判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂性的一種方法

劉春艷

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009）

判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂性的一種方法

劉春艷

(山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同037009）

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性是常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的重點(diǎn),為了更好判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,給出了正項(xiàng)級(jí)數(shù)一種新的審斂法。

正項(xiàng)級(jí)數(shù);比值審斂法;根值審斂法

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判斷方法有很多種,文中在比較判別法的基礎(chǔ)上,將比值審斂法和根值審斂法進(jìn)行推廣得到一種新的判別方法。

則:(1)當(dāng)r＜1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;

(2)當(dāng)r＞1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;

(3)當(dāng)r=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

則:(1)當(dāng)r＜1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;

(2)當(dāng)r＞1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;

(3)當(dāng)r=1時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

下面由這兩個(gè)審斂法及比較審斂法推出以下結(jié)論:

定理3設(shè)un=wnvn,wn≥0,

vn＞0(n=1,2,3……),

則(1)當(dāng)wv＜1時(shí),級(jí)數(shù)收斂;

(2)當(dāng)wv＞1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散。

證明(1)當(dāng)wv＜1時(shí),取適當(dāng)小的ε＞0,使(w+ε)(v+ε)＜1，

取N=max{n1,n2}，則當(dāng)n＞N時(shí),(1)(2)同時(shí)

因?yàn)関m·(w+ε)m為一常數(shù)且(w+ε)(v+ε)＜1,所以級(jí)數(shù)收斂,由比較審斂法知收斂。

(2)當(dāng)wv＞1時(shí),取適當(dāng)小的ε＞0,使(w-ε)(v-ε)＞1，

取N=max{n1,n2}，則當(dāng)n＞N時(shí),(3)(4)同時(shí)，

因?yàn)関m·(w-ε)m為一常數(shù)且(w-ε)(v-ε)＞1,

u=wv=,級(jí)數(shù)收斂。

由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知,級(jí)數(shù)發(fā)散。

[1]楊鐘玄.正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的一個(gè)判別法[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005,28（6）：667-670.

[2]洪勇.一個(gè)新的正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別定理及應(yīng)用[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004,27（3）：245-267.

[3]張永明.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一種新的判別法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2004,34（1）:173-176.

A Method about Discriminating Convergence and Divergence of Positive Term Series

LIU Chun-yan
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

The convergence and divergence of positive series is the key of the constant term series.In order to better determine positive series,a new convergence test of positive series is introduced in this paper.

positive series;ratio criterion;Cauchy root criterion

O173.1

A

1674-0874(2016)05-0012-02

2016-07-16

劉春艷(1965-),女，山西大同人，副教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)。

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>