方　峰，蔡遠利

(西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，西安　710049)

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機動目標多傳感器組網(wǎng)空間配準方法

方峰，蔡遠利

(西安交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，西安710049)

針對存在傳感器偏差的多傳感器組網(wǎng)系統(tǒng)跟蹤機動目標的問題，把目標狀態(tài)與傳感器偏差進行解耦估計，提出了一種基于交互多模型的兩階段擴展Kalman濾波(IMM-TSEKF)算法。由于傳感器觀測方程的非線性，文中采用了兩階段擴展Kalman濾波器(TSEKF)，針對機動目標，把IMM算法與TSEKF算法相結(jié)合用于目標跟蹤與空間配準。此外還對算法的時間復(fù)雜度進行了分析，并以螺旋機動戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈為目標進行組網(wǎng)空間配準與目標跟蹤。仿真結(jié)果表明，相比于常規(guī)的基于交互多模型的增廣Kalman濾波(IMM-ASEKF)算法，該文算法在估計性能相當(dāng)?shù)那闆r下，減小了計算的復(fù)雜度，提高了計算效率，更易于工程實現(xiàn)。

兩階段Kalman濾波；交互多模型；目標跟蹤；空間配準

0　引言

在目標跟蹤系統(tǒng)中，多傳感器組網(wǎng)系統(tǒng)利用數(shù)據(jù)融合技術(shù)可增強跟蹤系統(tǒng)的性能。但在實際應(yīng)用中，組網(wǎng)系統(tǒng)的傳感器均可能存在系統(tǒng)偏差和隨機干擾，在進行數(shù)據(jù)融合之前必須對傳感器進行空間配準[1-2]。

空間配準又稱為傳感器配準，就是借助于多傳感器關(guān)于共同目標的測量對傳感器的偏差進行估計和補償。針對空間配準，常用的方法有離線配準法和在線配準法。離線配準法主要包括最小二乘法[3]、精確極大似然法[4]等，但是這類方法的實時性不高。而在線配準法能夠?qū)崟r進行空間配準，它主要有：增廣Kalman濾波算法，如增廣擴展Kalman濾波(ASEKF)算法[5]、增廣UKF算法[6]等；基于高斯均值移動的配準算法[7]，基于EM準則的配準算法[8-9]，基于熵函數(shù)法的配準算法[10]等。由于增廣Kalman濾波算法的可實現(xiàn)性強、估計精度高，它在實際應(yīng)用中最為廣泛。然而由于增廣Kalman濾波算法把傳感器偏差增廣到了系統(tǒng)狀態(tài)中，當(dāng)傳感器偏差個數(shù)較多時，會引起維數(shù)災(zāi)難，且在某些病態(tài)情況下會出現(xiàn)數(shù)值計算問題?；诖?，由Berand Friedland提出的兩階段卡爾曼濾波器[11-14](TSKF)能夠很好地解決狀態(tài)增廣帶來的計算問題。TSKF將狀態(tài)和偏差進行解耦估計，減小了計算的復(fù)雜度，且穩(wěn)定性更好，更易于工程實現(xiàn)。此外，在進行空間配準時，上述文獻大多都只考慮了目標做弱機動的情況。然而，當(dāng)目標做強機動飛行時，就需要進一步考慮濾波算法跟蹤機動目標的能力。

由于交互多模型(IMM)算法[15]對機動目標有很好的跟蹤能力，故本文將IMM算法與兩階段擴展Kalman濾波(TSEKF)算法相結(jié)合，提出了IMM-TSEKF算法用于機動目標跟蹤和傳感器偏差估計。IMM-TSEKF將系統(tǒng)狀態(tài)和傳感器偏差進行解耦估計，避免了由狀態(tài)增廣引起的維數(shù)災(zāi)難。針對戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈(TBM)在再入段進行螺旋機動的情況進行目標跟蹤與空間配準，仿真結(jié)果表明，本文算法能夠很好地跟蹤螺旋機動TBM，且相比于常規(guī)的交互多模型增廣擴展Kalman濾波(IMM-ASEKF)算法，本文算法在估計精度相當(dāng)?shù)耐瑫r，降低了計算的時間復(fù)雜度，算法的穩(wěn)定性更好，更易于工程實現(xiàn)。

1　兩階段擴展Kalman濾波器

1.1問題描述

考慮多傳感器組網(wǎng)系統(tǒng)，假設(shè)有L個傳感器，且認為各傳感器之間同步工作。系統(tǒng)采用集中式融合估計對目標進行跟蹤，目標的狀態(tài)方程和傳感器的觀測方程可表示如下：

(1)

(2)

式中Xk為目標狀態(tài)向量；Fk為狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣；h(·)為非線性函數(shù)；Zk+1為觀測向量，Zk+1=[z1，k+1，z2，k+1，…，zL，k+1]T，其中zi，k+1表示第i個傳感器的觀測向量；b為傳感器的固定偏差，b=[b1，b2，…，bL]T，其中bi表示第i個傳感器的偏差向量；ωk為過程噪聲；vk為觀測噪聲。

過程噪聲ωk和觀測噪聲vk相互獨立，且都是零均值的高斯白噪聲，協(xié)方差矩陣分別為Qk和Rk。ωk、vk與狀態(tài)初值X0相互獨立。

1.2TSEKF算法

由于TSKF只適用于線性系統(tǒng)，為了將其推廣到非線性系統(tǒng)，本文引入擴展Kalman濾波的思想，從而得到兩階段擴展Kalman濾波器(TSEKF)。TSEKF的基本思想是先將系統(tǒng)線性化，即將非線性系統(tǒng)在狀態(tài)預(yù)測值和偏差預(yù)測值處進行泰勒級數(shù)展開，保留線性主導(dǎo)項；然后對線性化后得到的系統(tǒng)運用TSKF算法進行濾波。

1.2.1系統(tǒng)線性化

(3)

其中

將式(3)取一階線性項并進行整理，可得

(4)

其中

通過上述變化，式(4)就是線性化后的觀測方程。

1.2.2TSKF

將線性化后得到的式(1)和式(4)所表征的線性系統(tǒng)，運用TSKF算法進行濾波，具體步驟如下：

(1)“無偏差濾波器”

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(2)偏差濾波器

(10)

Sk=HkUk+Ck

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(3)系統(tǒng)狀態(tài)真實估計值

(18)

(19)

(20)

(21)

2　IMM-TSEKF

本節(jié)將TSEKF算法與IMM算法相結(jié)合，推導(dǎo)得到了IMM-TSEKF算法。IMM-TSEKF算法包括輸入初值交互、TSEKF濾波器、模型概率估計器和估計混合器。

圖1　IMM-TSEKF算法流程圖

IMM-TSEKF算法從k-1時刻到k時刻的遞推步驟如下：

(1)輸入初值交互

IMM-TSEKF的輸入初值交互包括“無偏差濾波器”的輸入初值交互和偏差濾波器的輸入初值交互這兩部分。

首先，進行“無偏差濾波器”的輸入初值交互。由IMM算法的輸入交互計算式，可得

(22)

(23)

又由TSEKF中的式(20)、式(21)可知模型j的狀態(tài)估計值和協(xié)方差矩陣分別為

(24)

(25)

如式(24)和式(25)所示，TSEKF將無偏差狀態(tài)估計與偏差估計進行耦合得到真正的系統(tǒng)狀態(tài)估計，故IMM-TSEKF在進行狀態(tài)的輸入初值交互時，也按照這種耦合形式進行計算。由此，模型j的狀態(tài)輸入初值交互定義為

(26)

(27)

將式(24)、式(25)代入式(22)、式(23)中，并與式(26)、式(27)對比，可得模型j的“無偏差濾波器”的輸入交互初值和相應(yīng)的協(xié)方差陣：

(28)

(29)

然后，進行偏差濾波器的輸入初值交互。模型j的偏差濾波器的輸入交互初值和相應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

(30)

(31)

(2)TSEKF濾波

(3)模型概率更新

(32)

將式(11)和式(18)代入可得

(33)

將式(33)與式(15)對比發(fā)現(xiàn)，模型j的新息就是偏差濾波器的新息。

(34)

由此，可得似然函數(shù)為

(35)

模型概率更新為

(36)

其中

(4)組合濾波輸出

(37)

其中

(38)

其中

(39)

(40)

3　算法的時間復(fù)雜度分析

算法復(fù)雜度是一種衡量算法有效性的概念，可以分為算法的空間復(fù)雜度和算法的時間復(fù)雜度。在實際中，最廣泛使用的算法復(fù)雜度概念一般是指算法的時間復(fù)雜度。本文把執(zhí)行算法過程中所需要的基本運算次數(shù)表示為時間復(fù)雜度[13]，并且假定所需的基本運算次數(shù)為加法和乘法的運算次數(shù)之和。

下面對IMM-TSEKF算法與常規(guī)的IMM-ASEKF算法進行時間復(fù)雜度分析。常規(guī)的IMM-ASEKF算法是將傳感器偏差增廣到系統(tǒng)狀態(tài)中去，然后再應(yīng)用IMM-EKF進行估計。由于這2種方法在計算模型交互概率，似然函數(shù)以及模型概率時所需的基本運算次數(shù)相同，故在接下來的時間復(fù)雜度分析中不再予以考慮。借鑒文獻[13]，且近似地認為2個n維方陣相乘所需的運算次數(shù)為2n3，對算法時間復(fù)雜度進行定量計算。

首先，計算交互多模型標準Kalman濾波算法的時間復(fù)雜度，主要分3個階段。

(41)

(42)

(43)

OPT(n，m，p，N)=(2n2p+4nmp+np+mp)N

(44)

式(41)～式(44)中的n、m、p、N分別表示狀態(tài)的維數(shù)、觀測數(shù)據(jù)的維數(shù)、傳感器偏差個數(shù)及模型個數(shù)。

由以上分析可得IMM-ASEKF的時間復(fù)雜度：

(45)

本文算法IMM-TSEKF的時間復(fù)雜度為

(46)

比較式(45)和式(46)可看出，IMM-TSEKF與IMM-ASEKF相比，節(jié)省的運算次數(shù)為

(47)

4　仿真實驗

以多無源傳感器組網(wǎng)跟蹤系統(tǒng)為例進行仿真。無源傳感器只能得到目標的方位角和俯仰角的觀測值，且存在固定的傳感器系統(tǒng)偏差。無源傳感器的觀測方程為

(48)

式中φi、θi分別表示第i個傳感器的方位角和俯仰角的量測值；Δφi、Δθi為相應(yīng)的傳感器固定偏差；Si=(xsi，ysi，zsi)為第i個傳感器所在的位置；ν1i、ν2i為觀測噪聲。

設(shè)三維空間內(nèi)有3個無源傳感器，分別靜止地位于S1=(0 km，0 km，50 km)，S2=(50 km，0 km，0 km)，S3=(0 km，0 km，-50 km)這3處。3個傳感器的偏差分別為Δφ1=Δθ1=2°， Δφ2=Δθ2=2°，Δφ3=Δθ3=3°。傳感器的觀測噪聲是零均值的高斯白噪聲，方差為(0.1°)2。3個無源傳感器同步工作，采樣周期為T=0.4 s。

假設(shè)跟蹤目標為戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈，TBM在再入過程中做螺旋機動。本文按照TBM的動力學(xué)方程、運動學(xué)方程以及姿態(tài)運動方程等產(chǎn)生機動螺旋彈道，詳細的TBM再入機動螺旋彈道建模見參考文獻[16]。TBM螺旋彈道數(shù)據(jù)是在地面坐標系下生成的。TBM螺旋彈道初始參數(shù)設(shè)置如下：

(xT0=0 km，yT0=32 km，zT0=36 km)，VT0=1 km/s，彈體初始自旋角γT=0°，彈體初始自旋角速度ω1xT=0(°)/s，速度偏航角φT0=0°，速度傾角θT0=175°，彈道系數(shù)B=5 000 kg/m2，滾動阻尼系數(shù)b=0.008 m2/kg，滾動干擾力矩系數(shù)c=2.3×10-6m/kg。

圖2　TBM真實彈道與估計彈道的對比

圖3　各傳感器的偏差估計

圖4　TBM位置估計的均方根誤差

(a)傳感器1

(b)傳感器2

(c)傳感器3

利用IMM-TSEKF進行50次蒙特卡洛仿真，并將其與IMM-ASEKF進行比較，得到仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。從圖2可見，利用本文算法進行空間配準以后，系統(tǒng)能夠很好地跟蹤做螺旋機動的TBM。由圖3可見，本文算法可很好地對傳感器偏差進行估計。圖4、圖5為本文算法與常規(guī)的IMM-ASEKF算法的動態(tài)性能比較圖，可見本文算法與IMM-ASEKF算法估計效果相當(dāng)。

表1給出了采樣時刻k=240時的2種算法的性能指標。對比可看出，2種算法的狀態(tài)估計和偏差估計的均方根誤差基本相等。另外，由表1的運算次數(shù)對比可看出，當(dāng)進行一步遞推濾波時，本文算法可以節(jié)約32 633次運算操作。同時，利用第四節(jié)的算法時間復(fù)雜度進行分析，當(dāng)n=9，m=6，p=6，N=2時，由式(47)計算可得，進行一步遞推濾波時，本文算法可以節(jié)省34 404次運算操作，與實驗結(jié)果相近(只有5%的相對誤差)。

表1　2種算法的性能比較

5　結(jié)論

(1)針對機動目標多傳感器組網(wǎng)跟蹤與空間配準的問題，提出了IMM-TSEKF算法，該算法將目標狀態(tài)與傳感器偏差進行解耦估計，避免了狀態(tài)增廣帶來的計算復(fù)雜及數(shù)值計算精度低的問題。另外還對IMM-TSEKF算法與IMM-ASEKF算法進行了時間復(fù)雜度的定量分析。

(2)以螺旋機動戰(zhàn)術(shù)彈道導(dǎo)彈為機動目標進行仿真，結(jié)果表明本文算法能很好地完成空間配準與機動目標跟蹤，且相較于IMM-ASEKF算法，本文算法在估計精度相當(dāng)?shù)那闆r下，減小了計算的時間復(fù)雜度，提高了計算效率，更適用于工程應(yīng)用。

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(編輯：呂耀輝)

Multi-sensor space registration for maneuvering target tracking

FANG Feng，CAI Yuan-li

(School of the Electronic and Information Engineering，Xi’an Jiaotong University，Xi’an710049，China)

For the maneuvering target tracking problem with multi-sensor bias,a two-stage extended Kalman filter based on interacting multiple model(IMM-TSEKF)algorithm was proposed in this paper.The algorithm decoupled the augmented filter into two parallel reduced-order filter-one for state estimation and another for bias estimation.Firstly,the two-stage extended Kalman filter for the case of nonlinear system was employed.Secondly,the IMM-TSEKF algorithm for the purpose of maneuvering target tracking and space registration was adopted.Besides,the time complexity of the algorithm was analyzed.Lastly,the tactical ballistic missile using spiral maneuver was utilized as maneuvering target for space registration and target tracking.Simulation results show that the presented algorithm has higher computation efficiency and similar performance compared with traditional augmented state Kalman filter.

two-stage Kalman filter；interacting multiple model；maneuvering target tracking；space registration

2015-05-06；

2015-08-20。

國家自然科學(xué)基金(61202128)；宇航動力學(xué)國家重點實驗室開放基金(2011ADL-JD0202)。

方峰(1991—)，男，博士生，研究方向為信息融合、飛行器制導(dǎo)與控制。E-mail：arrowfang @stu.xjtu.edu.cn

蔡遠利(1963—)，男，博士生導(dǎo)師，研究方向包括復(fù)雜系統(tǒng)建模與仿真、飛行器制導(dǎo)與控制、飛行動力學(xué)等。

V443；TN953

A

1006-2793(2016)04-0574-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.04.023