臧華
尋找分界點(diǎn)是解決分類討論問題的關(guān)鍵所在.對(duì)于找分界點(diǎn),就是先對(duì)所需分類的參數(shù)所代表的數(shù)的分界點(diǎn),都先求出來,然后逐一分類寫出.筆者通過幾道近幾年的高考題和競(jìng)賽題為例,談?wù)勊膽?yīng)用.
例1(2014年新課標(biāo)Ⅱ卷理21)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)g(x)=f(2x)-4bf(x),當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,求b的最大值.
分析本題是一道典型的導(dǎo)數(shù)分類討論題,通常的做法是先求導(dǎo)確定g(x)的單調(diào)性,利用g(x)的單調(diào)性求出其最小值,進(jìn)而得到關(guān)于b的不等式,再解出b的取值范圍,最終確定b的最大值.問題的關(guān)鍵是怎樣確定g(x)的單調(diào)性?思路雖然清晰,但實(shí)際運(yùn)算比較復(fù)雜.
解(1)f′(x)=ex+e-x-2≥0,僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.所以f(x)在R上單調(diào)遞增.(略)
(2)g′(x)=2f′(2x)-4bf′(x)=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).
(Ⅰ)當(dāng)b≤2時(shí),g′(x)≥0,等號(hào)僅當(dāng)x=0時(shí)成立,所以g(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,而g(0)=0,所以對(duì)任意x>0,g(x)>0;
(Ⅱ)當(dāng)b>2時(shí),若x滿足2 綜上,b的最大值為2. 點(diǎn)評(píng)本題g(x)的單調(diào)性由ex+e-x-2b+2的正負(fù)確定,因此b的“分界點(diǎn)”可以由方程ex+e-x-2b+2=0提供,又b=ex+e-x+22≥2,則b的“分界點(diǎn)”為2,又因?yàn)閑x+e-x-2b+2=0即(ex)2-(2b-2)ex+1=0,ex的2個(gè)值之積等于1,所以ex=(b-1)-(b-1)2-1<1,則x<0;ex=(b-1)+(b-1)2-1>1,則x>0;所以對(duì)變量x而言,0又是“分界點(diǎn)”.準(zhǔn)確地找到這些“分界點(diǎn)”可以將分類討論問題“一劍封喉”,討論分界點(diǎn)時(shí)一般采用先小后大的原則. 變式1(2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽湖北省預(yù)賽11)設(shè)f(x)=loga(x-2a)+loga(x-3a),其中a>0且a≠1.若在區(qū)間[a+3,a+4]上f(x)≤1恒成立,求a的取值范圍. (答案:a的取值范圍(0,1)) 我們?cè)賮砜唇衲耆珖淼囊坏缐狠S題,找分界點(diǎn)的思想在兩問中都體現(xiàn)出來了. 例2(2016年高考新課標(biāo)Ⅰ卷21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2. (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍. 分析(1)先求導(dǎo),得f ′(x)=(x-1)(ex+2a),再根據(jù)ex=-2a>0 ln(-2a)=1找到a的“分界點(diǎn)”為0,-e2,然后進(jìn)行分類討論確定f(x)的單調(diào)性;(2)借助第一問的結(jié)論,通過分類討論函數(shù)單調(diào)性和最值的正負(fù),確定零點(diǎn)個(gè)數(shù),從而確定a的取值范圍. 解(1)f ′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). (?。┰O(shè)a≥0,則當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f ′(x)<0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f ′(x)>0. 所以在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增. (ⅱ)設(shè)a<0,由f ′(x)=0得x=1或x=ln(-2a). ①若a=-e2,則f ′(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增. ②若a>-e2,則ln(-2a)<1, 故當(dāng)x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時(shí),f ′(x)>0; 當(dāng)x∈(ln(-2a),1)時(shí),f ′(x)<0,所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)單調(diào)遞增,在(ln(-2a),1)單調(diào)遞減. ③若a<-e2,則ln(-2a)>1, 故當(dāng)x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時(shí),f ′(x)>0,當(dāng)x∈(1,ln(-2a))時(shí),f ′(x)<0,所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)單調(diào)遞增,在(1,ln(-2a))單調(diào)遞減. (2)(?。┰O(shè)a>0,則由(1)知,f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減,在(1,+∞)單調(diào)遞增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b2 (ⅱ)設(shè)a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)有一個(gè)零點(diǎn). (ⅲ)設(shè)a<0,①若a≥-e2,則由(1)知,f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增. 又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn); ②若a<-e2,則由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)單調(diào)遞增.又當(dāng)x≤1時(shí),f(x)<0,故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn). 綜上,a的取值范圍為(0,+∞). 點(diǎn)評(píng)在第一問中采用分界點(diǎn)法一次性找出分類點(diǎn),然后按照先小后大的原則逐一討論解決;第二問討論中嵌套討論,這里有兩個(gè)討論的標(biāo)準(zhǔn),第一個(gè)是函數(shù)單調(diào)性的分界點(diǎn),第二個(gè)是最值正負(fù)的分界點(diǎn),這時(shí)宜采用先整體后局部的原則,有些問題僅靠一次分類是不夠的, 需要進(jìn)行二級(jí)分類、三級(jí)分類等等. 變式2(2010年全國新課標(biāo)文科21題)設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2. (1)若a=12,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若當(dāng)x≥0時(shí)f(x)≥0,求a的取值范圍.