李　解，雷虎民，李　炯，翟岱亮

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安　710051)

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帶末端角度約束的空地反輻射導(dǎo)彈被動(dòng)制導(dǎo)律

李解，雷虎民，李炯，翟岱亮

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，西安710051)

針對(duì)被動(dòng)跟蹤問題，結(jié)合UKF和PF濾波各自優(yōu)點(diǎn)，采用了UPF濾波器對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息進(jìn)行了精確估計(jì)。針對(duì)濾波器估計(jì)過程中，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)可觀測性的要求，在分析了系統(tǒng)可觀測條件的基礎(chǔ)上，結(jié)合空地反輻射導(dǎo)彈特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種帶末端角度約束，且能夠增強(qiáng)系統(tǒng)狀態(tài)可觀測性的被動(dòng)制導(dǎo)律。仿真結(jié)果表明，UPF濾波器結(jié)合所設(shè)計(jì)的被動(dòng)制導(dǎo)律能有效準(zhǔn)確地估計(jì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息，實(shí)現(xiàn)了精確制導(dǎo)，同時(shí)能有效地約束末端攻擊角度，保證了空地反輻射導(dǎo)彈的殺傷效果。

末端角度約束；UPF濾波；滑模制導(dǎo)律；被動(dòng)制導(dǎo)

0　引言

由于空地反輻射導(dǎo)彈僅安裝有被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭，且僅能測得目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)彈的方位角，測角誤差大，因此導(dǎo)彈并不能準(zhǔn)確獲得目標(biāo)位置信息。在僅有方位測量的情況下對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測跟蹤的問題被稱為“被動(dòng)跟蹤”問題，而利用被動(dòng)跟蹤所獲得的信息進(jìn)行制導(dǎo)的問題被稱為“被動(dòng)制導(dǎo)”問題。

對(duì)于被動(dòng)跟蹤問題，目前比較常見的是采用卡爾曼濾波器通過純方位測量對(duì)目標(biāo)信息進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[1]采用了EKF濾波器，文獻(xiàn)[2]采用了擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，均取得了比較好的估計(jì)效果。但是，由于反輻射導(dǎo)彈被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭測角誤差較大，上述方法估計(jì)精度并不能滿足制導(dǎo)精度的要求，故本文結(jié)合UKF和PF兩種濾波器的特點(diǎn)，采用UPF濾波器對(duì)目標(biāo)信息實(shí)施估計(jì)，在較大的測量噪聲下仍可保證濾波精度。

對(duì)于空地反輻射導(dǎo)彈被動(dòng)制導(dǎo)問題，需要考慮兩個(gè)問題。第一是濾波器的可觀測性問題，可觀測性反映測量值對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的觀測能力，將直接影響估計(jì)效果。針對(duì)這個(gè)問題，文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]各自分析了被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)的可觀測性，提出了導(dǎo)彈適度機(jī)動(dòng)從而提高狀態(tài)可觀測性的觀點(diǎn)。第二個(gè)問題是滿足反輻射導(dǎo)彈打擊要求的末端攻擊角度約束，這類問題研究成果很多，如文獻(xiàn)[5]提出的彈道成型制導(dǎo)律，如文獻(xiàn)[6]提出的滑模制導(dǎo)律等等。本文的主要工作是將被動(dòng)制導(dǎo)問題所涉及的兩個(gè)問題綜合考慮，設(shè)計(jì)一種即能保證狀態(tài)可觀測性，又保證末端角度約束的空地反輻射導(dǎo)彈被動(dòng)跟蹤制導(dǎo)律。

1　純方位測量的彈目相對(duì)信息估計(jì)

在被動(dòng)制導(dǎo)過程中，彈目相對(duì)距離、相對(duì)速度等信息需要通過非線性濾波器來估計(jì)。綜合UKF濾波和PF濾波的特性，本文采用UPF濾波作為彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息的估計(jì)手段。

1.1估計(jì)系統(tǒng)的建立

靜止目標(biāo)被視為地面上靜止不動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其坐標(biāo)為Xt=[xt，yt，zt]T。

設(shè)目標(biāo)真實(shí)坐標(biāo)為Xt0=[xt0，yt0，zt0]T，則在導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)，由載機(jī)裝訂的目標(biāo)初始坐標(biāo)為

(1)

式中ν0為載機(jī)雷達(dá)觀測噪聲。

式(1)表明載機(jī)裝訂的目標(biāo)初始位置帶有誤差。

設(shè)在慣性坐標(biāo)系中反輻射導(dǎo)彈的坐標(biāo)為Xm=[xm，ym，zm]T，靜止目標(biāo)雷達(dá)的坐標(biāo)為Xt=[xt，yt，zt]T，選取狀態(tài)變量為目標(biāo)雷達(dá)對(duì)反輻射導(dǎo)彈的相對(duì)坐標(biāo)Xr=[xr，yr，zr]T，即

(2)

系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程可分別描述為

(3)

其中

被動(dòng)導(dǎo)引頭的量測模型：

(4)

(5)

(6)

式中θL、ψL為視線傾角和視線偏角；ν1、ν2為被動(dòng)雷達(dá)導(dǎo)引頭量測噪聲；Xr=Xt-Xm=[xr，yr，zr]T。

1.2UPF濾波算法

Bayes估計(jì)理論所推導(dǎo)出的時(shí)間更新方程和測量更新方程是一種最優(yōu)估計(jì)。其方程形式雖然簡單，但是一個(gè)高維積分方程，一般并不能顯式地表達(dá)出來。

針對(duì)非線性系統(tǒng)，主流的Bayes估計(jì)數(shù)值計(jì)算方法分為高斯假設(shè)參數(shù)化方法的非線性卡爾曼濾波EKF和UKF，以及貫序蒙特卡洛方法的粒子濾波PF。

非線性卡爾曼濾波中，EKF通過對(duì)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程和測量方程進(jìn)行一階泰勒展開，將非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，當(dāng)系統(tǒng)非線性較強(qiáng)時(shí)，濾波穩(wěn)定性和精度將大幅度下降。UKF通過對(duì)無跡變換(Unscented Transform)，在假設(shè)狀態(tài)高斯分布的前提下，對(duì)狀態(tài)進(jìn)行sigma采樣，從而近似狀態(tài)的概率密度分布，具有良好的非線性和濾波精度。

故本文結(jié)合UKF和PF的優(yōu)點(diǎn)，利用UKF代替建議分布進(jìn)行重要性采樣，即利用UKF來預(yù)測下一個(gè)粒子，每個(gè)粒子的建議分布如下：

(7)

UPF的計(jì)算過程如下：

(1)初始化

從先驗(yàn)概率分布p(x0)中抽取N個(gè)粒子：

(8)

(9)

(2)重要性采樣

通過建議分布：

(10)

計(jì)算重要性權(quán)值：

(11)

并歸一化：

(12)

(3)重采樣

重采樣過程依據(jù)重要性權(quán)值，復(fù)制權(quán)值大的粒子，丟棄權(quán)值較小的粒子，以消除粒子的退化現(xiàn)象，使其分布符合狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率分布的變化。粒子復(fù)制完畢后，賦予每個(gè)粒子等權(quán)值：

(13)

(4)狀態(tài)輸出

(14)

狀態(tài)均值：

(15)

2　被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)可觀測性分析

空地反輻射導(dǎo)彈被動(dòng)跟蹤依賴濾波器對(duì)彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)信息的估計(jì)，濾波效果對(duì)導(dǎo)彈能否實(shí)現(xiàn)精確制導(dǎo)顯得尤為重要。濾波效果的好壞，除了與濾波器本身性能和導(dǎo)引頭噪聲大小有關(guān)外，還取決于被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)的可觀測性強(qiáng)弱。

被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)的測量是非線性的，而非線性系統(tǒng)的可觀測性如下定義：

當(dāng)存在有限時(shí)刻t>t0時(shí)，若其Grammian矩陣：

D(t，t0)=∫t0tΦT(t，t0)HT(t)H(t)Φ(t，t0)dt

(16)

根據(jù)式(3)求得被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：

(17)

根據(jù)式(4)求被動(dòng)跟蹤系統(tǒng)的測量矩陣其形式復(fù)雜，現(xiàn)將式(4)進(jìn)行線性化：

(18)

令

(19)

再對(duì)M0(t)進(jìn)行變換，推導(dǎo)出：

(20)

則非線性測量模型可寫成如下線性形式：

(21)

對(duì)于式(3)和式(21)所描述的系統(tǒng)，若系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間(t0，t)上狀態(tài)是可觀測的，則其Grammian矩陣：

D(t，t0)=∫t0tΦT(t，t0)MT(t)M(t)Φ(t，t0)dt

(22)

是正定的。其等價(jià)描述是，矩陣M(t)Φ(t，t0)的列向量線性無關(guān)[8]。

任取列向量α=[a1，a2，a3，a4，a5，a6]T，ai不全為0，若M(t)Φ(t，t0)的列向量線性無關(guān)，則

(23)

將α帶入式 (23)，得

(24)

(25)

考慮式(21)，得

(26)

(27)

由系統(tǒng)狀態(tài)方程，可得

(28)

(29)

結(jié)合式(26)～式(28)，得

(30)

若上式成立，則式(23)成立，即M(t)Φ(t，t0)的列向量線性無關(guān)。此時(shí)，系統(tǒng)的Grammian矩陣D(t，t0)正定，系統(tǒng)是可觀測的。

而式(3)中：

(31)

式中θvm、ψvm為彈道傾角和彈道偏角；amy、amz為導(dǎo)彈在俯仰平面和偏航平面的加速度。

若式(30)成立，則

(32)

進(jìn)而推得

(33)

從上式可得出結(jié)論，若要使濾波器在導(dǎo)彈制導(dǎo)過程具有良好的估計(jì)精度，則制導(dǎo)過程中要保持一定的視線角變化率。

3　帶末端角度約束的滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本文考慮到空地反輻射導(dǎo)彈末制導(dǎo)對(duì)末端角度約束的要求以及濾波器可觀測性的要求，參考文獻(xiàn)中運(yùn)動(dòng)跟蹤滑模制導(dǎo)律的思想[9]，設(shè)計(jì)一種既保證末端角度約束，又保證視線角變化的制導(dǎo)律。

3.1三維彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1　彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

圖1中，xiyizi為慣性坐標(biāo)系；xLyLzL為視線坐標(biāo)系；xvyvzv為彈道坐標(biāo)系；m為導(dǎo)彈；t為目標(biāo)；θL、ψL分別為視線傾角和視線偏角；θm、ψm分別為導(dǎo)彈相對(duì)視線坐標(biāo)系的傾角和偏角。

設(shè)導(dǎo)彈的速度為Vm，amy和amz分別為導(dǎo)彈在俯仰平面和偏航平面的加速度，目標(biāo)視為地面靜止目標(biāo)，彈目相對(duì)距離為r。

由圖1可得

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

對(duì)式(35)、式(36)求導(dǎo)結(jié)合式(37)、式(38)得

(39)

(40)

3.2俯仰平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

考慮制導(dǎo)律設(shè)計(jì)對(duì)末端角度約束及狀態(tài)可觀測性的要求，令

(41)

(42)

選取滑模面為

s=k1|x1|γsgn(x1)+k2x2

(43)

參數(shù)k1>0，k2>0，0<γ<1。

根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，為保證系統(tǒng)狀態(tài)平穩(wěn)接近滑模面進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，采用趨近律方法推導(dǎo)制導(dǎo)律。選取趨近律：

(44)

由式(43)、式(44)，可得

(45)

由于r>0，所以

(46)

根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制理論，系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面。

對(duì)式(43)求導(dǎo)：

(47)

由式(46)，可得

(48)

將式(39)帶入式 (48)，可得

(49)

從而推得制導(dǎo)律：

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

3.3偏航平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

偏航平面制導(dǎo)律設(shè)計(jì)不考慮末端角度約束，為保證整個(gè)制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，偏航平面制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)基于零化視線角速率的思想設(shè)計(jì)。

令

(56)

選取滑模面：

s=x3

(57)

選取趨近律：

(58)

參數(shù)k3>0，0<α3<1。則根據(jù)式(40)和式(58)可推導(dǎo)出偏航平面制導(dǎo)律：

(59)

所需制導(dǎo)信息同樣由濾波器估計(jì)獲得。

4　仿真分析

UPF濾波器粒子數(shù)N=100，協(xié)方差陣初值取P0=diag(1002，102，1002，102，102，102)，過程噪聲方差cov(ω)=0.0012，測量噪聲方差cov(ν)=2.25(°)2。

為對(duì)比驗(yàn)證，仿真中采用3種帶末端角度約束的制導(dǎo)律，分別為本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[5]所述的彈道成型制導(dǎo)律(TSG)，文獻(xiàn)[6]所述的滑模制導(dǎo)律(SMG)。3種制導(dǎo)律作用下濾波器對(duì)彈目相對(duì)坐標(biāo)的估計(jì)誤差如圖2所示。

(a)本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律

(b)TSG

(c)SMG

從圖2(a)可看出，目標(biāo)位置X坐標(biāo)、Y坐標(biāo)、Z坐標(biāo)均能準(zhǔn)確收斂。

圖2(b)、(c)與圖2(a)相比，無論是TSG還是SMG，其估計(jì)收斂效果均不如本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律。因?yàn)闉V波器估計(jì)效果好壞的關(guān)鍵就在于系統(tǒng)可觀測性的強(qiáng)度，而本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可有效提高系統(tǒng)的可觀測性，故效果優(yōu)于其他兩種制導(dǎo)律，制導(dǎo)精度也進(jìn)一步提高。制導(dǎo)精度對(duì)比見表1。

表1　3種制導(dǎo)律制導(dǎo)精度對(duì)比

圖3～圖5是濾波器對(duì)視線傾角、視線偏角和彈目相對(duì)速度等制導(dǎo)律所需信息的估計(jì)誤差。由圖可看出，3種信息誤差均迅速收斂，保證了制導(dǎo)指令的準(zhǔn)確性。

圖3　視線傾角誤差

圖4　視線偏角誤差

圖5　相對(duì)速度誤差

圖6反映視線傾角的變化，從圖6可看出，在給定末端角度約束為-80°的情況下，所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律可保證導(dǎo)彈以期望角度攻擊目標(biāo)。圖7反映視線傾角速率隨時(shí)間的變化，由圖7可見，視線傾角速率能夠按照期望的視線傾角速率運(yùn)動(dòng)，從而保證了系統(tǒng)的可觀測性，即保證了濾波器狀態(tài)估計(jì)的準(zhǔn)確性。

圖6　視線傾角

圖7　視線傾角速率

5　結(jié)論

(1)本文結(jié)合UKF和PF濾波器各自的特點(diǎn)，采用UPF濾波器對(duì)被動(dòng)制導(dǎo)過程中所需的彈目相對(duì)信息進(jìn)行估計(jì)，在所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的配合下，獲得了良好的估計(jì)效果。

(2)本文在分析了系統(tǒng)可觀測性的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了能夠有效保證系統(tǒng)可觀測性的制導(dǎo)律，從而保證了濾波器的估計(jì)精度。針對(duì)空地反輻射導(dǎo)彈的特殊性，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律還能同時(shí)對(duì)末端角度起到良好的約束作用，保證了殺傷效果。

[1]魏玉樂,方群,羅建軍.彈目信息在純方位制導(dǎo)中的應(yīng)用[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005 ,23(5).

[2]馬克茂.帶有終端視線約束的非光滑制導(dǎo)律設(shè)計(jì)[J].彈道學(xué)報(bào),2011,23(2).

[3]田宏亮,梁曉庚,賈曉洪,等.基于視線角速度的增強(qiáng)目標(biāo)可觀性研究[J].彈道學(xué)報(bào),2011,23(2).

[4]楊國勝,竇麗華,候朝楨.基于純角度的三維運(yùn)動(dòng)目標(biāo)可觀性研究[J].兵工學(xué)報(bào),2004,25(2).

[5]Paul Zarchan.Tactical and strategic missile guidance 6th edition [M].American Institute of Aeronautics and Astronautics,Inc.

[6]尹永鑫,楊明,吳鵬.針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)帶攻擊角約束的三維制導(dǎo)律[J].固體火箭技術(shù),2010,33(3).

[7]Julier S J,Uhlmann J K.Unscented filtering and nonlinear estimation[J].Proceedings of the IEEE,2004,92(3).

[8]Lim C C,Li M.Observability analysis of two closed-loop guidance systems with bearings-only measurements[J].Nonlinear Analysis:Real World Applications 1,2000.

[9]周荻.尋的導(dǎo)彈新型導(dǎo)引規(guī)律[M].北京:國防工業(yè)出版社,2002.

(編輯：呂耀輝)

Passive guidance law for air-to-ground anti-radiation missile with terminal angular constraint

LI Jie，LEI Hu-min，LI Jiong，ZHAI Dai-liang

(Air Force Engineering University Air and Missile Defense College，Xi’an710051，China)

For passive tracing problem,combined with the advantages of UKF and PF filters,an UPF filter was adopted to realize the accurate estimation of the information of missile-target relative movement.For the requirement of the observability of system states during estimating,combined with the characteristic of air-to-ground anti-radiation missile,a passive guidance law with terminal angular constraint and observability enhancement was designed.The simulation result shows that the UPF filter combined with the designed passive guidance law can estimate the relative information accurately and effectively and realize accurate guidance.Meanwhile, with effective terminal angular constraint,the damage effect of the missile is guaranteed.

terminal angular constraint；UPF filter；sliding mode guidance；passive guidance

2015-05-23；

2015-06-15。

航空科學(xué)基金(20140196004)；航空科學(xué)基金(20130196004)。

李解(1991—)，男，碩士生，研究方向?yàn)榭仗鞌r截器制導(dǎo)、控制與仿真。E-mail：sumffuk@163.com

V448

A

1006-2793(2016)04-0594-07

10.7673/j.issn.1006-2793.2016.04.026