向量暗藏玄機(jī)利用向量確定二面角的大小

梁仕權(quán)

（貴州省息烽縣第一中學(xué)）

向量暗藏玄機(jī)利用向量確定二面角的大小

梁仕權(quán)

（貴州省息烽縣第一中學(xué)）

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，求二面角是立體幾何的重要組成部分之一。確定二面角的大小是高考的重點(diǎn)。二面角問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為利用法向量夾角求解，它把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)解決。本文將從利用法向量與平面之間的關(guān)系，通過(guò)實(shí)例分析怎樣利用法向量確定二面角大小。在確定二面角大小這一問(wèn)題上，利用向量的基本原理，往往是通過(guò)兩個(gè)半平面的法向量轉(zhuǎn)化為線線直線所成的角的方法可以求二面角大小，并能通過(guò)這種方法有效地解決對(duì)二面角難以求解的問(wèn)題，讓學(xué)生充分體會(huì)到向量法在高中立體幾何中的重要作用。但在求解立體幾何的二面角問(wèn)題時(shí)，確定二面角大小，采取的常用方法：在二面角α-I-β內(nèi)，設(shè)分別為平面α，β的法向量，則α，β的法向量夾角的余弦值為

圖1

二、利用向量法求解二面角的舉例

例1.如圖2，棱棱P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=，點(diǎn)E是棱PB的中點(diǎn)。

（1）證明AE垂直于平面PBC。

（2）求二面角B-EC-D的平面角的余弦。

在平面ECD內(nèi)取一點(diǎn)D，在平面BCE內(nèi)取B點(diǎn)，

例2.變式如圖2四棱錐P-ABCD的底面是正方形PA垂直平面ABCD。

證明：無(wú)論四棱錐的高怎么變化，二面角B-PC-D總是大于90°。

證明：因PA⊥ABCD且底面ABCD為正方形，所以A為原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間空間坐標(biāo)A-xyz，因底面為正方形ABCD，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)AD=1，則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）

設(shè)OP=a，（a＞0），則P（0，0，a），∵BC⊥AB，PA⊥ABCD，BC⊥平面PAB，過(guò)A作AE垂直于PB，則AE⊥平面PBC，則有為平面PCB的一個(gè)法向量，且在平面PBA內(nèi)，根據(jù)題意可設(shè)E（x，0，z）·=（1，0，-a）。

因D、B分別是平面PBC和平面PCD內(nèi)的點(diǎn)，

李秀蘭.如何用空間向量求解二面角［J］.數(shù)量化學(xué)習(xí)：高中版，2011（3）.

·編輯李建軍