陳秀琴,趙 娜，李鈞濤

(1.信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽(yáng) 464000;2.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

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多輸入不確定離散系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制

陳秀琴,趙 娜，李鈞濤

(1.信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,河南 信陽(yáng) 464000;2.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453007)

目的 針對(duì)一類多輸入離散不確定系統(tǒng),提出一種新的變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)。方法 利用Lyapunov理論和變結(jié)構(gòu)控制理論,分析當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)擾動(dòng)和外界擾動(dòng)滿足一定條件時(shí),通過設(shè)計(jì)觀測(cè)器的方法,對(duì)不確定項(xiàng)提出了一種新的估計(jì),按照所設(shè)計(jì)的不確定項(xiàng)估計(jì)量,能夠使不確定項(xiàng)估計(jì)誤差不超過ε/(1-λ);并且當(dāng)不確定項(xiàng)變化緩慢時(shí)，能夠使觀測(cè)誤差趨近于零。結(jié)果 根據(jù)變結(jié)構(gòu)控制理論分析，系統(tǒng)的抖振是難以避免的,所以如何處理不確定項(xiàng)是降低抖振的關(guān)鍵，通過設(shè)計(jì)不確定項(xiàng)的估計(jì)量解決了這一問題。通過選擇合適的切換函數(shù)和控制器,可使系統(tǒng)所有狀態(tài)落入一個(gè)確定的區(qū)域,特別是當(dāng)不確定項(xiàng)變化緩慢時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)能夠漸近穩(wěn)定,并且可使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減至零。最后給出的仿真實(shí)例也驗(yàn)證了該方法的有效性。結(jié)論 給出的滑模變結(jié)構(gòu)控制器可以有效地降低系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)的性能。

不確定離散系統(tǒng);滑?？刂?不確定性估計(jì)量;抖振

0 引 言

由于離散系統(tǒng)的狀態(tài)是嚴(yán)格限制在一個(gè)時(shí)間序列,不能完全發(fā)生在切換面。因此這種系統(tǒng)增加了控制的難度。近來，離散系統(tǒng)引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注，并從不同角度如切換面、干擾補(bǔ)償、抖振克制等提出了多種設(shè)計(jì)方法[1-12]。盡管這些方法在某些條件約束下能改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和降低抖振。但是這些方法設(shè)計(jì)較復(fù)雜且易增大系統(tǒng)誤差?；诨Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制理論,提出了利用不確定性觀測(cè)器估計(jì)外界擾動(dòng),用觀測(cè)值來設(shè)計(jì)控制器的新方法，而且適當(dāng)選取觀測(cè)器可以使觀測(cè)誤差充分小。和常規(guī)方法相比，所設(shè)計(jì)的控制器能夠有效降低抖振,特別是當(dāng)不確定性變化緩慢時(shí)能使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減到零。最后,基于MATLAB 6.5軟件對(duì)多輸入離散不確定系統(tǒng)進(jìn)行分析和數(shù)值模擬,驗(yàn)證了該滑?？刂品椒ǖ膬?yōu)良性能。

1 設(shè)計(jì)不確定性估計(jì)量

考慮下面的多輸入離散不確定系統(tǒng):

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+(B+ΔB)u(k)+d(k)

(1)

其中x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)變量,u∈Rm是控制輸入,A、B是已知常數(shù)矩陣,且(A,B)可控,B矩陣是滿列秩,ΔA、ΔB代表參數(shù)擾動(dòng),d(k)是未知有界的外部干擾。

目的是設(shè)計(jì)滑模控制器使閉環(huán)系統(tǒng)在參數(shù)擾動(dòng)和未知外部干擾下漸近穩(wěn)定,并且降低系統(tǒng)抖振。

假設(shè)1ΔA、ΔB、d(k)滿足以下條件：

x(k+1)=Ax(k)+B(u(k)+ω(k))

(2)

x1(k+1) =A11x1(k)+A12x2(k)=A1x(k)

x2(k+1)=A21x1(k)+A22x2(k)+B2u(k)+f(k)

=A2x(k)+B2u(k)+f(k)

(3)

其中f=(k)=B2ω(k)。

根據(jù)變結(jié)構(gòu)控制理論知，系統(tǒng)的抖振是難以避免的,所以如何處理不確定性是降低抖振的關(guān)鍵，下面通過設(shè)計(jì)不確定性的估計(jì)量來解決這個(gè)問題。

根據(jù)式(3)，提出如下的不確定性估計(jì)量：

μ(k+1)=-λμ(k)+(λ+1)[x2(k)+A2(k)]+B2u(k)]

(4)

(5)

假設(shè)2 ‖f(k+1)-f(k)‖≤ε，其中ε>0。

推論 根據(jù)式(4)和式(5)來設(shè)計(jì)不確定性估計(jì)量,能夠使不確定性估計(jì)誤差不超過ε/(1-λ)。

證明 由式(3)和式(5)式得：

=(λ+1)[A2x(k)+B2u(k)+f(k)]+λμ(k)-(λ+1)[x2(k)+A2x(k)+B2u(k)]

=(λ+1)f(k)+λμ(k)-(λ+1)x2(k)

(6)

=λef(k)-Δf(k)

(7)

解方程(7)可得：

‖ef(k+1)‖≤λ‖ef(k)‖+ε≤λ2‖ef(k-1)‖+λε+ε

(8)

則

(9)

所以當(dāng)k足夠大時(shí)，估計(jì)誤差不超過ε/(1-λ)。

如果不確定性變化緩慢，即Δf(k)≈0時(shí)，從假設(shè)2知可以取ε=0，即：

2 滑?？刂圃O(shè)計(jì)

由式(3)得：

x1(k+1)=A11x1(k)+A12x2(k)

(10)

選擇切換函數(shù)：

s(k)=[C1,I]x(k)=Cx(k)

(11)

即滑模動(dòng)態(tài)為:

x1(k+1)=(A11-A12C1)x1(k)

(12)

定義邊界層為：

Sδ={x(k);‖s(k)‖≤δ}

(13)

下面可以取控制器

(14)

證明 把式(14)代入式(11)得：

s(k+1)=Cx(k+1)=CAx(k)+B2u(k)+f(k)

(15)

如果系統(tǒng)狀態(tài)在k時(shí)刻超出邊界層,即，‖s(k)‖>δ，則有

s(k+1)=αs(k)-ef(k)

‖s(k+1)‖≤α‖s(k)‖+‖ef(k)‖

(16)

如果不確定性變化緩慢，即f(k)≈f(k-1),根據(jù)式(15)有

如果系統(tǒng)狀態(tài)在k時(shí)刻超出邊界層,即‖s(k)‖>δ，則有

=αs(k)=α2‖s(k-1)‖=…=αk+1‖s(0)‖

→0

(17)

因此,閉環(huán)系統(tǒng)所有狀態(tài)將落入邊界層Sδ內(nèi)，并且能使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減至零。

3 數(shù)值仿真

(18)

考慮下面的不確定離散時(shí)間系統(tǒng)：

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+(B+ΔB)u(k)+d(k)

設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器

u(k+1)=-λμ(k)+(λ+1)[x2(k)+A2(k)+B2u(k)]

圖1 估計(jì)量的變化曲線圖

(19)

其中f(k)=0.1x1(k)-0.2x2(k)+0.1u(k)+0.1sin(0.05k),x(0)=(4.5,-7),λ=0.1。不確定性的估計(jì)量仿真結(jié)果如圖1所示,有效地顯示了不確定性估計(jì)的精確度。

取切換函數(shù)為

s(k)=Cx(k)=2x1(k)+x2(k)

(20)

根據(jù)(14)設(shè)計(jì)控制器

其中α=0.5,β=0.7,δ=0.6,仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

4 討 論

研究了一類多輸入離散不確定系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制?；跀_動(dòng)觀測(cè)器，給出了一種新的魯棒變結(jié)構(gòu)控制器，該控制器能夠有效地降低抖振，特別是當(dāng)不確定性變化非常緩慢時(shí),可以使系統(tǒng)抖振指數(shù)衰減至零。

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[責(zé)任編輯：關(guān)金山 英文編輯：劉彥哲]

Variable Structure Control for Uncertain Multi-Input Discrete-Time System

CHEN Xiu-qin1,ZHAO Na1，LI Jun-tao2

(1.School of Mathematics and Computer Science,Xinyang Vocational and Technical College,Xinyang,Henan 464000,China;2.College of Mathematics and Information Science,Henan Normal University,Xinxiang,Henan 453007,China)

Objective This paper proposes a design of a new variable structure controller against a class of multi-input discrete uncertain systems.Methods By using Lyapunov theory and variable structure control theory,it is analyzed that when the system parameters perturbation and external disturbances satisfy certain conditions,a new estimation for uncertainties is proposed with the method of designing observer.According to the estimator designed in this paper,the estimating error of uncertainty is less than standard.And when if uncertainties change slowly,the observation error is close to zero.Results According to the variable structure control theory,the system’s chattering is difficult to avoid.So how to deal with uncertainties is the key to reduce the chattering.The design of uncertainty estimator is used to solve the problem.The appropriately selected switching function and controller can make all states of the system fall into a certain area.Especially when the uncertainty change is slow,the closed-loop system is asymptotically stable,which can make the system chattering exponential decays to zero.Finally the simulation examples verify the effectiveness of the proposed method.Conclusion Sliding mode variable structure controller given in this paper can effectively reduce the chattering of the system and improve the performance of the system.

uncertain discrete-time system;sliding mode control;uncertainty estimator;chattering

國(guó)家自然科學(xué)基金(61203293);河南省重點(diǎn)科技攻關(guān)計(jì)劃(122102210131)

陳秀琴(1981-)，女，河南信陽(yáng)人，信陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，理學(xué)碩士。

O 415.5

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.07.001