報*

雷雨1,2,3，蔡宏兵1,2

(1. 中國科學(xué)院國家授時中心，陜西 西安710600；2. 中國科學(xué)院時間頻率基準(zhǔn)重點實驗室，陜西 西安710600；3. 中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049)

針對日長(Length Of Day, LOD)變化預(yù)報中最小二乘(Least Squares, LS)擬合存在端點效應(yīng)的問題，采用時間序列分析方法對日長變化序列進(jìn)行端點延拓，形成一個新序列，然后用新序列建立最小二乘模型，最后再結(jié)合最小二乘模型和自回歸(Autoregressive, AR)模型對原始日長變化序列進(jìn)行預(yù)報。實驗結(jié)果表明，在日長變化序列兩端增加統(tǒng)計延拓數(shù)據(jù)，能有效減小最小二乘擬合序列的端點畸變，從而提高日長變化的預(yù)報精度，尤其對中長期預(yù)報精度提高明顯。

日長變化；預(yù)報；最小二乘擬合；端點效應(yīng)；時間序列分析

日長變化是表征地球自轉(zhuǎn)運(yùn)動的一個重要參量，反映了地球自轉(zhuǎn)速率的快慢。日長變化與極移(Polar Motion, PM)的兩個分量統(tǒng)稱為地球自轉(zhuǎn)參數(shù)(Earth Rotation Parameters, ERP)。地球自轉(zhuǎn)參數(shù)是實現(xiàn)地球參考系與天球參考系相互轉(zhuǎn)換的必需參數(shù)，在衛(wèi)星導(dǎo)航、深空探測以及天文地球動力學(xué)研究等領(lǐng)域有重要應(yīng)用[1]。衛(wèi)星激光測距(Satellite Laser Ranging, SLR)、甚長干涉基線測量(Very Long Baseline Interferometry, VLBI)與全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(Global Navigation Satellite System, GNSS)等現(xiàn)代空間測地技術(shù)是獲取地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的主要手段，但復(fù)雜的資料處理過程使得地球自轉(zhuǎn)參數(shù)的獲取存在一定延遲，因此對地球自轉(zhuǎn)參數(shù)進(jìn)行高精度預(yù)報是一項必要工作。

當(dāng)前預(yù)報日長變化的方法有多種，這些方法大多是最小二乘外推模型和其他模型的組合，如最小二乘外推與自回歸(Autoregressive, AR)模型的組合(LS+AR)[2]、最小二乘外推與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Network, NN)技術(shù)的組合(LS+NN)[3-5]和最小二乘外推與高斯過程回歸(Gaussian Process Regression, GPR)模型的組合(LS+GPR)[6-7]等。這些組合方法均是首先建立最小二乘外推模型，得到日長變化序列趨勢項和周期項的外推值，再利用其他方法對最小二乘擬合殘差序列進(jìn)行預(yù)報，而日長變化預(yù)測值為最小二乘外推值和殘差序列預(yù)測值的疊加。

實際工作中發(fā)現(xiàn)，在利用最小二乘模型對日長變化序列進(jìn)行擬合時，在擬合序列的兩端存在發(fā)散畸變現(xiàn)象(在數(shù)據(jù)處理中稱作端點畸變效應(yīng)，簡稱端點效應(yīng))，致使趨勢項、周期項和殘差序列的預(yù)報值出現(xiàn)偏差，最終導(dǎo)致日長變化序列的最終預(yù)測值不準(zhǔn)確。本文針對日長變化預(yù)報中最小二乘擬合存在端點效應(yīng)的問題，在利用最小二乘模型擬合日長變化序列之前，先采用時間序列分析方法對日長變化序列進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓，即在觀測序列的兩端增加用統(tǒng)計學(xué)方法延拓出的若干數(shù)據(jù)點，形成一個新序列，然后用新序列求得最小二乘模型系數(shù)，最后再利用最小二乘外推與自回歸組合模型對日長變化原始序列進(jìn)行預(yù)測。算例表明，通過對觀測序列兩端的數(shù)據(jù)延拓，可以有效消除端點效應(yīng)的影響，從而提高日長變化預(yù)報的精度。

1　預(yù)報方法

1.1資料預(yù)處理

本文所用日長變化資料源自國際地球自轉(zhuǎn)與參考系服務(wù)(International Earth Rotation and Reference Systems Service, IERS)組織發(fā)布的EOP 05 C04序列，采樣間隔為1 d。日長變化序列中包含多種周期性變化成分，其中對周期為5 d～18.6 a的62個固體地球帶諧潮汐項利用IERS協(xié)議給出的經(jīng)驗?zāi)Ｐ徒o予扣除[8]，而扣除這些固體潮汐項后的日長變化稱為ΔLODR。本文對日長變化的預(yù)報均是針對ΔLODR的預(yù)報。

1.2最小二乘外推模型

日長變化序列扣除固體潮汐項后，還含有長期趨勢項和周年項、半周年項等季節(jié)性變化成分，這些趨勢項和周期項采用下述最小二乘模型進(jìn)行擬合和外推：

(1)

其中，T1和T2分別表示周年項和半周年項的振蕩周期，本文取T1=365.24 d、T2=182.62 d；a和b表示長期趨勢項參數(shù)；c1和d1表示周年項參數(shù)；c2和d2表示半周年項參數(shù)。這6個未知參數(shù)可以通過最小二乘法求得。

1.3自回歸模型

自回歸模型是對平穩(wěn)時間序列{zt,t=1, 2, …,n}建立的一個概率統(tǒng)計模型，它根據(jù)變量自身過去的變化規(guī)律來建立預(yù)報模型，其數(shù)學(xué)模型為

(2)

其中，p為模型階次；εt為白噪聲；φ1,φ2, …,φp為模型參數(shù)，可以采用Yule-Walker方程求解。

使用自回歸模型的關(guān)鍵在于選取模型階次p。常用的定階準(zhǔn)則有信息論準(zhǔn)則、傳遞函數(shù)準(zhǔn)則與最終預(yù)報誤差準(zhǔn)則，這3種準(zhǔn)則在實際應(yīng)用中是等效的[9]。本文選用赤池信息量準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion, AIC)確定階次p，準(zhǔn)則函數(shù)可以表示為

(3)

當(dāng)模型階次p和模型參數(shù)φ1, φ2, …, φp確定時，可根據(jù)下述方式進(jìn)行時間序列的多步外推預(yù)報。

(4)

(5)

(6)

1.4預(yù)報流程

本文預(yù)報方法與常規(guī)方法的區(qū)別在于，本文方法在對ΔLODR序列建立趨勢項和周期項最小二乘外推模型之前，首先利用時間序列分析方法在ΔLODR序列首尾兩端進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓，以削弱最小二乘擬合端點效應(yīng)的影響，具體方法如下：

(1)首先根據(jù)(1)式對ΔLODR序列進(jìn)行最小二乘擬合，建立趨勢項和周期項外推模型，然后利用自回歸模型對最小二乘殘差序列進(jìn)行預(yù)報，最后利用最小二乘外推與自回歸組合模型在ΔLODR序列首尾兩端分別外推若干數(shù)據(jù)點，這樣原始ΔLODR序列加上首尾兩端外推的數(shù)據(jù)形成了一個新序列。

(2)利用新序列確定最小二乘模型系數(shù)，即用新序列重新建立趨勢項和周期項最小二乘外推模型，然后再結(jié)合最小二乘模型和自回歸模型對原始ΔLODR序列進(jìn)行預(yù)報。

需要說明的是，新序列只用來求解最小二乘模型系數(shù)，而在后續(xù)預(yù)報中仍然使用原始ΔLODR序列。

2　算例分析

選用1999年1月1日至2011年10月22日期間的日長變化數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗，其中2010年1月1日至2011年10月22日作為預(yù)報期，建模序列長度取為10a。

為了驗證端點數(shù)據(jù)延拓方法對端點效應(yīng)的改善效果，首先對比端點延拓前后最小二乘擬合效果。圖1繪出了端點延拓前后最小二乘擬合的殘差序列，其中圖1(a)為最小二乘擬合序列首端前50個歷元的殘差序列，圖1(b)為最小二乘擬合序列尾端最后50個歷元的殘差序列，擬合時段為2000年10月26日至2010年10月25日，端點延拓數(shù)據(jù)個數(shù)為360，即在首尾兩端各外推360個數(shù)據(jù)點。

圖1端點延拓前后最小二乘擬合效果對比

Fig.1ComparisonofLSfittingwithandwithoutedgeextension

從圖1可以看到，與端點延拓前相比，端點延拓后最小二乘擬合殘差在序列首尾兩端更接近于0，即端點延拓后最小二乘擬合的ΔLODR序列更為準(zhǔn)確，這說明端點延拓方法能有效抑制最小二乘擬合出現(xiàn)的端點效應(yīng)問題。為了進(jìn)一步說明端點延拓方法對端點效應(yīng)的改善作用，本文選取1999年1月1日至2009年12月31日期間的日長變化數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合實驗，將擬合長度取為10 a，每隔1 d擬合1次，即擬合滑動窗口為10 a，總共擬合300次，并統(tǒng)計每次端點延拓前后首部和尾部50個歷元殘差序列的均方根誤差(Root Mean Square Error, RMSE)，其中端點延拓前首部和尾部50個歷元殘差序列的300次平均均方根誤差分別為0.29 ms和0.30 ms，端點延拓后首部和尾部50個歷元殘差序列的300次平均均方根誤差分別為0.22 ms和0.23 ms，實驗結(jié)果可以說明端點延拓方法對端點畸變的抑制效果。

為了驗證本文方法相對于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型對日長變化預(yù)報精度的改善情況，分別利用這兩種方法對日長變化進(jìn)行1～360 d跨度預(yù)報，選用均方根誤差作為精度評估指標(biāo)，其計算公式為

(7)

其中，Pj、Oj分別表示j點的日長變化預(yù)測值和觀測值；l為預(yù)報跨度；N為預(yù)報期數(shù)。本文總共進(jìn)行了300期的預(yù)報，每次預(yù)報時建模序列長度始終取為10 a，每隔1 d滑動預(yù)報1次，即N=300。

圖2給出了本文方法和常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型的日長變化預(yù)報均方根誤差對比圖，表1統(tǒng)計了兩種方法在各種跨度的預(yù)報均方根誤差情況。結(jié)合圖2和表1可以看出，本文方法的預(yù)報精度相對于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型在各個預(yù)報跨度有不同程度的改善，其中，對于1～30 d短期預(yù)報，預(yù)報精度改善不明顯，在10%以內(nèi)；從第30 d開始，本文方法的預(yù)報精度明顯優(yōu)于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型，精度最大改善了15.80%，且一直保持在13%左右，這說明本文方法對于中長期跨度預(yù)報具有更明顯的優(yōu)勢，同時也從側(cè)面說明端點效應(yīng)對日長變化中長期預(yù)報的影響更大。

圖2本文方法和常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合模型的日長變化預(yù)報均方根誤差對比

Fig.2　Comparison of the prediction RMSE between the LS+AR and the proposed method

3　結(jié)　論

本文提出了一種顧及最小二乘擬合端點效應(yīng)的日長變化預(yù)報方法，其實質(zhì)是在原始序列兩端增加統(tǒng)計延拓數(shù)據(jù)，以將最小二乘擬合出現(xiàn)的端點效應(yīng)移至模擬序列的兩端，從而減小原始序列的端點畸變。算例表明，通過在觀測序列的兩端增加用時間序列分析方法延拓的模擬數(shù)據(jù)點，然后再進(jìn)行最小二乘擬合，可以有效削弱端點效應(yīng)的影響；相對于常規(guī)最小二乘外推與自回歸組合預(yù)報模型，本文方法的日長變化預(yù)報精度有明顯改善，對于中長期預(yù)報其精度提高尤為明顯。此外，在實驗中發(fā)現(xiàn)，端點延拓長度對本文方法的預(yù)報精度具有較大影響，本文對此并未進(jìn)行深入研究，而僅僅選取了相對較優(yōu)的預(yù)報結(jié)果，因此，本文方法仍有提升空間。對于如何選取最佳的端點延拓長度，將進(jìn)行深入研究。

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Enhancing the Prediction Accuracy of the Length of Day Change by Eliminating the Edge-effect of Least Squares Fitting

Lei Yu1,2,3, Cai Hongbing1,2

(1. National Time Service Center, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China, Email: leiyu@ntsc.ac.cn;2. Key Laboratory of Time and Frequency Primary Standards, Chinese Academy of Sciences, Xi’an 710600, China;3. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China)

In order to eliminate the edge-effect of least squares (LS) fitting for the length of day change (ΔLOD), the time-series analysis model is first used to extrapolate ΔLOD series forward and backward and then generate a new series. Subsequently, the cofficients of a LS model are estimated using the new generated series. As a result, the edge-effect is changed to the edge of the new series, and thus the original fitted ΔLOD series can be free from the edge-effect. Finally, a combination of LS and autoregressive (AR) models (LS+AR) is employed to predict the original ΔLOD data. The results indicate that the proposed method can efficiently eliminate the edge-effect, and thus improve the prediction accurcy of the LS+AR model, especially for medium- and long-term prediction.

Length Of Day (LOD) change; Prediction; Least Squares (LS) fitting; Edge-effect; Time-series analysis

中國科學(xué)院 “西部之光” 人才培養(yǎng)計劃聯(lián)合學(xué)者項目(201491) 資助.

2015-12-29；

2016-01-19

雷雨，男，博士. 研究方向：地球自轉(zhuǎn)變化監(jiān)測與預(yù)報. Email: leiyu@ntsc.ac.cn

P227.1

A

1672-7673(2016)04-0441-05

CN 53-1189/PISSN 1672-7673